1、第一章 统计4 数据的数字特征考 纲 定 位重 难 突 破1.掌握各种基本数字特征的概念、意义以及它们各自的特点.2.要重视数据的计算，体会统计思想.重点：各种数据特征的意义以及计算.难点：根据问题的需要选择不同的统计量表达数据的信息.01 课前 自主梳理02 课堂 合作探究03 课后 巩固提升课时作业自主梳理统计量反映数据的集中趋势的量平均数：若x1，x2，xn为n个样本，则平均数x_.中位数：一组从小到大排列的数，若个数是奇数，_的数为中位数，若个数是偶数，中位数为_.众数：一组数中_的数据.反映数据的离散程度的量极差：一组数据中的_与_的差.方差：s2（x1x）2（x2x）2（xnx）2
2、n.标准差：s s2（x1x）2（x2x）2（xnx）2n.x1x2xnn位于中间位于中间两个数的平均数出现次数最多最大值最小值双基自测1下列能刻画一组数据离散程度的是()A平均数 B方差 C中位数 D众数解析：方差能刻画一组数据离散程度的大小答案：B2下列说法中，错误的是()A数据 2，4，6，8 的中位数是 4，6B数据 1，2，2，3，4，4 的众数是 2，4C一组数据的众数、中位数、平均数有可能是同一个数据D8 个数据的平均数为 5，另 3 个数据的平均数为 7，则这 11 个数据的平均数是857311解析：由中位数的特征，知 A 中的中位数有两个是错误的，其中位数应为462 5.答案
3、：A3一个样本的方差 s2 110(x115)2(x215)2(x1015)2，则这个样本的平均数与样本容量分别是_解析：由方差的计算公式知x15，n10.故这个样本的平均数为 15，样本容量为 10.答案：15，10探究一 中位数、众数、平均数的计算及应用典例 1 据报道，某公司的 33 名职工的月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从 5 000 元提升到 20 000 元，董事长的工资从 5 50
4、0 元提升到30 000 元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平？结合此问题谈一谈你的看法解析(1)平均数是x1 5004 0003 5002 00021 5001 00055003020331 5005912 091(元)中位数是 1 500 元，众数是 1 500 元(2)新的平均数是x1 50028 50018 5002 00021 5001 00055003020331 5001 7883 288(元)中位数是 1 500 元，众数是 1 500 元(3)在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司
5、中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平理解并掌握平均数、众数、中位数的概念，平均数、众数、中位数可能相同，也可能不同，注意某几个数据的平均数就是这些数的算术平均数，样本平均数代表了数据更多的信息，在实际问题中计算时，应按照实际要求进行计算1某学校对高一年级经过初步比较后，决定从高一年级(1)(4)(8)班这三个班中推荐一个班为市级先进班集体的候选班，现对这三个班进行综合素质考评，下表是它们五项素质考评的得分表：(以分为单位，每项满分为 10 分)班级行为规范学习成绩校运动会艺术获奖劳动卫生高一(1)班10106107
6、高一(4)班108898高一(8)班910969请问各班五项考评分的平均数、中位数和众数中哪个统计量不能反映三个班的考评结果的差异？并从中选择一个能反映差异的统计量将它们的得分进行排序解析：设 P1、P4、P8顺次为三个班考评分的平均数；W1、W4、W8顺次为三个班考评分的中位数；Z1、Z4、Z8顺次为三个班考评分的众数则 P115(10106107)8.6(分)，P415(108898)8.6(分)，P815(910969)8.6(分)；W110(分)，W48(分)，W89(分)；Z110(分)，Z48(分)，Z89(分)所以平均数不能反映这三个班的考评结果的差异，而用中位数(或众数)能反映
7、差异，且 W1W8W4(或 Z1Z8Z4)探究二 方差、标准差与应用典例 2 甲、乙两支篮球队在一次联赛中，各进行 10 次比赛，得分如下：甲队：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100.乙队：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102.请计算甲、乙两队的方差与标准差，并判断哪支球队发挥更为稳定解析 x甲 110(10097100)100.3，x乙 110(9797102)100.3，则 s2甲 110(100100.3)2(100100.3)25.61，则 s2乙 110(97100.3)2(102100.3)29.21，所以甲队的
8、标准差为 s 甲 5.612.37，乙队的标准差为 s 乙 9.213.03.由此可以判断甲队的得分方差小，标准差也相应较小，因此甲队在联赛中发挥更为稳定一些在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中、越稳定2某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的 8 次测试成绩记录如下：甲 95 82 88 81 93 79 84 78乙 83 92 80 95 90 80 85 75试比较哪个工人的成绩较好解析：x甲18(787981828488
9、9395)85，x乙18(7580808385909295)85.s2甲18(7885)2(7985)2(8185)2(8285)2(8485)2(8885)2(9385)2(9585)235.5，s2乙18(7585)2(8085)2(8085)2(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2(9585)241.x甲x乙，s2甲s2乙，甲的成绩较稳定综上可知，甲的成绩较好探究三 数字特征的综合应用典例 3 甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次，每次射靶的成绩情况如图所示：(1)请填写下表：平均数方差中位数命中 9 环及 9 环以上次数甲乙(2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果
