1、2.2.3一元二次不等式的解法学 习 任 务核 心 素 养1理解一元二次不等式的定义2能够利用因式分解法和配方法解一元二次不等式(重点、难点)3了解简单的分式不等式，并会求其解集(难点、易错点)1借助一元二次不等式的概念，培养数学抽象核心素养2通过学习一元二次不等式的解法，提升数学运算核心素养3借助简单分式不等式的解法，培养逻辑推理核心素养.某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5 000册要使杂志社的销量收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？知识点一一元二次不等式的概念一般地，形如ax2bxc0的不等式称为一元二次不等式，
2、其中a，b，c是常数，而且a0.一元二次不等式中的不等号也可以是“”“”“”等一元二次不等式的二次项系数a有a0或a0两种，注意a0.当a0时，我们通常将不等式两边同乘以1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式1下列不等式中，哪些是一元二次不等式(其中a，b，c，m为常数)?(1)ax20；(2)x35x60；(3)xx20；(4)x20；(5)mx25y0；(6)ax2bxc0；(7)x0.解题号是否是一元二次不等式理由(1)不是a0时，不符合一元二次不等式的定义(2)不是x的最高次数为3(3)是符合一元二次不等式
3、的定义(4)是符合一元二次不等式的定义(5)不是m0时，为一元一次不等式m0时，含有x，y两个未知数(6)不是a0时，x的最高次数不是2(7)不是不是整式不等式知识点二一元二次不等式的解法1因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x1x2，则不等式(xx1)(xx2)0的解集是(x1，x2)；不等式(xx1)(xx2)0的解集是(，x1)(x2，)2配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax2bxc0(a0)通过配方总是可以变为(xh)2k或(xh)2k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集拓展一元二次不等式ax2bxc0(a0)通过配方总是可以变为(xh)2k或(xh)2k的形
4、式(1)当k0时，(xh)2k的解集为(，h)(h，)；(xh)2k的解集为(h，h)(2)当k0时，(xh)2k的解集为R；(xh)2k的解集为.2.不等式x(x2)0的解集为_，不等式x(x2)0的解集为_答案x|x0或x2x|0x23.不等式(2x5)(x3)0的解集为_原不等式可化为(x3)0，所以3x，所以原不等式的解集为.4.不等式3x22x10的解集是_R因为(2)243141280，所以不等式3x22x10的解集为R.知识点三分式不等式的解法1分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式各种分式不等式经过同解变形，都可化为标准形式0(0)或0(0)2分式不等式的解法解
5、分式不等式的思路转化为整式不等式求解化分式不等式为标准型的方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式将分式不等式转化为整式不等式求解5.不等式0的解集为()ABCDC原不等式等价于(x1)(2x1)0或x10，解得x或x1或x1，所以原不等式的解集为. 类型1解一元二次不等式解不含参数的一元二次不等式【例1】已知集合Ax|x2x20，则RA()Ax|1x2Bx|1x2Cx|x1x|x2Dx|x1x|x2B法一：由x2x20左边因式分解得(x1)(x2)0，解得x1或x2，则Ax|x1或x2，所以RAx|1x2法二：由x2x20左边配方可得0，即，两边开方得，所以x2或x1，所以RAx|1x2
6、将本例题的条件不变，添加集合Bx|(x1)(x3)0，则(RA)B_.x|1x2由例题知RAx|1x2由(x1)(x3)0，解得1x3，所以(RA)Bx|1x2解一元二次不等式的方法有哪些？提示(1)因式分解法：不等式的左端能够进行因式分解的可用此法，它只能适用于解决一类特殊的不等式(2)配方法：一元二次不等式ax2bxc0(a0)通过配方总可以化为(xh)2k或(xh)2k的形式，然后根据k值的正负即可求得不等式的解集解含有参数的一元二次不等式【例2】解关于x的不等式ax2x0.解根据题意，分情况讨论：当a0时，不等式化为x0，即x0.此时不等式的解集为(，0)；当a0时，方程ax2x0有两
7、根，分别为0和.当a0时，0，此时不等式的解集为(，0)；当a0时，0，此时不等式的解集为.综上可得：当a0时，不等式的解集为(，0)；当a0时，不等式的解集为(，0)；当a0时，不等式的解集为.含参数的一元二次不等式求解的注意事项(1)参数只在一次项系数位置时，首先利用配方法或者因式分解法得其一元二次方程的根，然后分析根的大小作出结论(2)如果二次项系数为参数，则通常是先分析二次项系数的正、0、负三种情况，分别得其解后再分析解的大小，从而作出结论1解不等式：x2(2a)x2a0.解由x2(2a)x2a0得，(x2)(xa)0，当a2时，不等式的解集是R；当a2时，不等式的解集是(，2a，)；
