1、 数列的通项及求和高考试题考点一 数列的通项公式及应用1.(2012年湖北卷,文17)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3, 6,10,记为数列an,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列bn,可以推测:(1)b2012是数列an中的第项;(2)b2k-1=.(用k表示)解析:由以上规律可知三角形数1,3,6,10,的一个通项公式为an=,写出其若干项有:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,120,其中能被5整除的为10,15,45,55,105,120,故b1
2、=a4,b2=a5,b3=a9,b4=a10,b5=a14,b6=a15,.从而由上述规律可猜想:b2k=a5k= (k为正整数),b2k-1=a5k-1=,故b2012=b21006=a51006=a5030,即b2012是数列an中的第5030项.答案:(1)5030(2)2.(2011年浙江卷,文17)若数列n(n+4) n中的最大项是第k项,则k=.解析:法一设数列为an,则an+1-an=(n+1)(n+5) n+1-n(n+4)n=n(n2+6n+5)-n2-4n= (10-n2),所以当n3时,an+1an,即a1a2a3a4,当n4时,an+1a5a6,故a4最大,所以k=4.
3、法二由题意得化简得又kN*,k=4.答案:43.(2012年广东卷,文19)设数列an的前n项和为Sn,数列Sn的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,nN*.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式.解:(1)由题意a1=S1=T1,Tn=2Sn-n2,令n=1得a1=2a1-1,a1=1.(2)由Tn=2Sn-n2得Tn-1=2Sn-1-(n-1)2(n2)-得Sn=2an-2n+1(n2),验证n=1时也成立.Sn=2an-2n+1则Sn-1=2an-1-2(n-1)+1(n2)-得an=2an-2an-1-2,即an+2=2(an-1+2),故数列an+2是公比为2的等比数列,首
4、项为3,所以an+2=32n-1,从而an=32n-1-2.4.(2012年大纲全国卷,文18)已知数列an中,a1=1,前n项和Sn=an.(1)求a2,a3;(2)求an的通项公式.解:(1)由S2=a2得3(a1+a2)=4a2,解得a2=3a1=3,由S3=a3得3(a1+a2+a3)=5a3,解得a3= (a1+a2)=6.(2)由题设知a1=1.当n1时有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得an=an-1,于是a1=1,a2=a1,a3=a2,an-1=an-2,an=an-1.将以上n个等式两端分别相乘,整理得an=.综上,an的通项公式an=.考点二 有关数列前n项和的
5、问题1.(2012年大纲全国卷,文6)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn等于()(A)2n-1(B)n-1(C)n-1(D)解析:法一由Sn=2an+1=2(Sn+1-Sn)可知,3Sn=2Sn+1,即Sn+1=Sn,数列Sn是首项为S1=1,公比为的等比数列,Sn=n-1.故选B.法二由Sn=2an+1可知a2=S1=,当n2时,Sn-1=2an,-并化简得an+1=an(n2),即an从第二项起是首项为,公比为的等比数列,Sn=a1+=1+n-1-1=n-1(n2),当n=1时,满足上式.故选B.法三特殊值法,由Sn=2an+1及a1=1,可得a2=S1=,当
6、n=2时,S2=a1+a2=1+=,观察四个选项得B正确.故选B.答案:B2.(2012年福建卷,文11)数列an的通项公式an=ncos,其前n项和为Sn,则S2012等于()(A)1006(B)2012(C)503(D)0解析:当nN*时,a4k+1=(4k+1)cos(2k+)=0,a4k+2=(4k+2)cos(2k+)=-(4k+2),a4k+3=(4k+3)cos(2k+)=0,a4n+4=(4k+4)cos(2k+2)=4k+4,a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=2.则S2012=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7+a8)+(a2009+a2010+a2
7、011+a2012)=2503=1006.答案:A3.(2012年新课标全国卷,文12)数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为()(A)3690(B)3660(C)1845(D)1830解析:an+1+(-1)nan=2n-1,当n=2k(kN*)时,a2k+1+a2k=4k-1当n=2k+1(kN)时,a2k+2-a2k+1=4k+1+得:a2k+a2k+2=8k.则a2+a4+a6+a8+a60=(a2+a4)+(a6+a8)+(a58+a60)=8(1+3+29)=8=1800.由得a2k+1=a2k+2-(4k+1),所以a1+a3+a5+a59=a2+a
