1、广东省湛江市2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共40分）1（5分）已知集合A=1，1，3，B=1，3，5，则AB=（）A1，1，3，5B1，3C1，5D1，1，1，3，3，52（5分）已知（1i）z=1+i，则复数z等于（）A1+iB1iCiDI3（5分）某校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取n名同学，其中2014-2015学年高一的同学有30名，则n=（）A65B75C50D1504（5分）下列函数是增函数的是（）Ay=tanx（x（0，）（，）By=xCy
2、=cosx（x（0，）Dy=2x5（5分）“sincos0”是“是第一象限角”的（）A充分必要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D非充分非必要条件6（5分）抛物线y2=16x的焦点到双曲线=1的一条渐近线的距离为（）A2B4CD27（5分）若存在x（0，1），使xalog0.5x成立，则实数a的取值范围是（）A（，+）B（，1）C（，1）D（1，+）8（5分）在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量=，=，其中=（3，1），=（1，3），若=+，且01，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）ABCD二.填空题（每小题5分，满分25分）必做题（9-13题）9（5分）等差数列an中，a5=1
3、0，a12=31，则该数列的通项公式an=（nN+）10（5分）若一个几何体的主视图、左视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是11（5分）在ABC中，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA=，B=，b=1，则a=12（5分）随机抽取n种品牌的含碘盐各一袋，测得其含碘量分别为a1，a2，an，设这组数据的平均值为，则图中所示的程序框图输出的s=（填表达式）13（5分）设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若xz，yz，则xy”为真命题的序号有（把所有的真命题全填上）x为直线，y，z为平面；x，y，z都为平面；x，y为直线，z为
4、平面；x，y，z都为直线；x，y为平面，z为直线三.选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）坐标系与参数方程选做题14（5分）直线（t为参数）被圆x2+y2=4截得的弦长为几何证明选讲选做题15（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若CPA=30，则PC=三.解答题（共6小题，共80分）16（12分）已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx（1）求函数f（x）的最大值，并取得最大值时对应的x的值；（2）若f（）=，求cos（4+）的值17（12分）某校1为老师和6名学生暑假到甲、乙、丙三个城市旅行学习，每个城市随机
5、安排2名学生，教师可任意选择一个城市“学生a与老师去同一个城市”记为事件A，“学生a和b去同一城市”为事件B（1）求事件A、B的概率P（A）和P（B）；（2）记在一次安排中，事件A、B发生的总次数为，求随机变量的数学期望E18（14分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，ACAB，AB=2AA1，M是AB的中点，A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点（1）若EB=3CE，证明：DE平面A1MC1；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值19（14分）记数列an的前n项和为Sn，a1=a（a0），且2Sn=（n+1）an（1）求数列an的通项公式an与Sn
6、；（2）记An=+，Bn=+，当n2时，试比较An与Bn的大小20（14分）如图，点F是椭圆+=1（ab0）的左焦点，定点P的坐标为（8，0），线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且该椭圆的离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P的直线与椭圆相交于两点A、B，求证：AFM=BFN；（3）记ABF的面积为S，求S的最大值21（14分）已知函数（aR）（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）当时，讨论f（x）的单调性广东省湛江市2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共40分）1（5分）已知集合A=1，1，3，B=1，
7、3，5，则AB=（）A1，1，3，5B1，3C1，5D1，1，1，3，3，5考点：并集及其运算 专题：集合分析：利用并集的性质求解解答：解：集合A=1，1，3，B=1，3，5，AB=1，1，3，5故选：A点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要注意并集性质的合理运用2（5分）已知（1i）z=1+i，则复数z等于（）A1+iB1iCiDI考点：复数代数形式的乘除运算 专题：计算题分析：首先表示出复数z的表示式，再进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母进行复数的乘法运算，化简得到结果解答：解：（1i）z=1+i，z=i，故选C点评：首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘
8、以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果3（5分）某校2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三三个年级依次有600、500、400名同学，用分层抽样的方法从该校抽取n名同学，其中2014-2015学年高一的同学有30名，则n=（）A65B75C50D150考点：分层抽样方法 专题：概率与统计分析：利用分层抽样的性质求解解答：解：由题意得：，解得n=75故选：B点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用4（5分）下列函数是增函数的是（）Ay=tanx（x（0，）（，）By=xCy=c
