1、高考资源网（） 您身边的高考专家顺义区2020届高三第二次统练数学试卷一选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念，可求出集合的交集.【详解】因为集合，所以.故选：C.【点睛】本题考查集合的交集，属于基础题.2.在复平面内，复数对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】运用复数乘法的运算法则，化简复数，最后确定复数所对应的点所在的象限.【详解】，因此复数对应点的坐标为，在第二象限，故本题选B.【点睛】本题考
2、查了复数的乘法运算法则，以及复数对应点复平面的位置.3.下列函数中，既是偶函数，又在区间上为减函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合函数的奇偶性及单调性，对四个函数逐个分析，可选出答案.【详解】由题意，选项B、D中两个函数是非奇非偶函数，不符合题意；对于选项A，二次函数，既是偶函数，又在区间上为减函数，符合题意；对于选项C，余弦函数是偶函数，在区间上不是单调函数，不符合题意.故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性的应用，考查学生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.4.抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为（ ）A. 4B. 2C. 1D. 【答案】C【解析
3、】【分析】结合抛物线的定义，可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，进而可求出最小值.【详解】由题意，抛物线的焦点，准线为，设抛物线上的动点，根据抛物线的定义可知，因为，所以，故抛物线上的点与其焦点的距离的最小值为1.故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，考查抛物线的性质，属于基础题.5.若角终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据角度终边上点的坐标，即可容易求得结果.【详解】因为角终边经过点，则.故选：C.【点睛】本题考查由角度终边上的一点求三角函数值，属基础题.6.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）A. 6B. 8C. 12D
4、. 24【答案】B【解析】【分析】由三视图画出该三棱锥的直观图，进而求出该三锥体的体积即可.【详解】由三视图画出该三棱锥的直观图，如下图，三棱锥中，底面，且，所以该三棱锥的体积.故选：B.【点睛】本题考查三视图，考查三棱锥体积的计算，考查学生的空间想象能力，属于基础题.7.若为任意角，则满足的一个值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】D【解析】【分析】由，可知，从而可得到的关系式，结合四个选项可选出答案.【详解】因为，所以，即，所以可以为8.故选：D.【点睛】本题考查三角函数周期性的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8.已知，在下列条件中，使得成立的一个充分而不必要条件是（
5、 ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的定义，并结合不等式的性质可选出答案【详解】对于选项A，是成立的一个充要条件，即选项A不符合题意；对于选项B，由，可知，则，反之不成立，即选项B是成立的一个充分而不必要条件，即选项B成立；对于选项C，若，满足，但是不成立，即选项C不符合题意；对于选项D，由，不能判断的大小关系，即选项D不符合题意.故选：B.【点睛】本题考查充分性与必要性的判断，考查不等式的性质，考查学生的推理论证能力，属于基础题.9.设是各项均为正数的等比数列，为其前项和.已知，若存在使得的乘积最大，则的一个可能值是（ ）A. 4B. 5C. 6D.
6、7【答案】A【解析】【分析】由题意知，且公比，由，可求出，结合，可得，从而可求出，进而可求出的表达式，然后求出最大值及此时的即可.【详解】由题意，等比数列满足，且公比，又，所以，又，所以，解得或，若，则，则，因为二次函数，在单调递增，无最大值，所以也无最大值；若，则，则，因为二次函数，开口向下，对称轴为，所以或时，取得最大值，此时也取最大值.所以选项A符合题意.故选：A.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.10.已知函数，若实数，则在区间上的最大值的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出，进而可知，
7、由，可知区间，且该区间长度为2，然后画出函数的图象，进而可得到在上的图象，结合图象可求得在区间上的最大值的取值范围.【详解】由题意，当时，；当时，；当时，.所以，则，因为，所以区间，且该区间长度为2.作出函数的图象，如图1，进而可得到在上的图象，如图2，根据图象可知在区间上的最大值的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查函数图象的应用，考查分段函数的性质，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于中档题.二填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量，若，则实数_.【答案】【解析】【分析】由垂直关系可得数量积等于零，根据数量积坐标运算构造方程求得结果.【详解】 ，解得：故答案为：【点睛
