1、3.4数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点学 习 任 务核 心 素 养1理解几种常见函数模型的概念及性质(难点)2会分析具体的实际问题，建模解决实际问题(重点、难点)1通过几种函数模型的学习，培养数学抽象的素养2理解几种函数模型的应用，培养数学建模的素养.牛顿(16421727)是英国著名的物理学家、数学家和天文学家，是17世纪最伟大的科学巨匠然而，对于一些在自然科学上一知半解的人来说，牛顿的赫赫有名与其说来自于他的科学发现，毋宁说是来自于那个妇孺皆知的苹果落地的传说那是1666年夏末的一个傍晚，在英格兰林肯郡乌尔斯索普，一个腋下夹着一本书的年轻人走进了他母亲家的花园，坐在一棵树下，开始埋头
2、读他的书正在他翻动书页时，他头顶上的树枝被风吹得晃动了起来突然，“啪”的一声，一只历史上最著名的苹果落了下来，恰好打在了这位青年的头上这位青年不是别人，正是牛顿据说，牛顿当时正在苦苦思索着一个问题：是什么力量使月球保持在环绕地球运行的轨道上，又是什么力量使行星保持在其环绕太阳运行的轨道上？掉下来的苹果打断了他的思索，“为什么这只苹果会坠落到地上呢？”牛顿转而考虑起这个使他感到困惑不解的问题有人说正是从这一问题的思考中，他找到了答案，并提出了万有引力定律问题(1)你认为牛顿是从“苹果从树上落下”这一问题的思考中很简单的提出的万有引力吗？(2)你能想象一下牛顿发现万有引力的过程吗？知识点数学建模1
3、数学建模的概念对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模2数学建模过程在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题1某车主每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油的情况：加油时间加油量(升)加油时的累计里程(公里)2020年11月16日1232 0002020年11月21日4832 600(注：“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程)则16日21日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为()A6升B8升C10升D12升B由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600公里，所以该
4、车每100公里平均耗油量为4868(升)，故选B2.某家具的标价为132元，若降价以九折出售 (即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是_元108设进货价为a元，由题意知132(110%)a10%a，解得a108. 类型1建模过程描述与介绍(1)发现问题当市面上的苹果比较多时，苹果的价格就会降低这时，如果将苹果利用一定的技术手段进行保鲜存储，等到市面上的苹果变少、价格上升之后再出售，则同样多的苹果就可以获得比较高的销售收入不过，需要注意的是，保鲜存储是有成本的，而且成本会随着时间的延长而增大(2)提出问题针对上述这种日常生活中的现象，我们可以探讨的问题很多例如，为什么会
5、发生这些现象？什么情况下不会发生这样的现象？能够利用哪些技术手段进行保鲜存储？哪种保鲜存储的成本最低？等等(3)用数学观点对问题分析类似的这些问题，因为不仅仅涉及量的关系，所以如果只用数学手段研究，将是十分困难的上述现象中，涉及了量的增大与减少的问题，这可以用数学符号和语言进行描述(4)用数学知识描述问题，建立模型定性描述，确立初步模型设市面上苹果的量为x万吨，苹果的单价为y元上述现象说明，y会随着x的增大而减少，且y也会随着x的减少而增大也就是说，如果y是x的函数并记作yf(x)的话，f(x)是减函数同样地，如果设保鲜存储的时间为t天，单位数量的保鲜存储成本为C元，且C是t的函数并记作Cg(
6、t)的话，g(t)是一个增函数由于市面上的苹果的量x会随着时间t的变化而变化，因此可以认为x是t的函数，并记作xh(t)从上面这些描述不难看出，在第t天出售苹果时，单位数量的苹果所获得的收益z元可以用t表示出来，即zyCf(x)g(t)f(h(t)g(t)此时，如果f(x)，g(t)，h(t)都是已知的，则能得到z与t的具体关系式有了关系式之后，就能解决如下问题：z是否有最大值？如果z有最大值，那么t为多少时z取最大值？合理假设，确立模型怎样才能确定上述f(x)，g(t)，h(t)呢？这可以通过合理假设来完成例如，为了简单起见，我们可以假设f(x)和g(t)都是一次函数，且f(x)k1xl1，
7、g(t)k2tl2；并假设h(t)是一个二次函数，且h(t)at2btc.则有zf(h(t)g(t)k1at2(k1bk2)tk1cl1l2，其中k10，k20，a0.收集数据确定参数上述各参数可以通过收集实际数据来确定例如，如果我们收集到了如下实际数据x/万吨8.47.6y/元0.81.2t/天12C/天0.110.12t/天123x/万吨9.4629.3289.198利用待定系数法，根据前面的假设就可以确定出yf(x)0.5x5，Cg(t)0.01t0.1，xh(t)0.002t20.14t9.6，因此z0.001t20.06t0.1问题解决与总结注意到上式可以改写成z0.001(t30)
