1、2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系学 习 任 务核 心 素 养1理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集(重点)2掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数(重点) 3掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值(重点、难点)1通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理的数学素养2通过求一元二次方程的解集，提升数学运算素养.从前有一天，某人拿一竹竿对着大门比画：竹竿横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，斜着与门框的对角线长度相等问题你知道竹竿有多长吗？知识点一一元二次方程的定义形如ax2bxc0的方程为一元二次方
2、程，其中a，b，c是常数，且a0.1方程ax2bxc0(a，b，c是常数)一定是一元二次方程吗？提示不一定，a0时为一元二次方程，a0，b0时为一元一次方程知识点二一元二次方程的解法直接开平方法形如(xk)2t(t0)的方程，两边开平方，转化为两个一元一次方程配方法把一元二次方程ax2bxc0(a0)通过配方化成(xk)2t(t0)的形式，再用直接开平方法求解公式法一元二次方程ax2bxc0(a0)满足b24ac0，利用求根公式x求解因式分解法一元二次方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，即可化成a(xm)(xn)0(a0)的形式，即可解得两根为：x1m，x2n1(1)用配方法解方程
3、x28x50，将其化为(xa)2b的形式，正确的是()A(x4)211B(x4)221C(x8)211D(x4)211(2)用公式法解方程6x85x2时，a，b，c的值分别是()A5,6，8B5，6，8C5，6,8D6,5，8 (1)D(2)C(1)x28x50，x28x5，x28x16516，(x4)211，故选D(2)原方程可化为5x26x80，a5, b6，c8，故选C知识点三一元二次方程根的判别式式子b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)根的判别式，通常用表示，即b24ac.当0 时，一元二次方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实数根；当0时，一元二次方程ax2bxc0(
4、a0)有两个相等的实数根；当0时，一元二次方程ax2bxc0(a0)没有实数根2.(1)方程2x25x30的根的情况是()A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C无实数根D无法确定(2)若关于x的一元二次方程x24xk0有两个实数根，则k的取值范围是_(1)A(2)(，4(1)(5)242310，方程2x25x30有两个不相等的实数根故选A(2)因为一元二次方程x24xk0有两个实数根，所以164k0，即k4.知识点四一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2bxc0(a0)的两根是x1，x2，那么x1x2，x1x2.2.利用一元二次方程根与系数的关系解题时，需要注意什么条件？提示先把方程化
5、为ax2bxc0的形式，然后验证，是否满足a0，b24ac0这两个条件，同时满足这两个条件才能用根与系数关系解题3.(1)已知一元二次方程的两根分别是4和5，则这个一元二次方程可以是()Ax26x80Bx29x10Cx2x60Dx2x200(2)若2和5为一元二次方程x2bxc0的两根，则b，c的值分别等于_(1)D(2)3,10(1)设所求方程为ax2bxc0(a0)，则由题意，可得4(5)，4(5)，即1，20，验证四个选项，只有D项符合条件(2)由一元二次方程根与系数的关系，可得解得 类型1一元二次方程的解法直接开平方法【例1】用直接开平方法求下列一元二次方程的解集(1)4y2250；(
6、2)3x2x15x.思路点拨可将方程转化为x2p(p0)的形式，再两边开平方进行降次，化为一元一次方程解(1)移项，得4y225.两边都除以4，得y2.解得y1，y2，所以原一元二次方程的解集是.(2)移项，合并同类项，得3x215.两边都除以3，得x25，解得x1，x2.所以原一元二次方程的解集是，应用直接开平方法求一元二次方程的解集主要有哪些步骤？提示(1)化为x2p(p0)的形式；(2)直接开平方；(3)解两个一元一次方程，写出方程的两个根；(4)总结写成解集的形式.1用直接开平方法求下列一元二次方程的解集(1)(x1)212；(2)(6x1)2250.解(1)直接开平方，得x12，x1
7、21，x221原一元二次方程的解集是21，21(2)移项，得(6x1)225.开平方，得6x15，x11，x2.原一元二次方程的解集是.配方法【例2】用配方法求下列方程的解集(1)x24x10；(2)4x28x10.解 (1)x24x10，x24x1，x24x414，(x2)25，x2，x12，x22.原一元二次方程的解集是2，2(2)移项，得4x28x1二次项系数化为1，得x22x，配方，得x22x1212，即(x1)2.x1.x11，x21，原一元二次方程的解集是.用配方法解一元二次方程的步骤2用配方法求下列方程的解集(1)x232x；(2)2x25x20.解(1)移项，得x22x3.配方