8、4+a60-4(0+1+2+29)+30=1800-(4+30)=30,a1+a2+a60=1800+30=1830.答案:D4.(2013年新课标全国卷,文17)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5.(1)求an的通项公式;(2)求数列的前n项和.解:(1)设an的公差为d,则Sn=na1+d.由已知可得解得a1=1,d=-1.故an的通项公式为an=2-n.(2)由(1)知=(-),从而数列的前n项和为(-+-+-)=.5.(2013年江西卷,文16)正项数列an满足-(2n-1)an-2n=0.(1)求数列an的通项公式an;(2)令bn=,求数列bn的前n项和Tn.解
9、:(1)已知an与n的关系式,求an,这一类题目应把式子进行变形,得an=f(n),从而求出通项公式.由-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0.故an=-1(因数列为正项数列,舍去)或an=2n.(2)因bn=(-),所以Tn=b1+b2+b3+bn=(-)+(-)+(-)+(-)=(-+-+-+-)=(1-)=.6.(2013年山东卷,文20)设等差数列an的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列bn满足+=1-,nN* ,求bn的前n项和Tn.解:(1)设等差数列an的首项为a1,公差为d.由S4=4S2,a2n
10、=2an+1得解得a1=1,d=2.因此an=2n-1,nN*.(2)由已知+=1-,nN*,当n=1时, =;当n2时, =1-(1-)=.所以=,nN*.由(1)知an=2n-1,nN*,所以bn=,nN*.又Tn=+,Tn=+,两式相减得Tn=+(+)-=-=,所以Tn=3-.7.(2013年安徽卷,文19)设数列an满足a1=2,a2+a4=8,且对任意nN*,函数f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x满足f=0.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=2(an+),求数列bn的前n项和Sn.解:(1)由题设可得,f(x)=an-an+1+a
11、n+2-an+1sin x-an+2cos x.对任意nN*,f=an-an+1+an+2-an+1=0,即an+1-an=an+2-an+1,故an为等差数列.由a1=2,a2+a4=8,解得数列an的公差d=1,所以an=2+1(n-1)=n+1.(2)由bn=2(an+)=2(n+1+)=2n+2知,Sn=b1+b2+bn=2n+2+=n2+3n+1-.8.(2013年大纲全国卷,文17)等差数列an中,a7=4,a19=2a9.(1)求an的通项公式;(2)设bn=,求数列bn的前n项和Sn.解:(1)设等差数列an的公差为d,则an=a1+(n-1)d.因为所以解得a1=1,d=.所
12、以an的通项公式为an=.(2)因为bn=-,所以Sn=(-)+(-)+(-)=.9.(2013年湖南卷,文19)设Sn为数列an的前n项和,已知a10,2an-a1=S1Sn,nN*.(1)求a1,a2,并求数列an的通项公式;(2)求数列nan的前n项和.解:(1)令n=1,得2a1-a1=,即a1=.因为a10,所以a1=1.令n=2,得2a2-1=S2=1+a2,解得a2=2.当n2时,由2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1两式相减,得2an-2an-1=an,即an=2an-1.于是数列an是首项为1,公比为2的等比数列.因此,an=2n-1.所以数列an的通项公式为an=2n
13、-1.(2)由(1)知,nan=n2n-1.记数列n2n-1的前n项和为Bn,于是Bn=1+22+322+n2n-1,2Bn=12+222+323+n2n.-,得-Bn=1+2+22+2n-1-n2n=2n-1-n2n.从而Bn=1+(n-1)2n.10.(2012年浙江卷,文19)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,nN*,数列bn满足an=4log2bn+3,nN*.(1)求an,bn;(2)求数列anbn的前n项和Tn.解:(1)由Sn=2n2+n,得当n=1时,a1=S1=3;当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-1所以an=4n-1,nN*由4n-1=an=4 log2
14、bn+3,得bn=2n-1,nN*.(2)由(1)知anbn=(4n-1)2n-1,nN*,所以Tn=3+72+1122+(4n-1)2n-1,2Tn=32+722+(4n-5)2n-1+(4n-1)2n,所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-3+4(2+22+2n-1)=(4n-5)2n+5故Tn=(4n-5)2n+5,nN*.模拟试题考点一 数列的通项公式及应用1.(2013北大附中模拟)在数列an中,已知a1=2,a2=7,an+2等于anan+1(nN*)的个位数,则a2013的值是()(A)8(B)6(C)4(D)2解析:a1a2=27=14,所以a3=4,47=28,所以a4=8,4