9、osx（x（0，）Dy=2x考点：正切函数的单调性 专题：函数的性质及应用；三角函数的图像与性质分析：根据函数的定义域直接确定函数的单调性解答：解：（1）y=tanx（x）函数在定义域x不具有单调性（2）y=cosx（x（0，）在定义域内为单调递减函数（3）y=2x在定义域内为单调递减函数故选B点评：本题考查的知识要点：函数的单调性与定义域的关系5（5分）“sincos0”是“是第一象限角”的（）A充分必要条件B充分非必要条件C必要非充分条件D非充分非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：由sincos0推不出在第一象限，由在第一象限能推出sincos0，从而得
10、出结论解答：解：由sincos0在第一象限或第三象限，在第一象限sincos0，“sincos0”是“在第一象限”的必要不充分条件，故选：C点评：本题考查了充分必要条件，考查了三角函数问题，是一道基础题6（5分）抛物线y2=16x的焦点到双曲线=1的一条渐近线的距离为（）A2B4CD2考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标；求出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得结论解答：解：抛物线y2=16x的焦点F的坐标为（4，0）；双曲线=1的一条渐近线方程为xy=0，抛物线y2=16x的焦点到双曲
11、线=1的一条渐近线的距离为=2，故选：D点评：本题考查双曲线、抛物线的标准方程，以及双曲线、抛物线的简单性质，考查点到直线的距离公式的应用，求出焦点坐标和一条渐近线方程，是解题的突破口7（5分）若存在x（0，1），使xalog0.5x成立，则实数a的取值范围是（）A（，+）B（，1）C（，1）D（1，+）考点：利用导数求闭区间上函数的最值 专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：此不等式属于超越不等式，因此借助于图象来解，注意是存在x（0，1），所以只要直线y=xa上至少有一个点在y=log0.5x的上方即可，所以只需考虑端点处的图象间的关系即可解答：解：在一个坐标系内做出函数y=xa和
12、y=log0.5x的图象，如图所示：当直线y=xa恰好经过（1，0）时，在区间（0，1）上y=xa恰好不存在点在y=log0.5x图象的上方此时直线y=xa与y轴交于点（0，1），a=1，当直线y=xa沿y轴向上移动时，就会在区间（0，1）上一直存在x，使原不等式成立此应有a1，即a1故选C点评：本题考查了利用数形结合的思想解决一些超越不等式解的存在性问题，要注意作图的合理性8（5分）在平面直角坐标中，O为坐标原点，设向量=，=，其中=（3，1），=（1，3），若=+，且01，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）ABCD考点：平面向量的综合题 专题：综合题分析：由=（3，1），=（1，
13、3），=+，知=（3+，+3），由01，03+34，由此能得到正确答案解答：解：向量=，=，=（3，1），=（1，3），=+，=（3+，+3），01，03+4，0+34，且3+3故选A点评：本题考查平面向量的综合题，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化二.填空题（每小题5分，满分25分）必做题（9-13题）9（5分）等差数列an中，a5=10，a12=31，则该数列的通项公式an=3n5（nN+）考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知条件利用等差数列的通项公式求出首项和公差，由此能求出该数列的通项公式解答：解：等差数列an中，a5=10，a12=31，解得
14、a1=2，d=3，an=2+3（n1）=3n5故答案为：3n5点评：本题考查数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题10（5分）若一个几何体的主视图、左视图都是边长为2的等边三角形，俯视图是一个圆，则这个几何体的体积是考点：由三视图还原实物图 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高，利用圆锥的体积公式做出结果解答：解：由三视图知，几何体是一个圆锥，圆锥的底面是一个直径为2的圆，圆锥的母线长是2，根据勾股定理可以得到圆锥的高是=圆锥的体积是=故答案为：点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由
15、三视图还原几何图形，本题考查在旋转体中一些量一般要在轴截面上进行运算，本题是一个基础题11（5分）在ABC中，边a、b所对的角分别为A、B，若cosA=，B=，b=1，则a=考点：正弦定理的应用 专题：解三角形分析：角A为三角形内角，故0A，sinA0，从而可求sinA=，所以由正弦定理可求a=解答：解：由题意得，0A，sinA0故sinA=，由正弦定理知，a=sinA=故答案为：点评：本题主要考察了正弦定理的应用，同角三角函数的关系，属于基础题12（5分）随机抽取n种品牌的含碘盐各一袋，测得其含碘量分别为a1，a2，an，设这组数据的平均值为，则图中所示的程序框图输出的s=（填表达式）考点：
16、循环结构 专题：算法和程序框图分析：执行程序框图，写出每次循环得到的n，s的值，当i=n，满足条件in，有s=，当i=n+1，不满足条件in，退出循环，输出s的值解答：解：执行程序框图，有s=0，i=1满足条件in，有s=i=2满足条件in，有s=i=3i=n，满足条件in，有s=i=n+1，不满足条件in，退出循环，输出s的值故答案为：点评：本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题13（5分）设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若xz，yz，则xy”为真命题的序号有（把所有的真命题全填上）x为直线，y，z为平面；x，y，z都为平面；x，y为直线，z为
