1、第1课时 平方差公式 11.3 公式法 第十一章 因式分解 学习目标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想（重点）2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解（难点）导入新课a米b米b米a米(a-b)情境引入 如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2-b2=(a+b)(a-b)讲授新课用平方差公式进行因式分解 一想一想：多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？是a,b两数的平方差的形式)(baba-+=22ba-)(22bababa-+=-整式乘法 因式分解两个数的平方差，等于
2、这两个数的和与这两个数的差的乘积.平方差公式：辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成:()2-()2的形式.（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2-(x2+y2)y2-x2（4）-x2+y2（5）x2-25y2(x+5y)(x-5y)（6）m2-1(m+1)(m-1)2(1)49;x 例1 分解因式：22(2)3x(23)(23);xx22(2)()().xpx qaabb(+)(-)a2-b2 =解:(1)原式=2x32x2x33()()()()xpxqxpxq(2)原式(2)().xpq p q22(
3、)()xpx qab典例精析 公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.方法总结 练一练 把下列各式分解因式：(1)4x2-9y2；(2)(3m-1)2-9(2)(3m-1)2-9=(3m-1)2-32=(3m-1+3)(3m-1-3)=(3m+2)(3m-4).解：(1)4x2-9y2=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y).方法归纳：平方差公式中的a、b，是形式上的两个“数”，它们可以表示单项式，也可以表示多项式.分解因式：(1)(ab)24a2；(2)9(mn)2(mn)2.针对训练(2m4n)(4m2n
4、)解：(1)原式(ab2a)(ab2a)(ba)(3ab)；(2)原式(3m3nmn)(3m3nmn)4(m2n)(2mn)若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.)(22bababa-+=-2015220142=（2mn）2-(3xy)2=(x+z)2-(y+p)2=例2 把下列各式分解因式：(1)a3-16a；(2)2ab3-2ab.解：(1)a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4)(2)2ab3-2ab=2ab(b2-1)=2ab(b+1)(b-1).方法归纳：当多项式有公因式时，应先提出公因式，再看能否利用平方差公式进行因式分解.练一练 分解因
5、式：443(1);(2).xya bab解：(1)原式(x2)2-(y2)2(x2+y2)(x2-y2)分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.(x2+y2)(x+y)(x-y);(2)原式ab(a2-1)分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.ab(a+1)(a-1).分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止方法总结 分解因式：(1)5m2a45m2b4；(2)a24b2a2b.针对训练(a2b)(a2b1).5m2(a2b2)(ab)(ab)；解：(1)原式5m
6、2(a4b4)5m2(a2b2)(a2b2)(2)原式(a24b2)(a2b)(a2b)(a2b)(a2b)例3 已知x2y22，xy1，求x-y，x，y的值xy2.解：x2y2(xy)(xy)2，xy1，联立组成二元一次方程组，解得1,23.2xy 在与x2y2，xy有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.方法总结 练一练：已知：a2-b2=21,a-b=3，求代数式(a-3b)2的值.解：因为 a-b=3，所以(a+b)(a-b)=21，所以 a+b=7由 a-b=3和a+b=7解得a=5,b=2所以(a-3b)2=(5-32)2=1.例4 计算
7、下列各题：(1)1012992；(2)53.524-46.524.解：(1)原式(10199)(10199)400；(2)原式4(53.5246.52)=4(53.546.5)(53.546.5)41007=2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()Aa2(b)2B5m220mnCx2y2Dx29当堂练习D2.分解因式(2x+3)2-x2的结果是（）A3(x2+4x+3)B3(x2+2x+3)C(3x+3)(x+3)D3(x+1)(x+3)D3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（）A-21
8、B21 C-10 D10A4.把下列各式分解因式：(1)16a2-9b2=_;(2)(a+b)2-(a-b)2=_;(3)9xy3-36x3y=_;(4)-a4+16=_.(4a+3b)(4a-3b)4ab9xy(y+2x)(y-2x)(4+a2)(2+a)(2-a)5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_.46.已知4m+n=40，2m-3n=5求(m+2n)2-(3m-n)2的值原式=-405=-200解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)（2m-3n)，当4m+n=40，2m-3n=5时
9、，7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积 解：根据题意，得 6.8241.626.82(21.6)26.823.22(6.83.2)(6.8 3.2)103.636(cm2)答：剩余部分的面积为36 cm2.8.(1)992-1能否被100整除吗？解：(1)因为 992-1=(99+1)(99-1)=10098，所以，(2n+1)2-25能被4整除.(2)n为整数,（2n+1)2-25能否被4整除？所以992-1能否被100整除.(2)原式=(2n+1+5)(2n+1-5)=(2n+6)(2n-4)=2(n+3)2(n-2)=4(n+3)(n-2).课堂小结平方差公式分解多项式 平方差公式：a2-b2=()()多项式 的特征 每一项都是整式的_.注意事项 有公因式时，应先提出_.进行到每一个多项式都不能再分解为止.公因式 a+b a-b 可化为_个整式.两项符号_.两 相反 平方