8、】本题考查根据向量垂直关系求解参数值的问题，关键是明确两向量垂直，则向量数量积为零.12.设是等差数列，且，则的通项公式为_.【答案】【解析】【分析】由，可求出，再由公差，从而可求出的通项公式.【详解】由题意，等差数列中，所以，公差，所以.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求法，考查学生的计算求解能力，属于基础题.13.把函数的图象向左平移个单位，得到的函数是_.【答案】【解析】【分析】直接利用三角函数图象的平移变换法则求解即可.【详解】把函数的图象向左平移个单位，得到的函数是,故答案为.【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理
9、先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.14.若直线将圆的圆周分成长度之比为13的两段弧，则实数的所有可能取值是_.【答案】【解析】【分析】由直线将圆的圆周分成长度之比为13的两段弧，可知劣弧所对的圆心角为，进而可求出圆心到直线的距离，再结合，可求出的值.【详解】由题意，圆的半径为1，周长为，直线将圆的圆周分成长度之比为13的两段弧，劣弧所对的圆心角为，设直线与圆的交点为，圆心为，则为直角三角形，且，所以圆心到直线的距离，又，解得.故答案为：.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.15.曲线是平面内到定点和定直线：的距
10、离之和等于5的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线关于轴对称；若点在曲线上，则满足；若点在曲线上，则.其中，正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】先求出曲线的轨迹方程，进而画出图形，对三个结论逐个分析，可得出答案.【详解】设动点是曲线上任意一点，则，即，当时，整理得，当时，整理得，作出曲线的图形，如下图，显然不正确，曲线不关于轴对称；当时，可得，所以当点在曲线上时，满足成立，即正确；令，可得，所以当点在曲线上时，满足，且，又，所以，即正确.故答案为：.【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查数形结合思想的应用，考查学生的计算求解能力，属于难题.三解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明演算步
11、骤或证明过程.16.已知中，角，的对边分别为，_.是否存在以，为边的三角形？如果存在，求出的面积；若不存在，说明理由.从；这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.【答案】详见解析【解析】【分析】若选取条件，可先求出的值，进而由余弦定理，可出的值，进而结合，可求出的值，从而可判断该三角形存在，进而求出三角形的面积即可；若选取条件，由余弦定理，可出的值，进而结合，可求得，从而可知该三角形不存在；若选取条件，可得，进而分两种情况，分别讨论即可.【详解】若选取条件，此时，因为，所以，由余弦定理，解得，则，所以，所以，又，解得或者，所以存在以，为边的三角形，其面积为.若选取条件，因为，所以，由余弦
12、定理，解得，则，所以，显然不成立，所以不存在以，为边的三角形.若选取条件，得，由选取条件可知，当时，存在以，为边的三角形，其面积为.由选取条件可知，当时，不存在以，为边的三角形.【点睛】本题考查解三角形知识，考查三角形的面积，考查学生的分析问题、解决问题的能力，属于中档题.17.如图一所示，四边形是边长为的正方形，沿将点翻折到点位置(如图二所示)，使得二面角成直二面角.，分别为，的中点. （1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）取的中点，连结，由四边形是正方形，可知在三棱锥中，从而易知平面，进而可证明；（2）由二面角为直二面
13、角，可知，即，从而可知，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，然后分别求出平面、平面的法向量、，进而由，可求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【详解】（1）取的中点，连结，因为四边形是正方形，所以在三棱锥中，因为，平面，所以平面，又因为平面，所以.（2）因为二面角为直二面角，平面平面，且，所以，即，所以两两垂直.以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.易知，所以，则，显然平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，取，可得，所以平面的一个法向量，则，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直判定定理及性质定理的应用，考查二面
