1、北京市陈经纶中学20192020第一学期十月月试一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的1.给出下列命题：两个长度相等的向量一定相等；零向量方向不确定；若为平行六面体，则；若为长方体，则其中正确命题的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】【分析】对，方向不一定相同；对，根据零向量的定义可知正确；对，两个向量的方向不相同；对，利用向量加法进行运算.【详解】对，方向不一定相同，故错误；对，根据零向量定义可知正确，故正确；对，两个向量方向不相同，故错误；对，利用向量加法进行运算得：，故错误；故选：D.【点睛】本
2、题考查向量的基本概念及向量加法的几何意义，考查对概念的理解，属于基础题.2.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】直接根据全称命题否定的形式，即可得到答案.【详解】“，”，命题的否定为，.故选：B.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，考查对概念的理解，求解时注意任意要改成存在.3.若数列的通项公式是，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据通项公式求出前十项，由此求得前十项的和.【详解】由于，故.故选A.【点睛】本小题主要考查数列求和，考查运算求解能力，属于基础题.4.已知由正数组成等比数列为递减数列，且，则公比等于（ ）
3、A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解方程组可得、的值，再利用等比数列的通项公式，即可求出公比的值.【详解】由，解得：或，数列是由正数组成的递减数列，且，.故选：B.【点睛】本题考查等比数列中基本量的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.5.设数列是公差的等差数列，为前项和，若，则取得最大值时，的值为A. B. C. 或D. 【答案】C【解析】，进而得到，即，数列是公差的等差数列，所以前五项都是正数，或时，取最大值，故选C.6.数列满足，其前项的积为，则的值为（ ）A. -3B. 1C. 2D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：周期为，故选B
4、.考点：1、递推公式；2、数列的性质.7.在等差数列中，则使前项和成立的最大自然数n的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：，数列是单调递减数列，所以n最大值为8考点：等差数列性质及求和公式8.设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】试题分析：当时，不是递增数列；当且时，是递增数列，但是不成立，所以选D.考点：等比数列9.已知数列是以为首项，2为公差等差数列，数列满足，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
5、【分析】依题意，可求得，分离参数，得到，再对，分类讨论，即可求得实数的取值范围【详解】，对都有成立，即，整理得：，若，则，恒成立，故；若，则对，恒成立，在，的最小值为，；若，则对，恒成立，在，的最大值为，；综合，若对都有成立，则，故选：C.【点睛】本题考查数列递推式，依题意，分离参数，得到是关键，也是难点，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查逻辑思维能力与运算能力，属于难题10.定义运算“*”，对任意，满足：； 设数列的通项为，则数列为（ ）A. 等差数列B. 等比数列C. 递增数列D. 递减数列【答案】C【解析】【分析】根据定义运算“*”，判断式子的符号，即可得到答案.【详解】，不
6、为常数，同理也不为常数，且，数列为递增数列.故选：C.【点睛】本题考查定义运算“*”在数列中的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对新定义运算的理解.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分11.数列的前4项是，1，则这个数列的一个通项公式是_【答案】【解析】【分析】利用不完全归纳法，将前4项进行适当的改写，从而求得通项公式.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查不完全归纳法应用，求解时注意找到每一项的规律，属于基础题.12.在数列中，若点在直线上，则数列的前9项和_【答案】【解析】【分析】根据点在定直线上得到等差数列的通项，再由等差
7、数列的前项和的公式，即可得答案【详解】点在定直线上，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及前项和的公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题.13.等比数列的首项，前项和为，若，则公比_【答案】【解析】【分析】利用数列前项和的定义及等比数列通项公式 得出，解出即可【详解】是等比数列，由数列前项和的定义及等比数列通项公式得，故答案为：【点睛】本题考查等比数列前项和的计算、通项公式利用数列前项和的定义，避免了在转化时对公比是否为1的讨论14.在数列中，已知，则_【答案】【解析】【分析】（1）直接根据已知条件得到，即，进而求出数列的通项公式；再根据前项和与通项之
8、间的关系即可求出数列的通项公式；【详解】，数列是以为首项，以3为公比的等比数列，当时，不适合上式，数列的通项公式为故答案为：【点睛】本题考查递推公式求数列的通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将数列写成分段的形式.15.以下命题：“”是“”的充分不必要条件；命题“若，则”的逆否命题是假命题；命题“若，则”的否命题为“若，则”；若为假命题，则，均为假命题；其中正确命题的序号为_（把所有正确命题的序号都填上）【答案】【解析】【分析】对，解方程再判断；对，直接判断原命题的真假；对，条件也要否定；对，利用复合命题的真假性进行判断.【详解】对，或，或，
9、反之不成立，故正确；对，因为原命题是真命题，所以其逆否命题也为真命题，故错误；对，原命题的否命题应该是“若，则”，故错误；对，因为为假命题，则，均为假命题是正确的，故正确.故答案为：.【点睛】本题考查判断命题的真假，考查对概念的理解与应用，属于基础题.16.如图所示的数阵，第行最右边的数是_【答案】【解析】【分析】观察发现：第1行，1个数，最右边的数是1；第2行，2个数，最右边的数是；第3行，3个数，最右边的数是；第4行，4个数，最右边的数是由此可以得到结论【详解】第1行，1个数，最右边的数是1，第2行，2个数，最右边的数是，第3行，3个数，最右边的数是，第4行，4个数，最右边的数是，归纳得出
10、：第行，个数，最右边的数是.故答案为：，【点睛】本题考查数列在数阵中的应用，考察不完全归纳法的应用，属于中档题17.已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为l，公比为2的等比数列，求数列的前项和.【答案】（）；（）.【解析】分析：（）设等差数列的公差为， 由 ，令 可得，解得，从而可得结果；（）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和.详解：设等差数列的公差为，因为，所以 所以 所以 所以. （）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以 因为，所以. 设数列的前项和为，则 所以数列的
11、前项和为点睛：本题主要考查等差数列及等比数列的通项公式与求和公式和利用“分组求和法”求数列前项和，属于中档题. 利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.18.设为数列的前项和，已知，（）求，并求数列的通项公式；（）求数列的前项和【答案】（）1,2,；（）.【解析】【分析】（）代入数据计算得到，利用公式得到，计算得到答案.（）直接利用错位相加法得到答案.【详解】(I) .当时，,当时 ， , ,是首项为公比为的等比数列.
12、 ,（II）设则即 ,上式错位相减: ,.【点睛】本题考查了关系式求通项公式，错位相加法，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.19.对于数列，如果存在正整数，使得对一切，都成立，则称数列为等差数列（1）若数列为2-等差数列，且前四项分别为2，-1，4，-3，求值；（2）若既是2-等差数列，又是3-等差数列，证明：是等差数列【答案】（1）3；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据数列的递推关系写出第8项和第9项，即可得到答案；（2）根据既是2-等差数列，得，则和均成等差数列，设等差数列公差分别为；因为是3-等差数列，所以，则成等差数列，设公差为；取数列中的特殊项可得，并设，从而得到，再根据的关系，将等差数列的通项写成，即可证得结论.【详解】（1），.（2）若既是2-等差数列，即，则和均成等差数列，设等差数列公差分别为，是3-等差数列，则成等差数列，设公差为，既是中的项，也是中的项，既是中的项，也是中的项，.设，则，又，综上所得，为等差数列.【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意设出公差等不同的变量.