1、第二章 解析几何初步1.5 平面直角坐标系中的距离公式自主学习 梳理知识课前基础梳理|学 习 目 标|1掌握两点间的距离公式2掌握点到直线的距离公式3会求两条平行线间的距离.1两点间的距离公式若两点 A、B 的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有两点 A，B 间的距离公式：|AB|_.x2x12y2y12练一练(1)已知 A(1，1)，B(1,1)，则 A，B 两点间的距离为()A1 B2 C 2 D2 2答案：D2点到直线的距离公式点 P(x0，y0)到直线 AxByC0 的距离记为 d，则 d|Ax0By0C|A2B2.练一练(2)坐标原点(0,0)到直线 x2y50 的距
2、离为()A1 B 3C2 D 5答案：D3平行线间的距离直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20(C1C2)，则 l1与 l2 间的距离为 d|C1C2|A2B2.练一练(3)两条平行线 2xy10 与 y2x2 之间的距离是()A1 B7 C3 55D 55答案：C1两点间的距离公式有何用途？答：两点间的距离公式，反映了两点坐标与两点距离之间的关系，可以用它求两点距离，也可以用它求点的坐标2应用点到直线的距离公式对直线有何要求？答：公式中的直线为一般式，若解题中遇到的方程不是一般式，应先化为一般式3求两平行线间的距离应注意什么？答：用两平行线间的距离公式时，要把两直线化为一般式，且
3、x，y 对应项系数必须相同.典例精析 规律总结课堂互动探究 ABC 的三个顶点 A(4,1)，B(7,5)，C(4,7)，求：(1)三边的长；(2)AB 边上的中线 CM 的长【解】(1)|AB|7425125，|BC|4727525 5，|CA|44217210.(2)AB 的中点 M 的坐标为：x472 112，y152 3，即M112，3，|CM|112 4 23725 172.【规律总结】运用公式时，要注意所代坐标的对应顺序，必要时结合图形来分析问题 已知点 A(5,12)，若 P 点在 x 轴上，且|PA|13，则 P 到原点的距离为_解析：设点 P 坐标为(x,0)，由两点间的距离
4、公式，得(x5)2122132.则 x55，x10 或 x0，即 P 到原点的距离为 10 或 0.答案：10 或 0 已知一直线经过点 P(1,2)，并且与点 A(2,3)和 B(0，5)的距离相等，求此直线的方程【解】(1)当直线斜率不存在时，直线方程为 x1.点 A 和点 B 到直线 x1 的距离相等，均为 1.(2)当直线斜率存在时，设该直线方程为y2k(x1)，即 kxyk20.由题意得|2k3k2|12k2|5k2|12k2.解得 k4，直线方程为 4xy20.综上知直线 l 的方程为 x1 或 4xy20.【规律总结】当直线与坐标轴垂直时，求点到直线的距离可不用距离公式，借助图像
5、直接求出横坐标差的绝对值或纵坐标差的绝对值即得距离运用距离公式时，务必把直线方程化为一般式 求经过直线 l1：xy30 和直线 l2：2xy80 的交点，且到点 P(1,3)的距离为53的直线的方程解：由xy30，2xy80，得两直线交点为53，143，若过点53，143 的直线斜率不存在，则其方程为 x53，此时 P(1,3)到x53距离为83，不符合题意则所求直线必存在斜率，设其方程为 y143 kx53，即3kx3y5k140.由题意得：|3k1335k14|3k23253，整理得：|8k5|5 k21，即 39k280k0，k0 或 k8039.直线方程为 3y140 或 240 x1
6、17y1460.求与直线 l：5x12y60 平行且到 l 的距离为 2的直线的方程【解】所求直线与已知直线平行设其方程为 5x12yC0.由两平行线间的距离公式可得：|C6|521222，整理得|C6|26，解得 C32 或 C20.直线方程为 5x12y320 或 5x12y200.【规律总结】求两平行线间的距离，用距离公式时，要将两直线一般方程转化为 x，y 对应项系数分别相等的形式两平行线间的距离也可能转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离 两条相互平行的直线分别过点 A(6,2)和B(3，1)并各自绕着 A，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为 d，求：(1)d 的取值范围(2)
7、当 d 取最大值时两条直线的方程解：(1)如图，显然有 0d|AB|.而|AB|6322123 10，故所求 d 的变化范围是(0,3 10=(2)由图知，当 d 取最大值时，两直线均垂直于 AB，而 kAB216313，所以所求直线的斜率为3.故所求的直线方程为 y23(x6)和 y13(x3)，即3xy200 和 3xy100.直线 l1 过点 A(0,1)，l2 过点 B(5,0)，如果 l1l2 且 l1与 l2 的距离为 5，求 l1，l2 的方程【错解】设直线 l1 的方程为 ykx1，即 kxy10.l1l2，直线 l2 的方程为 yk(x5)，即 kxy5k0.由两平行线间的距
8、离公式得|15k|k2125，解得 k125.l1 的方程为125 xy10，即 12x5y50；l2 的方程为125 xy120，即 12x5y600.【错因分析】错解默认为直线 l1 与 l2 存在斜率，漏掉了直线斜率不存在的情况【正解】若直线 l1 斜率存在，则设直线 l1 的斜率为 k，l1l2，l2 的斜率也为 k.由斜截式得 l1 的方程 ykx1，即 kxy10，由点斜式可得 l2 的方程 yk(x5)，即 kxy5k0.在直线 l1 上取点 A(0,1)，则点 A 到直线 l2 的距离 d|15k|1k25，25k210k125k225，k125.l1 的方程为 12x5y50
9、，l2 的方程为 12x5y600.若 l1、l2 的斜率不存在，则 l1 的方程为 x0，l2 的方程为 x5，它们之间的距离为 5，同样满足条件，则满足条件的直线方程有以下两组：l1：12x5y50，l2：12x5y600或l1：x0，l2：x5.即学即练 稳操胜券基础知识达标知识点一 两点间的距离1已知 A(2，1)，B(2,5)，则|AB|等于()A4 B 10C6 D2 13答案：D知识点二 点到直线的距离2点 P(2,1)到直线 4x3y10 的距离等于()A.45B107C.125D2解析：由题意知，d|24311|4232105 2.答案：D知识点三 平行线间的距离3已知直线
10、3x4y30 与直线 6xmy140 平行，则它们之间的距离是()A.1710B175C8 D2解析：两直线平行，346m，解得 m8，代入直线方程得 6x8y140，即 3x4y70，两直线间距离 d|73|3242 105 2.答案：D知识点四 距离公式的应用4已知 A(2，1)，B(a,3)且|AB|5，则 a_.解析：2a21325，整理得：a24a50，解得 a5 或 a1.答案：5 或 15已知点 P(x，y)在直线 xy40 上，求 x2y2 的最小值解：x2y2 表示点 P 到坐标原点 O(0,0)的距离的平方，当 OP垂直于直线 xy40 时，x2y2 取得最小值，即 x2y2 的最小值为原点 O(0,0)到直线 xy40 的距离的平方利用点到直线的距离公式，d2|10104|121228.所以 x2y2 的最小值为 8.word部分：请做：课时跟踪检测层级训练 提能过关点此进入该word板块