1、第2课时 完全平方公式 11.3 公式法 第十一章 因式分解 学习目标 1.理解并掌握用完全平方公式分解因式（重点）2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解 进行计算（难点）导入新课复习引入 1.因式分解：把一个多项式转化为几个整式的积的形式.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？1.提公因式法 2.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)讲授新课用完全平方公式分解因式 一你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？同学们拼出图形为：aabbababababab这个大正方形的面积可以怎么求？a2+2ab+b2（a+b）2=ababaababb（a+b）2 a2+2ab+
2、b2=将上面的等式倒过来看，能得到：a2+2ab+b2a22ab+b2 我们把a+2ab+b和a-2ab+b这样的式子叫作完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项 这两项都是数或式的平方，并且符号相同 是第一项和第三项底数的积的2倍 完全平方式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；2.有两个同号的数或式的平方；3.中间有两底数之积的2倍.222baba完全平方式:简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方形式，便实现了因式分解.2a
3、b+b2=(a b)a2首2+尾22首尾(首尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.3.a+4ab+4b=()+2()()+()=()2.m-6m+9=()-2()()+()=()1.x+4x+4=()+2()()+()=()x2x+2 aa2ba+2b2b对照 a2ab+b=(ab)，填空：mm-33x2 m3 下列各式是不是完全平方式？（1）a24a+4;（2）1+4a;（3）4b2+4b-1;（4）a2+ab+b2;（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项；不是（3）4b与-1的符号不统一；不是 分析：不是 是（4）因为ab不是a与b
4、的积的2倍.例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是()A.11 B.9 C.-11 D.-9B解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x(-3),故可知N=(-3)2=9.变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为_.解析：16=(4)2，故-m=2(4)，m=8.8典例精析 本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解方法总结 例2 分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2,9=3,
5、24x=24x3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+24x3 +(3)2.2ab+b2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.解：(1)16x2+24x+9 =(4x+3)2；=(4x)2+24x3+(3)2(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-(x-2y)2.练一练 下把下列各式分解因式：(1)t2+22t+121；(2)m2+n2-mn.14(2)m2+n2-mn=m2-2m n+(n)2=(m-n)2.解：(1)t2+22t+121=t2+211t+112
6、=(t+11)2.14 121212例3 把下列各式分解因式：(1)3ax2+6axy+3ay2；(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解:(1)原式=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2；分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为m2-12m+36.(2)原式=(a+b)2-2(a+b)6+62=(a+b-6)2.练一练：把下列各式分解因式：(1)ax2+2a2x+a3；(2)-x2-y2+2xy；解：(1)ax2+2a2x+a3=a(x2+2ax+a2)=a(x+a)2.先提出公因式a(2)-x2-y2+
7、2xy=-(x2-2xy+y2)=-(x-y)2.先提出公因式-1解：(3)(x+y)2-4(x+y)+4=(x+y)2-2(x+y)2+22=(x+y-2)2.(4)(3m-1)2+(3m-1)+=(3m-1)2+2(3m-1)+()2=(3m-)214121212(3)(x+y)2-4(x+y)+4；(4)(3m-1)2+(3m-1)+.14把(x+y)看成一个整体把(3m-1)看成一个整体当多项式有公因式时，应先提出公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；完全平方公式中的a、b，既可以是单项式，也可以是多项式，把多项式看成一个整体即可.方法总结 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完
8、全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.概念学习 例4 把下列完全平方公式分解因式：(1)1002210099+99；(2)3423432162.解：(1)原式=（10099)(2)原式(3416)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，=1.2500.例5 已知x24xy210y290，求x2y22xy1的值112121.解：x24xy210y290，(x2)2(y5)20.(x2)20，(y5)20，x20，y50，x2，y5，x2y22xy1(xy1)2几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.此类问题一般情况是通过配方将原式转化为非负数的和的形式，然后利用非负
9、数性质解答问题方法总结 当堂练习1.下列四个多项式中，能因式分解的是()Aa21 Ba26a9Cx25yDx25y2.把多项式4x2y4xy2x3分解因式的结果是()A4xy(xy)x3Bx(x2y)2Cx(4xy4y2x2)Dx(4xy4y2x2)3.若m2n1，则m24mn4n2的值是_BB14.若关于x的多项式x28xm2是完全平方式，则m的值为_ 45.把下列多项式因式分解.（1）x212x+36;（2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1x2;(2)原式=2(2a+b)22(2a+b)1+(1)=(4a+2b 1)2;解：(1)原式=x22x6+(6)2=(x6
10、)2;(3)原式=(y+1)x=(y+1+x)(y+1x).2(20142013)1.22(2014)2 2014 2013(2013)(2)原式 22(2)20142014 40262013.6.计算：(1)38.92238.948.948.92.解：(1)原式(38.948.9)2100.7.分解因式:(1)4x24x1；(2)小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.x22x3.13(2)原式(x26x9)(x3)21313解:(1)原式(2x)222x11(2x+1)2 小聪:小明:8.(1)已知ab3，求a(a2b)b2的值；(2)已知ab2，ab5，求a3b2a2b2ab3的值原式25250.解：(1)原式a22abb2(ab)2.当ab3时，原式329.(2)原式ab(a22abb2)ab(ab)2.当ab2，ab5时，课堂小结完全平方公式分解多项式 完全平方公式：a2+2ab+b2=()2a2-2ab+b2=()2多项式 的特征 另一项是这两整式的_的_倍.注意事项 有公因式时，应先提出_.公因式 a+b a-b 可化为_个整式.有两项符号_,能写成两个整式的_的形式.三 相同 平方和 乘积 2 运用平方差公式和完全平方公式分解因式的方法叫做公式法.