17、平面；x，y，z都为直线；x，y为平面，z为直线考点：命题的真假判断与应用 专题：压轴题；简易逻辑分析：依据线面、面面平行和垂直的判断和性质定理，逐一判定5个命题得答案解答：解：中x平面z，平面y平面z，x平面y或x平面y又x平面y，故xy成立；中若x，y，z均为平面，则x可与y相交，故不成立；xz，yz，x，y为不同直线，故xy成立；x，y，z均为直线可异面垂直，故不成立；zx，zy，z为直线，x，y为平面可得xy，成立故答案为：点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，是中档题三.选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）坐标系与参数方程选做题14（5分）直线（t为参
18、数）被圆x2+y2=4截得的弦长为考点：直线与圆相交的性质；直线的参数方程 专题：计算题分析：先将直线的参数方程化成普通方程，再根据弦心距与半径构成的直角三角形求解即可解答：解：直线 （t为参数）直线的普通方程为x+y1=0圆心到直线的距离为d=，l=2 =，故答案为：点评：本题主要考查了直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，考查计算能力，属于基础题几何证明选讲选做题15（几何证明选做题）如图圆O的直径AB=6，P是AB的延长线上一点，过点P作圆O的切线，切点为C，连接AC，若CPA=30，则PC=3考点：与圆有关的比例线段 专题：压轴题；直线与圆分析：连接OC，由PC是O的切线，可得OC
19、PC，于是，即可解出解答：解：连接OC，PC是O的切线，OCPC，又CPA=30，R=3，故答案为点评：熟练掌握圆的切线的性质及直角三角形的边角关系是解题的关键三.解答题（共6小题，共80分）16（12分）已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx（1）求函数f（x）的最大值，并取得最大值时对应的x的值；（2）若f（）=，求cos（4+）的值考点：三角函数的最值；两角和与差的正弦函数 专题：常规题型；三角函数的图像与性质分析：（1）先利用两角和的正弦公式化成标准形式，然后根据正弦函数的最值求解函数的最大值；（2）根据f（）=，得sin（2+）的值，然后利用倍角公式求cos（4+）的值解答
20、：解：（1）f（x）=cos2x+2sinxcosx=2sin（2x+）所以f（x）的最大值为2当2x+=2k+，即x=k，kZ时取最大值（2）由已知2sin（2+）=得：sin（2+）=cos（4+）=cos2（2）=12sin2（2+）=点评：本题考查了三角函数的图象与性质及三角函数的求值问题，研究三角函数的性质关键是化成标准形式；三角函数求值问题关键是选择适当的公式，根据角的关系建立已知表达式和求解的表达式之间的关系17（12分）某校1为老师和6名学生暑假到甲、乙、丙三个城市旅行学习，每个城市随机安排2名学生，教师可任意选择一个城市“学生a与老师去同一个城市”记为事件A，“学生a和b去同
21、一城市”为事件B（1）求事件A、B的概率P（A）和P（B）；（2）记在一次安排中，事件A、B发生的总次数为，求随机变量的数学期望E考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率 专题：概率与统计分析：（1）利用等可能事件的概率公式能求出事件A、B的概率（2）的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的数学期望E解答：解：（1）P（A）=，P（B）=（2）的可能取值为0，1，2，P（=2）=P（a，b与老师去同一城市）=，P（=1）=P（a，b同城，但a与老师不同）+P（a，b不同，a与老师同）=，P（=0）=P（a，b不同，a与老师也不同）=，E=2+1+0=点评：本题
22、考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题18（14分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，ACAB，AB=2AA1，M是AB的中点，A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点（1）若EB=3CE，证明：DE平面A1MC1；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定 专题：空间位置关系与距离；空间角分析：解法一：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，由已知得MNACA1C1，由此能证明DE平面A1MC1（2）连结B1M，由已知得四边形ABB1A1为矩形，从而直线BC和平面
23、A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角，由此能求出直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值解法二：（1）以A为原点，以AB为x轴，以AA1为y轴，以AC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE平面A1MC1（2）由（1）知平面A1MC1的法向量=（1，1，0），=（2，0，），由此利用向量法能求出直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值解答：解法一：（1）证明：取BC中点N，连结MN，C1N，M，N分别是AB，CB的中点，MNACA1C1，A1，M，N，C1四点共面，且平面BCC1B1平面A1MNC1=C1N，又EB=3CE，即E为NC的中点，DEC1N，又DE不包含于平面A
24、1MC1，DE平面A1MC1（2）解：连结B1M，AA1平面ABC，AA1AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，M是AB的中点，B1MA1M，CAAA1，CAAB，ABAA1=A，CA平面ABB1A1，A1C1平面ABB1A1，A1C1B1M，从而B1M平面A1MC1，MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，B1C1与平面A1MC1所成角为B1C1M，又B1C1BC，直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角，设AB=2AA1=2，且A1MC1是等腰三角形，则，cos=，直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值为解法二：（1）证明：AA1平面ABC，又AC