10、进行分析：从平均数和方差相结合看，分析谁的成绩稳定；从平均数和中位数相结合看，分析谁的成绩好些；从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看，分析谁的成绩好些；从折线图上两人射击命中环数的走势看，分析谁更有潜力解析(1)观察折线图可得甲射击 10 次中靶环数分别为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.将它们由小到大重排为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.乙射击 10 次中靶环数分别为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.将它们由小到大重排为：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.x甲 110(56274829)7，x乙 110(24672829210)7，s2甲 1
11、10(57)2(67)22(77)24(87)22(97)2 110(42024)1.2，s2乙 110(27)2(47)2(67)2(77)22(87)22(97)22(107)2 110(25910289)5.4.根据以上的分析与计算填表如下：平均数方差中位数命中 9 环及 9 环以上次数甲71.271乙75.47.53(2)因为平均数相同，且 s2甲s2乙，所以甲的成绩比乙稳定因为平均数相同，甲的中位数乙的中位数，所以乙的成绩比甲好些因为平均数相同，命中 9 环及 9 环以上的次数甲比乙少，所以乙的成绩比甲好些甲成绩在平均数上下波动，而乙的成绩处于上升势头，从第四次以后就没有比甲少的情况
12、发生，所以乙较有潜力1计算标准差的方法：(1)算出样本数据的平均数(2)算出每个样本数据与样本平均数的差 xix(i1，2，n)(3)算出(xix)2(i1，2，n)(4)算出(xix)2(i1，2，n)这 n 个数的平均数，即为样本方差 s2.(5)算出方差的算术平方根，即为样本标准差 s.2方差的计算公式：(1)s21n(x1x)2(x2x)2(xnx)2(2)s21n(x21x22x2nn x2)(3)s21n(x21x22x2n)x2.3为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为 me，众数为 mo，平均值为
13、x，则()Amemox BmemoxCmemoxDmomememo，故选 D.答案：D样本数据的数字特征的综合应用典例(本题满分 12 分)在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100甲组251013146人数乙组441621212已经算得两个组的平均分都是 80 分请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由规范解答(1)甲组成绩的众数为 90 分，乙组成绩的众数为 70 分，从成绩的众数看，甲组成绩较好.2 分(2)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是 80 分其中，甲组成绩在 80 分以上(包括80 分)的有 33 人，乙
14、组成绩在 80 分以上(包括 80 分)的有 26 人，从这一角度看，甲组成绩较好.5 分(3)s2甲 1502(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172.s2乙 1504(5080)24(6080)216(7080)22(8080)212(9080)212(10080)2256.因为 s2甲s2乙，所以甲组成绩比乙组成绩稳定，从这一角度看，甲组成绩较好.9 分(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于或等于 90 分的有 20 人，乙组成绩大于或等于 90分的有 24 人，所以乙组成绩分布在高分段的人数较多同时，乙组得满分的人数比甲组
15、得满分的人数多 6，从这一角度看，乙组成绩较好.12 分规范与警示(1)对实际问题的分析评价，不仅要依据单个样本数字特征，还要综合考虑样本分布的影响，养成从多角度看问题的习惯(2)本题仅涉及一些简单的样本数字特征的计算，但在没有任何提示的情况下，要根据这些数据进行分析和判断，会令人束手无策要正确解答这道题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行评价，如本题中的“满分人数”注意要在恰当的评估后，组织正确的语言作出结论随堂训练 1已知一组数据从小到大的排列顺序为1，0，4，x，6，15 且这组数据的中位数为 5，那么数据的众数为()A5 B6C4 D5.5解析：由中位数定义得x42 5，x6，数
16、据的众数为 6.答案：B2某学习小组在一次数学测验中，得 100 分的有 1 人，95 分的有 1 人，90 分的有 2人，85 分的有 4 人，80 分和 75 分的各有 1 人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是()A85，85，85 B87，85，86C87，85，85 D87，85，90解 析：由 平 均 数、中 位 数、众 数 的 定 义 可 知，平 均 数 x 110019529048518017511241187；因为得 85 分的有 4 人，所以众数是 85；把成绩由大到小排列为 100，95，90，90，85，85，85，85，80，75，故中位数是 85.答案：C3已知数据 a，a，b，c，d，b，c，c，且 abcd，则这组数据的众数为_，中位数为_，平均数为_解析：这 8 个数据按从小到大的顺序排列为 a，a，b，b，c，c，c，d.c 出现的次数最多，故众数为 c，中间的两个数为 b，c，故中位数为bc2，平均数为2a2b3cd8.答案：c bc2 2a2b3cd8课时作业