8、，得x22x()23()2，即(x)20.x1x2，原一元二次方程的解集是(2)移项，得2x25x2.二次项系数化为1，得x2x1配方，得x2x1.x.x12，x2，原一元二次方程的解集是.公式法【例3】用公式法求下列方程的解集(1)x24x100；(2)x2x0.思路点拨先化成一元二次方程的一般形式，再求，然后根据求根公式求解解(1)a1，b4，c10，b24ac(4)2411080，x2，x12，x22.原一元二次方程的解集是2，2(2)方程两边都乘以8，得4x24x10.a4，b4，c1，b24ac424410，x，x1x2.原一元二次方程的解集是.利用公式法解一元二次方程时，首先将方程
9、化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算b24ac的值；当b24ac0时，把a，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，当b24ac0时，方程无实数解.然后总结写出解集.3用公式法求下列方程的解集(1)x232x；(2)3x26x1解(1)将方程化为一般形式为x22x30.a1，b2，c3，b24ac(2)241340，原方程没有实数根原一元二次方程的解集是.(2)将方程化为一般形式为3x26x10，a3，b6，c1，b24ac62431240，x，x1，x2.原一元二次方程的解集是. 类型2一元二次方程的根的判别式的应用【例4】不解方程，判断下列一元二次方程的解集情况(1)3
10、x22x10；(2)2x2x10；(3)4xx2x22.解(1)(2)243(1)160，方程有两个不相等的实数根，方程的解集中有两个元素(2)(1)242170，方程没有实数根，方程的解集为空集(3)方程整理为x22x10, (2)24110, 方程有两个相等的实数根，方程的解集中有一个元素一元二次方程解的判断一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判别式b24ac.当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根4下列一元二次方程中，解集为空集的是()Ax22x0Bx24x10C2x24x30D3x25x2C利用根的判别式b24ac分别进行判定即可A
11、(2)241040，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意；B4241(1)200，有两个不相等的实数根， 故此选项不合题意；C(4)242380，没有实数根，故此选项符合题意；D(5)243210，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意故选C 类型3一元二次方程的根与系数的关系 1怎样用x1x2和x1x2表示xx？提示xx(x1x2)22x1x2.2当x1x2时，x2x1可以用x1x2与x1x2表示吗？提示x2x1.【例5】(对接教材P50例2)设x1，x2是方程2x29x60的两个根，求下列各式的值(1)；(2)xx；(3)(x13)(x23)；(4)x1x2.思路点拨先由一元二次方程根与
12、系数的关系写出x1x2与x1x2的值，再将所求值的式子化为关于x1x2与x1x2的表达式，最后整体代入求值解由根与系数的关系，得x1x2，x1x23.(1)3.(2)xx(x1x2)22x1x223.(3)(x13)(x23)x1x23(x1x2)9339.(4)(x1x2)2(x1x2)24x1x243，x1x2.利用根与系数的关系求有关代数式的值的3个步骤本例中条件不变，求xx的值解xx(x1x2)(xx1x2x)(x1x2)(x1x2)23x1x2. 类型4与一元二次方程相关的求未知字母的值或范围问题【例6】已知关于x的一元二次方程2x2kx30的解集中只有一个元素，则k的值为()A2B
13、C3或4D2或3Aa2，bk，c3，b24ack2423k224，方程的解集中只有一个元素，k2240, 解得k2.根据已知条件求一元二次方程中字母系数的取值或取值范围问题，常见情况为根据方程解的情况判定字母系数的情况.5若关于x的一元二次方程x2(2a1)xa20有两个不相等的实数根，求a的取值范围解关于x的一元二次方程x2(2a1)xa20有两个不相等的实数根，(2a1)24a24a10，a.1一元二次方程x23x的解集是()A0B3C3D0,3 Dx23x，x23x0，x(x3)0，解得x10，x23，故选D2一元二次方程4x214x的解集情况是()A为空集B只有一个元素C有两个元素D无
14、法确定元素的个数 B原方程可化为4x24x10，(4)24410，方程有两个相等的实数根，解集中只有一个元素故选B3解下列方程，最适合用公式法求解的是()A(x2)2160B(x1)24Cx28Dx23x50D公式法解一元二次方程只能解标准形式的方程4已知一元二次方程x22x10的两实数根为x1，x2，则x1x2的值为()A2B2C1D1D因为一元二次方程x22x10的两实数根为x1，x2，所以x1x215将方程x22x3化为(xm)2n的形式，则m，n分别是_1,4x22x3，配方得x22x14, 即(x1)24，m1，n4.回顾本节知识，自我完成以下问题：1解一元二次方程有哪几种方法？提示(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法2一元二次方程中根与系数的关系应用的前提条件是什么？应用时注意什么问题？提示前提条件是：(1)a0；(2)0.在应用时应注意恒等变形和整体代入