8、21，所以此时在t30时，z取最大值1也就是说，在上述情况下，保鲜存储30天时，单位商品所获得的利润最大，为1元以上我们用叙述的方式，让大家经历了一个简单的数学建模全过程在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式一般来说，数学建模论文的结构可以按照建模过程来确定 类型2数学建模建立函数模型解决实际问题【例】某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(1)分别写出两类产品的收益
9、与投资额的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解(1)设两类产品的收益与投资额的函数分别为f(x)k1x，g(x)k2.由已知得f(1)k1，g(1)k2，所以f(x)x(x0)，g(x)(x0)(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20x)万元，依题意得yf(x)g(20x)x(0x20)令t(0t2)，则yt(t2)23，所以当t2，即x16时，收益最大，即投资债券16万元，投资股票4万元时获得最大收益，最大收益为3万元解决此类问题的过程某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现，此商
10、品的销售单价x(元)与日销售量y件之间有如下关系(见表)：销售单价x(元)30404550日销售量y(件)6030150(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式yf(x)；(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？解(1)根据题干中所给表作图，如图，点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上，设此直线为ykxb，解得y3x150(30x50)经检验，点(30,60)、(40,30)也在此直线上，故所求函数关系式为y
11、3x150(30x50)(2)依题意有Py(x30)(3x150)(x30)3(x40)2300，当x40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润. 1已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t(时)的函数表达式是()Ax60t50t(0t6.5)BxCxDxD根据题意，函数为分段函数，求出每一段上的解析式即可2甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到
12、第6年2万只乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？解(1)由题图可知，直线y甲kxb经过(1,1)和(6,2)，可求得k0.2，b0.8.所以y甲0.2(x4)同理可得y乙4.当x2时，y甲1.2，y乙26，故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为261.231.2(万只)(2)规模缩小了原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只(3)设第x年规模最大，即求y
13、甲y乙0.2(x4)40.8x23.6x27.2的最大值函数图像的对称轴为x2.25，因为xN，当x2时，y甲y乙31.2最大，即第二年规模最大，为31.2万只.走近数学建模实际问题一直是数学发展的重要源泉，解决实际问题也一直是数学价值的重要体现下面我们来看数学史上一个极具影响的数学建模实例实际问题普莱格尔河穿过美丽的哥尼斯堡城(现为俄罗斯的加里宁格勒)普莱格尔河有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，在河上有七座桥，如图(1)图(1)岛上有古老的哥尼斯堡大学、知名的大教堂，居民经常到河岸和桥上散步在18世纪初的一天，有人突发奇想：如何才能走过这七座桥，而每座桥都只能经过一次，最后又回到原
14、来的出发点？人们开始沉迷于这个问题，在桥上来来回回不知走了多少次，却始终不得其解，这就是著名的哥尼斯堡七桥问题(Seven Bridges of Knigsberg)实际问题的数学表述七桥问题引起了数学家欧拉(Lonard Euler,17071783)的极大兴趣他想：经过这么多人的努力都没有找到一次不重复走完七座桥的路径，会不会根本不存在这样的走法？首先，欧拉想到的是穷举法，就是把所有的走法都一一列出来，再一个一个验证但是，他很快发现这样做太麻烦了，因为对七座桥的不同走法就有5 000多种，并且这种方法不具有通用性经过反复思考，欧拉想到：岛的形状、大小，以及桥的长短、宽窄并不影响结果，重要的
15、是陆地、桥与岛这三者之间的位置关系不妨把图中被河隔开的4块陆地看作4个点，连接陆地的7座桥看作7条线，就得到如图(2)的图形实际问题中的陆地、河流和桥梁景观就不见了，七桥问题就变成能否一笔画出此图形的问题这就是欧拉对七桥问题建立起来的数学模型图(2)数学问题的解决欧拉注意到，如果这样的图形能一笔画成，那么除去起点和终点外，其他的点都是“经过点”“经过点”的特征是：只要从一条线进入这个点，就要从另一条线离开这个点有进无出，只能是终点；有出无进，只能是起点若以某一点为端点的线有偶数条，则称该点为偶点；否则称为奇点显然“经过点”是偶点如果起点和终点是同一个点，那么这个点也是偶点一笔画定理一个由点和线组成的图形能一笔画完，必须符合以下两个条件：(1)图形是连在一起的，即是连通图形；(2)图形中的奇点个数为0或2.