25、AB，以A为原点，以AB为x轴，以AA1为y轴，以AC为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2AA1=2，又A1MC1是等腰三角形，A1（0，1，0），M（1，0，0），=（1，1，0），=（0，0，），设平面A1MC1的法向量，则，取x=1，得=（1，1，0）又，E（），D（0，），=（），=0，又DE不包含于平面A1MC1，DE平面A1MC1（2）解：由（1）知平面A1MC1的法向量=（1，1，0），B（2，0，0），C（0，0，），=（2，0，），设直线BC和平面A1MC1所成角为，则sin=cos=，cos=，直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值为点评：本题考查直线与平面平行的证明，考
26、查直线与平面所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养19（14分）记数列an的前n项和为Sn，a1=a（a0），且2Sn=（n+1）an（1）求数列an的通项公式an与Sn；（2）记An=+，Bn=+，当n2时，试比较An与Bn的大小考点：数列与不等式的综合 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（1）利用an=SnSn1，结合条件求数列an的通项公式an与Sn；（2）利用裂项法求An，利用等比数列的求和公式求Bn，再比较An与Bn的大小解答：解：（1）n2时，2an=2（SnSn1）=（n+1）annan1an=an1，an=a1=na1=na，n=1时也成立
27、，an=na，Sn=；（2）=（），An=+=（1），=2n1a，Bn=+=（1），n2时，2n=+1+n，11a0时，AnBn；a0时，AnBn；点评：本题考查数列的通项与求和，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（14分）如图，点F是椭圆+=1（ab0）的左焦点，定点P的坐标为（8，0），线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且该椭圆的离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P的直线与椭圆相交于两点A、B，求证：AFM=BFN；（3）记ABF的面积为S，求S的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由已知得，由此能求出椭圆方
28、程（2）当直线AB的斜率为0时，成立；当直线AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my8，代入椭圆方程整理，得：（3m2+4）y248my+144=0，由此利用韦达定理结合已知条件能证明AFM=BFN（3）由已知条件推导出S=SPBFSPAF3，由此能求出ABF的面积S的最大值为3解答：（1）解：|MN|=8，且该椭圆的离心率为，解得a=4，b=，椭圆方程为（2）证明：当直线AB的斜率为0时，AFM=BFM=0，成立；当直线AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my8，代入椭圆方程整理，得：（3m2+4）y248my+144=0，=576（m24），设A（xA，yA），B（xB，yB），yAy
29、B=，kAF+kBF=，6=0，kAF=kBF，AFM=BFN（3）解：S=SPBFSPAF=3，当且仅当3=，即m=（此时0）时取等号，ABF的面积S的最大值为3点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查两角相等的证明，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用21（14分）已知函数（aR）（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（）当时，讨论f（x）的单调性考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性 专题：综合题；压轴题；分类讨论分析：（I）欲求在点（2，f（2）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数
30、求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决（II）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f（x）0求得的区间是单调增区间，f（x）0求得的区间是单调减区间，即可得到答案，若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论解答：解：（）当a=1时，x（0，+）所以，x（0，+）（求导、定义域各一分）（2分）因此f（2）=1即曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为1（3分）又f（2）=ln2+2，（4分）所以曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为xy+ln2=0（5分）（）因为，所以=，x（0，+）（7分）令g（x）
31、=ax2x+1a，x（0，+），当a=0时，g（x）=x+1，x（0，+），当x（0，1）时，g（x）0，此时f（x）0，函数f（x）单调递减；（8分）当x（1，+）时，g（x）0，此时f（x）0，函数f（x）单调递增（9分）当时，由f（x）=0即解得x1=1，此时，所以当x（0，1）时，g（x）0，此时f（x）0，函数f（x）单调递减；（10分）时，g（x）0，此时f（x）0，函数f（x）单调递增；（11分）时，此时，函数f（x）单调递减（12分）综上所述：当a=0时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当时，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在上单调递增；在上单调递减（13分）点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等知识，解答的关键是导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减
