1、2.1.3方程组的解集学 习 任 务核 心 素 养1理解方程组的解集的定义及表示方法(难点)2掌握用消元法求方程组解集的方法(重点)3会利用方程组知识解决一些简单的实际问题(重点、难点)1通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养2通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养.我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁、鸡母、鸡雏个数分别为x，y，z，则当z81时，x_，y_.知识点方程组的解集与其解法1方程组的解集一般地，将多个方程联立， 就能得到方程组方程组中，由每个方程的解集得到的交
2、集称为这个方程组的解集2方程组的解法求方程组解集的过程要不断应用等式的性质，常用的方法是消元法常用的消元法有哪几种？提示解方程组时常用的消元法有代入消元法和加减消元法代入消元时一般需要把原式化简一下再代入；加减消元时，也需要把原方程组中的某一个或某些个转化后再进行加减消元1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)方程12是一元一次方程()(2)是方程组的解()(3)解方程组时要用代入消元法把未知数逐渐变少()答案(1)(2)(3)提示(1)方程12是分式方程，不是一元一次方程(2)经代入验证，知是方程组的解(3)解方程组消元的方法主要有代入消元法和加减消元法2.已知二元一次方程组解集为()
3、A(x，y)|(2,3)B(x，y)|(3,2)C(x，y)|(2,3)D(x，y)|(2，3)A得：3x3y15，解得x2，y3，解集为(x，y)|(2,3)，故选A3.(对接教材P55练习B)已知A(x，y)|xy5，B(x，y)|2xy4，则AB()A(x，y)|(1,4)B(x，y)|(2,3) C(x，y)|(3,2)D(x，y)|(4,1)C根据题意，得由代入消元法可求得x3，y2，故AB(x，y)|(3,2). 4.已知是方程组的一个解，则此方程组的另一个解为_将代入方程组中得即原方程组化为由xy1得x1y，将x1y代入方程x2y213中可得y2y60，解得y3或y2，将y3代入
4、xy1中得x2，所以方程组的另一个解为 类型1二元一次方程组的解集【例1】求下列方程组的解集(1)(2)解(1)由，得y4x.把代入，得2x3(4x)3.解这个方程，得x3.把x3代入，得y1所以原方程组的解集为(x，y)|(3,1)(2)法一：，得6x12，所以x2.把x2代入，得327y13，所以y1所以原方程组的解集为(x，y)|(2,1)法二：，得14y14，所以y1把y1代入，得3x711，所以x2.所以原方程组的解集为(x，y)|(2,1). 1用代入消元法解二元一次方程组的步骤2用加减消元法解二元一次方程组的步骤1求下列方程组的解集(1)(2)解(1)由，得2y3x5.把代入，得
5、4x4(3x5)12，解得x2.把x2代入，得y.所以原方程组的解集为.(2)由2，得16x18y146，由，得9x144，解得x16.把x16代入，得8169y73，解得y.所以原方程组的解集为. 类型2三元一次方程组的解集【例2】求下列方程组的解集(1)(2)解(1)法一：将分别代入，得解得把y2代入，得x8.所以原方程组的解集为(x，y，z)|(8,2,2)法二：，得y4z10，得6y5z22，联立，得解得把y2代入，得x8.所以原方程组的解集为(x，y，z)|(8,2,2)法三：5，得5x5y5z60，得4x3y38，联立，得解得把x8，y2代入，得z2.所以原方程组的解集为(x，y，
6、z)|(8,2,2)(2)法一：由和，得xyz325.设x3k，y2k，z5k(k0)，并代入，得5k3k2k20，解得k2.所以x3k6，y2k4，z5k10.所以这个三元一次方程组的解集为(x，y，z)|(6,4,10)法二：由，得xy，由，得zy.把和代入，得yyy20，解得y4.把y4分别代入和，得x6，z10.所以这个三元一次方程组的解集为(x，y，z)|(6,4,10)解三元一次方程组的一般步骤是怎样的？提示(1)消元把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，利用代入消元法或加减消元法，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组(2)求解解这个二
7、元一次方程组，求出两个未知数的值(3)回代将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一元一次方程(4)求解解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值(5)写解集把方程组的解用集合表示出来2求方程组的解集解，得2(xyz)10，即xyz5.，得z4；，得x1；，得y2.所以原方程组的解集为(x，y，z)|(1,2,4) 类型3二元二次方程组的解集【例3】(对接教材P53例1)求下列方程组的解集(1)(2)解(1)由得y8x，把代入，整理得x28x120.解得x12，x26.把x12代入，得y16.把x26代入，得y22.所以原方程组的解集为(x，y)|(2,6)，(6,2)(2)
8、由得(x2y)2(x2y)20，解得x2y1或x2y2，由得由得所以原方程组的解集为.二元二次方程组的解法求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程3求方程组的解集解方程是x与2y的和，方程是x与2y的积，x与2y是方程z24z210的两个根，解此方程得z13，z27，或即或所以原方程组的解集为. 类型4方程组的实际应用【例4】某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h假设
9、该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km,20 km,40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？思路点拨 题中有三个等量关系：(1)上坡路长度平路长度下坡路长度70 km；(2)从甲地到乙地的过程中，上坡时间平路时间下坡时间2.5 h；(3)从乙地到甲地的过程中，上坡时间平路时间下坡时间2.3 h.解设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km，y km和z km.由题意得解得故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km.列方程组解应用题的一般步骤提醒：(1)一般来说，设几个未知数就应列出几个方程
10、(2)设未知数及写结论时，都要写清单位名称4甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度解设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米当甲、乙两人相遇前相距3千米时，得解得当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得解得答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米或甲的速度为每小时千米，乙的速度为每小时千米.1二元一次方程组的解集是()A(x，y)|(1,2)B(x，y)|(1,0) C(x，y)|(1,2)D(x，y)|(1，2) A由加减消元法可求得x1，y2，故所求方
11、程组的解集为(x，y)|(1,2)2下列四个集合中为方程组的解集的是()A(x，y，z)|(0,1，2)B(x，y，z)|(1,0,1)C(x，y，z)|(0，1,0)D(x，y，z)|(1，2,3)D得3xy1，得x1，将x1代入得y2，将x1，y2代入得z3.3桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升若过程中水没有溢出， 则原本甲、乙两杯内的水量相差()A80毫升B110毫升C140毫升D220毫升 B设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有
12、水 b毫升，丙杯中原有水c毫升，依题意有，得ba110，故选B4方程组的解集是_(2，2)，(1,1)，得x2x2，解得x12，x21，把x12代入，得y12，把x21代入，得y21，所以原方程组的解为5设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是和试写出符合要求的方程组_(答案不唯一)由于这两组解都有：xy236，xy1，故可组成方程组为(答案不唯一)回顾本节知识，自我完成以下问题：1求解二元一次方程组、三元一次方程组的基本方法有哪两种？提示加减消元法与代入消元法2求解二元二次方程组的基本思想与方法是什么？应注意什么问题？提示求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次消元后求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一个未知数的值，不能代入二元二次方程，因为这样可能产生增根