14、角的求法，考查了空间向量法在立体几何中的应用，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.18.在全民抗击新冠肺炎疫情期间，北京市开展了“停课不停学”活动，此活动为学生提供了多种网络课程资源以供选择使用.活动开展一个月后，某学校随机抽取了高三年级的甲、乙两个班级进行网络问卷调查，统计学生每天的学习时间，将样本数据分成五组，并整理得到如下频率分布直方图： （1）已知该校高三年级共有600名学生，根据甲班的统计数据，估计该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数；（2）已知这两个班级各有40名学生，从甲、乙两个班级每天学习时间不足4小时的学生中随机抽取3人，记从甲班抽到的学生人数为，
15、求的分布列和数学期望；（3）记甲、乙两个班级学生每天学习时间的方差分别为，试比较与的大小.(只需写出结论)【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望为1；（3）【解析】【分析】（1）根据甲班的统计数据，可求出每天学习时间达到5小时及以上的学生的频率之和，进而乘以600，可求出答案；（2）计算可得甲、乙两班每天学习时间不足4小时的学生人数分别为，从而可知可取的值为，然后求出三种情形下的概率，进而可列出分布列，求出数学期望；（3）由甲班学生每天学习时间更集中，可知.【详解】（1）根据甲班的统计数据，该校高三年级每天学习时间达到5小时及以上的学生人数约为；（2）甲班每天学习时间不足4小时的学生人数
16、为，乙班每天学习时间不足4小时的学生人数为，从甲班抽到的学生人数可取的值为，则，所以的分布列为：012则的数学期望为：.（3）结合频率分布直方图，可知甲班学生每天学习时间更集中，所以.【点睛】本题考查频率分布直方图，考查离散型随机变量的分布列，考查数学期望及方差，考查学生的计算求解能力，属于中档题.19.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）当时，试写出方程根的个数.(只需写出结论)【答案】（1）；（2）；（3）2【解析】【分析】（1）当时，求出，结合导数几何意义，可求出曲线在点处的切线方程；（2），由在区间上单调递增，可知在恒成立，进
17、而可知在恒成立，构造函数，求出在上的最小值，令即可；（3）构造函数，讨论的单调性，并结合零点存在性定理，可得到的零点个数，即为方程根的个数.【详解】（1）当时，则，所以，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）由题意，因为在区间上单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，令，则，所以时，此时函数单调递减；时，此时函数单调递增，所以在上最小值为，所以.（3）当时，方程根的个数为2.证明如下：当时，构造函数，则，显然在上单调递增，因为，所以存在唯一零点，设为，故函数在上单调递减，在上单调递增，因为，所以，所以在上存在唯一零点又因为，所以在上存在唯一零点，故函数有2个零点，即方程根的个数为2.【点睛】本题考
18、查导数几何意义的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查方程的根与函数的零点，考查学生的计算求解能力与推理论证能力，属于难题.20.已知椭圆焦距和长半轴长都为2.过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点.（1）求椭圆方程；（2）设点是椭圆的左顶点，直线，分别与直线相交于点，.求证：以为直径的圆恒过点.【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）易知椭圆中，结合，可求出椭圆的方程；（2）结合由（1），可设直线的方程为，与椭圆方程联立，得到关于的一元二次方程，设，可表示出直线的方程，进而得到点的坐标，同理可得点的坐标，然后得到的表达式，结合韦达定理可证明，即，即以为直径的圆恒过点.
19、【详解】（1）由题意，椭圆中，所以，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，设直线的方程为，联立，可得，显然恒成立，设，则，易知直线的斜率存在，则直线的方程为，所以，即，同理可得，则，所以，所以，即以为直径的圆恒过点.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查圆过定点问题，考查学生的计算求解能力，属于难题.21.给定数列.对，该数列前项的最小值记为，后项的最大值记为，令.（1）设数列为2，1，6，3，写出，的值；（2）设是等比数列，公比，且，证明：是等比数列；（3）设是公差大于0的等差数列，且，证明：是等差数列.【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【
20、分析】（1）求出及的值，并结合，可求出，的值；（2）易知数列是递减数列，从而可知时，可得，且，进而可得，从而可知为定值，即可证明结论成立；（3）是等差数列，先用反证法证明是单调递减数列，再用反证法证明为数列中的最大项，从而可知，则，进而可证明结论成立.【详解】（1）由题意，则；，则；，则.（2）因为是等比数列，公比，且，所以数列是递减数列，则时，所以，且，所以时，所以，即是等比数列.（3）由是公差大于0的等差数列，且，可知.先用反证法证明是递减数列，假设不是递减数列，设是第一个使得成立的项，则，所以，即，与相矛盾，所以是单调递减数列.再用反证法证明为数列中的最大项，假设不是数列的最大项，即存在使得成立，若时，满足，则，故，与矛盾，即；若时，满足，则，故，与矛盾，所以为数列中的最大项.综上，是单调递减数列，且为数列中的最大项，故，即，则时，故，所以是等差数列.【点睛】本题考查新定义，考查等差数列及等比数列的证明，考查学生分析问题、解决问题的能力，属于难题.- 21 - 版权所有高考资源网