8、当a2时，不等式的解集是(，a2，) 类型2解简单的分式不等式【例3】(1)不等式1的解集是_(2)若关于x的不等式axb0的解集是(2，)，则关于x的不等式0的解集是()A(，1)(2，)B(，2)(2，)C(2,2)D(1,2)思路探究(1)先把分式不等式化为等价的整式不等式后再求解；(2)根据不等式及解集，可判断a的符号及2.将所求不等式变形，结合一元二次不等式解法即可求得解集(1)x|4x1(2)B(1)因为1，所以10，即0，所以0.所以(x1)(x4)0，故4x1(2)由x的不等式axb0，变形可得axb，因为关于x的不等式axb的解集是(2，)，所以a0且2，则不等式0可化为0，
9、即0，等价于a(x2)(x2)0，因为a0，解得x2或x2，即x(，2)(2，)1将本例(1)不等式改为1，求解集解因为1，所以(x1)(x4)0，且x40，故x1或x4，即x(，4)1，)2将本例(2)中0，改为0，其他条件不变，求不等式的解集解由题意，可得a0且2.不等式0可化为0，即0，等价于a(x2)(x2)0，因为a0，解得2x2，即x(2,2)解分式不等式的步骤 类型3两个“二次”间的关系方程x22x30与不等式x22x30的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？提示方程x22x30的解集为1，3.,不等式x22x30的解集为x|x3，观察发现不等式x22x30解集的端点值恰好是
10、方程x22x30的根.【例4】(1)若不等式ax2bx20的解集是，则ab的值为()A14B10C10D14(2)已知一元二次不等式x2pxq0的解集为，求不等式qx2px10的解集(1)D(1)由已知得，ax2bx20的解为，且a0.解得ab14.(2)解因为x2pxq0的解集为，所以x1与x2是方程x2pxq0的两个实数根，由根与系数的关系得解得所以不等式qx2px10即为x2x10，整理得x2x60，解得2x3.即不等式qx2px10的解集为x|2x3一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及两个“二次”之间的关系解题的思想(1)求解方法：由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根
11、与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集(2)应用两“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根在解决具体的数学问题时，要注意两者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换2已知不等式ax2bxc0的解集为x|2x3，求不等式cx2bxa0的解集解由题意知即代入不等式cx2bxa0，得6ax25axa0(a0)即6x25x10，解得x，所以所求不等式的解集为.1下面所给关于x的几个不等式：3x40；ax24x70；x20.其中一定为一元二次不等式的有()A1个B2个
12、C3个D4个B一定是一元二次不等式2不等式0的解集为()Ax|x1Bx|x2Cx|2x1Dx|x1或x2C原不等式等价于(x1)(x2)0，解得2x13设集合Ax|x2x，Bx|0x1，则AB()A(0,1B0,1C(，1D(，0)(0,1A由题意得A0,1，故AB(0,14设集合Mx|x2x0，Nx|x24，则M与N的关系为_MN因为Mx|x2x0x|0x1，Nx|x24x|2x2，所以MN.5二次函数yax2bxc(xR)的部分对应值表如下：x32101234y60466406则a_；不等式ax2bxc0的解集为_1x|x2或x3由表知x2时，y0，x3时，y0，所以二次函数yax2bxc
13、可化为：ya(x2)(x3)，又因为x1时，y6，所以a1，图像开口向上结合二次函数的图像可得不等式ax2bxc0的解集为x2或x3.回顾本节知识，自我完成以下问题：1解一元二次不等式有哪些方法？提示(1)因式分解法：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集(2)配方法：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得(3)求根公式法：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法(4)两个“二次”间的关系法：不等式解集的端点恰好是二次方程的根2含参数的一元二次不等式的解题步骤是怎样的？提示3解分式不等式应注意哪些问题？提示(1)注意等价转化；(2)注意x2的系数的正负，尤其为负数时，可化负为正后再求解，否则易将范围求错；(3)结论用集合或区间书写；(4)特别注意分母不等于零