1、3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系学 习 任 务核 心 素 养1理解函数零点的概念以及函数的零点与方程的根之间的关系(难点)2会求函数的零点(重点)3掌握函数与方程、不等式之间的关系，并会用函数零点法求不等式的解集(重点、难点)1借助函数零点概念的理解，培养数学抽象的素养2通过函数与方程、不等式之间的关系的学习，培养逻辑推理的素养3利用零点法求不等式的解集，提升数学运算的素养.路边有一条河，小明从A点走到了B点，观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？(1)(2)将这个实际问题抽象成数学模型知识点一函数的零点(1)函数零
2、点的概念：一般地，如果函数yf(x)在实数处的函数值等于零，即f()0，则称实数为函数yf(x)的零点(2)三者之间的关系：函数f(x)的零点函数f(x)的图像与x轴有交点方程f(x)0有实数根1(1)函数的零点是一个点吗？(2)任何函数都有零点吗？提示(1)函数的零点是一个实数，而不是一个点(2)并不是任何函数都有零点，如y1，yx21就没有零点1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点()(2)一次函数ykxb(k0)只有一个零点()(3)一次不等式的解集不可能为，也不可能为R.()(4)对于二次函数f(x)ax2bxc(a0)，当0时，此函数有两个
3、零点，对应的方程有两个相等的实数根()答案(1)(2)(3)(4)2.函数y1的零点是()A(1,0)Bx1Cx1Dx0B令10解得x1，故选B知识点二三个“二次”的关系1三个“二次”的关系设yax2bxc(a0)，方程ax2bxc0的判别式b24ac判别式000解不等式y0或y0的步骤求方程y0的解有两个不相等的实数根x1，x2 (x1x2)有两个相等的实数根x1x2没有实数根画函数yax2bxc(a0) 的图像解不等式y0或y0的步骤不等式的解集y0x|xx1_或xx2Ry0x|x1xx22.若一元二次不等式ax2x10的解集为R，则实数a应满足什么条件？提示结合二次函数图像可知，若一元二
4、次不等式ax2x10的解集为R，则解得a，所以不存在实数a使不等式ax2x10的解集为R.2图像法解一元二次不等式的步骤(1)解一元二次不等式对应的一元二次方程；(2)求出其对应的二次函数的零点；(3)画出二次函数的图像；(4)结合图像写出一元二次不等式的解集3.思考辨析(对的打“”，错的打“”)(1)二次函数f(x)x22x1a2(a0)不一定存在零点()(2)若a0，则一元二次不等式ax210无解()(3)若一元二次方程ax2bxc0的两根为x1，x2(x1x2)，则一元二次不等式ax2bxc0的解集为x|x1x0，所以函数有两个零点(2)因为a0，所以不等式ax210恒成立，即原不等式的
5、解集为R.(3)当a0时，ax2bxc0的解集为x|x1x0，所以方程2x24x30有两个不相等的实根，即f(x)有两个零点2不等式x(2x)0的解集为()Ax|x0Bx|x2或x0Dx|0x2D原不等式化为x(x2)0，故0x2.3函数yx22x3的零点是()A(1,0)，(3,0)Bx1Cx3D1和3D令x22x30得(x3)(x1)0，所以x11，x23.4关于x的一元二次不等式ax2bxc0的解集是全体实数的条件是()ABCDD由于不等式ax2bxc0的解集为全体实数，所以与之相对应的二次函数yax2bxc的图像恒在x轴下方，则有5不等式(x1)(x29)0的解集是_x|3x1或x3原
6、不等式可化为(x1)(x3)(x3)0，则对应方程的三个实数根分别为1，3，3.如图所示，在数轴上标出三个实数根，从右上方开始依次穿过由图可知不等式(x1)(x29)0的解集为x|3x1或x3回顾本节知识，自我完成以下问题：1如何理解二次函数的零点及其与对应方程、不等式的关系？提示(1)ax2bxc0(a0)的解是函数f(x)ax2bxc的零点(2)ax2bxc0(a0)的解集是使f(x)ax2bxc的函数值为正数的自变量x的取值集合；ax2bxc0(a0)的解集是f(x)ax2bxc的函数值为负数的自变量x的取值集合2图像法解一元二次不等式分哪几步？提示(1)解一元二次不等式对应的一元二次方
7、程；(2)求出其对应的二次函数的零点；(3)画出二次函数的图像；(4)结合图像写出一元二次不等式的解集3解一元高次不等式的方法是什么方法？提示穿根法：解简单的一元高次不等式常用穿根法中外历史上的方程求解在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程求解的问题约公元50100年编成的九章算术，就以算法形式给出了求一次方程、二次方程和正系数三次方程根的具体方法；7世纪，隋唐数学家王孝通找出了求三次方程正根的数值解法；11世纪，北宋数学家贾宪在黄帝九章算
8、法细草中提出的“开方作法本源图”，以“立成释锁法”来解三次或三次以上的高次方程式同时，他还提出了一种更简便的“增乘开方法”；13世纪，南宋数学家秦九韶在数书九章中提出了“正负开方术”，提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正根国外数学家对方程求解亦有很多研究.9世纪，阿拉伯数学家花拉子米(AlKhowarizmi，约780850)给出了一次方程和二次方程的一般解法；1541年，意大利数学家塔尔塔利亚(N.Tartaglia，约14991557)给出了三次方程的一般解法；1545年意大利数学家卡尔达诺(G.Cardano,15011576)的名著大术一书中，把
9、塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里(L.Ferrari,15221565)的四次方程的一般解法数学史上，人们曾经希望得到一般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果.1778年，法国数学大师拉格朗日(J.L.Lagrange,17361813)提出了五次方程根式解不存在的猜想.1824年，挪威年轻数学家阿贝尔(N.H.Abel,18021829)成功地证明了五次以上一般方程没有根式解.1828年，法国天才数学家伽罗瓦(E.Galois,18111832)巧妙而简洁地证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次以上的高次代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如二分法、牛顿法、拟牛顿法、弦截法等