15、8=32,所以a5=2,28=16,所以a6=6,a7=2,a8=2,a9=4,a10=8,a11=2,所以从第三项起,an成周期排列,周期数为6,2013-2=3356+1,所以a2013=a3=4.故选C.答案:C2.(2012许昌月考)已知数列an的通项公式是an=,那么这个数列是()(A)递增数列(B)递减数列(C)摆动数列(D)常数列解析:=1,an0,an+1an.答案:A3.(2011平顶山模拟)在数列an中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n2,nN*),则的值是()(A)(B)(C)(D)解析:由已知得a2=1+(-1)2=2,a3a2=a2+(-1)3,a3=
16、,a4=+(-1)4,a4=3,3a5=3+(-1)5,a5=,=.故选C.答案:C4.(2011江阴模拟)已知数列an满足a1=2,an+1=2(1+)2an(nN*),则数列an的通项公式为.解析:an+1=2(1+)2an,=,an=a1=2=2nn2,a1=2也适合.答案:an=2nn25.(2013常州模拟)已知各项均为正数的数列an的前n项和满足Sn1,且6Sn=(an+1)(an+2),nN*.求an的通项公式.解:由a1=S1=(a1+1)(a1+2),解得a1=1或a1=2,由已知a1=S11,因此a1=2.又由an+1=Sn+1-Sn=(an+1+1)(an+1+2)-(a
17、n+1)(an+2),得(an+1+an)(an+1-an-3)=0,因为an0,所以an+1-an-3=0.即an+1-an=3,从而an是公差为3,首项为2的等差数列,故an的通项为an=3n-1.考点二 有关数列前n项和的问题1.(2012威海一模)数列an中,已知对任意nN*,a1+a2+a3+an=3n-1,则+等于()(A)(3n-1)2(B)(9n-1)(C)9n-1(D)(3n-1)解析:已知a1+a2+a3+an=3n-1,当n2时,a1+a2+an-1=3n-1-1,由-得an=(3n-1)-(3n-1-1)=23n-1,an是首项为2,公比为3的等比数列.=(23n-1)
18、2=432n-2=49n-1,是首项为4,公比为9的等比数列,故+=(9n-1).答案:B2.(2011河池高中月考)在数列an中,a1=2,3(a1+a2+an)=(n+2)an,nN*,则an=.解析:由已知可得3Sn=(n+2)an,当n2时,3(Sn-Sn-1)=(n+2)an-(n+1)an-1=3an,=.a1=2=n(n+1),an=n(n+1).答案:n(n+1)3.(2013山东师大附中模拟)已知等差数列an的首项为a,公差为d,且方程ax2-3x+2=0的解为1,d.(1)求an的通项公式及前n项和公式;(2)求数列3n-1an的前n项和Tn.解:(1)方程ax2-3x+2
19、=0的两根为1,d.所以a=1,d=2.由此知an=1+2(n-1)=2n-1,前n项和Sn=n2.(2)令bn=3n-1an=(2n-1)3n-1,则Tn=b1+b2+b3+bn=11+33+532+(2n-1)3n-1,3Tn=13+332+532+(2n-3)3n-1+(2n-1)3n,两式相减,得-2Tn=1+23+232+23n-1-(2n-1)3n=1+-(2n-1)3n=-2-2(n-1)3n.Tn=1+(n-1)3n.综合检测1.(2012潍坊一中检测)若在数列an中,a1=1,a2=2+3,a3=4+5+6,a4=7+8+9+10,则a10等于()(A)1540(B)500(
20、C)505(D)510解析:an中的前9项共有正整数1+2+3+9=45个,故a10=46+47+55=505.答案:C2.(2012成都石室中学二模)若数列an满足a1=2且an+an-1=2n+2n-1,Sn为数列an的前n项和,则log2(S2012+2)等于()(A)2013(B)2012(C)2011(D)2010解析:由题意得a2+a1=22+2,a4+a3=24+23,a6+a5=26+25,a2012+a2011=22012+22011,以上1006个等式相加得S2012=2+22+23+22012=2(22012-1)=22013-2.故log2(S2012+2)=log2(
21、22013-2+2)=2013.答案:A3.(2013北京市海淀区检测)对任意xR,函数f(x)满足f(x+1)= + ,设an=f(n)2-f(n),数列an的前15项的和为,则f(15)=.解析:因为f(x+1)= + ,所以f(x+1)- =0,即f(x+1).两边平方得f(x+1)- 2=f(x)-f(x)2,即f(x+1)2-f(x+1)+ =f(x)-f(x)2,即f(x+1)2-f(x+1)+f(x)2-f(x)=- ,即an+1+an=-,即数列an的任意相邻两项之和为-,所以S15=7(-)+a15=-,即a15=-.所以a15=f(15)2-f(15)=-,解得f(15)=
22、或f(15)= (舍去).答案:4.(2012浙江省杭州高中模拟)已知数列an的前n项和Sn与通项an满足Sn=-an.(1)求数列an的通项公式;(2)设f(x)=log3x,bn=f(a1)+f(a2)+f(an),Tn=+,求T2012;(3)若cn=anf(an),求cn的前n项和Un.解:(1)当n=1时,a1=,当n2时,an=Sn-Sn-1=-an-+an-1,所以an=an-1,即数列an是首项为,公比为的等比数列,故an=n.(2)由已知可得f(an)=log3n=-n.则bn=-1-2-3-n=-,故=-2(-),又Tn=-2(1-)+(-)+(-)=-2(1-),所以T2012=-.(3)由题意得cn=-nn,故Un=c1+c2+cn=-11+22+nn,则Un=-12+23+nn+1,两式相减可得Un=-1+2+n-nn+1=-1-n+nn+1=-+n+nn+1,则Un=-+n+nn+1.