1、6.4 不等式的解法（一）知识梳理1.一元一次不等式的解法.任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为axb（a0）的形式.当a0时，解集为x|x；当a0时，解集为x|x.2.一元二次不等式的解法.任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax2+bx+c0（或0）（其中a0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.思考讨论用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理?点击双基1.（2004年全国，5）不等式0的解集为A.x|x2或0x3B.x|2x0或x3C.x|x2或x0D.
2、x|x0或x3解析：在数轴上标出各根.答案：A2.（2003年北京）若不等式|ax+2|6的解集为（1，2），则实数a等于A.8B.2C.4D.8解析：由|ax+2|6得6ax+26，即8ax4.不等式|ax+2|6的解集为（1，2），易检验a=4.答案：C3.（2003年重庆市诊断性考试题）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，1）、B（3，1）是其图象上的两点，那么| f（x+1）|1的解集是A.（1，4）B.（1，2）C.（，14，+）D.（，12，+）解析：由题意知f（0）=1，f（3）=1.又| f（x+1）|11f（x+1）1，即f（0）f（x+1）f（3）.又f（x）为R上的增
3、函数，0x+13.1x2.答案：B4.（理）（2003年山东潍坊市第二次模拟考试题）不等式x2|x1|10的解集为_.解析：当x10时，原不等式化为x2x0，解得0x1.x=1；当x10时，原不等式化为x2+x20，解得2x1.2x1.综上，x2.答案：x|2x1（文）不等式ax2+（ab+1）x+b0的解集为x|1x2，则a+b=_.解析：ax2+（ab+1）x+b0的解集为x|1x2，解得或a+b=或3.答案：或35.不等式ax2+bx+c0的解集为x|2x3，则不等式ax2bx+c0的解集为_.解析：令f（x）=ax2+bx+c，其图象如下图所示，再画出f（x）的图象即可.答案：x|3x
4、2典例剖析【例1】 解不等式1.剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.解：原不等式变为10，即01x1或2x3.原不等式的解集是x1x1或2x3.【例2】 求实数m的范围，使y=lgmx2+2（m+1）x+9m+4对任意xR恒有意义.剖析：mx2+2（m+1）x+9m+40恒成立的含义是该不等式的解集为R.故应解：由题意知mx2+2（m+1）x+9m+40的解集为R，则解得m.评述：二次不等式ax2+bx+c0恒成立的条件：若未说明是二次不等式还应讨论a=0的情况.思考讨论本题若要使值域
5、为全体实数，m的范围是什么?提示：对m分类讨论，m=0适合.当m0时，解m即可.【例3】 若不等式2x1m（x21）对满足|m|2的所有m都成立，求x的取值范围.剖析：对于m2，2，不等式2x1m（x21）恒成立，把m视为主元，利用函数的观点来解决.解：原不等式化为（x21）m（2x1）0.令f（m）=（x21）m（2x1）（2m2）.则解得x.深化拓展1.本题若变式：不等式2x1m（x21）对一切2x2都成立，求m的取值范围.2.本题若把m分离出来再求m的范围能行吗?闯关训练夯实基础1.（2004年重庆，4）不等式x+2的解集是A.（1，0）（1，+）B.（，1）（0，1）C.（1，0）（0
6、，1）D.（，1）（1，+）解法一：x+2x2+00x（x1）（x+1）01x0或x1.解法二：验证，x=2、不满足不等式，排除B、C、D.答案：A2.设f（x）和g（x）都是定义域为R的奇函数，不等式f（x）0的解集为（m，n），不等式g（x）0的解集为（，），其中0m，则不等式f（x）g（x）0的解集是A.（m，）B.（m，）（，m）C.（，）（n，m）D.（，）（，）解析：f（x）、g（x）都是定义域为R的奇函数，f（x）0的解集为（m，n），g（x）0的解集为（，）.f（x）0的解集为（n，m），g（x）0的解集为（，），即f（x）0的解集为（n，m），g（x）0的解集为（，）.由f（
7、x）g（x）0得或.又0m，mx或xm.答案：B3.若关于x的不等式x2+2xmx的解集为x|0x2，则实数m的值为_.解析：由题意，知0、2是方程x2+（2m）x=0的两个根，=0+2.m=1.答案：14.（2004年浙江，13）已知f（x）=则不等式x+（x+2）f（x+2）5的解集是_.解析：当x+20，即x2时.x+（x+2）f（x+2）52x+25x.2x.当x+20即x2时，x+（x+2）f（x+2）5x+（x+2）（1）525，x2.综上x.答案：（，5.（2004年宣武二模题）定义符号函数sgnx=当xR时，解不等式（x+2）（2x1）sgnx.解：当x0时，原不等式为x+22
8、x1.0x3.当x=0时，成立.当x0时，x+2.x+20.0.0.x0.综上，原不等式的解集为x|x3.6.（2003年北京西城区一模题）解关于x的不等式ax222xax（aR）.解：原不等式变形为ax2+（a2）x20.a=0时，x1；a0时，不等式即为（ax2）（x+1）0，当a0时，x或x1；由于（1）=，于是当2a0时，x1；当a=2时，x=1；当a2时，1x.综上，当a=0时，x1；当a0时，x或x1；当2a0时，x1；当a=2时，x=1；当a2时，1x.培养能力7.（2004年春季安徽）解关于x的不等式loga3x3logax（a0，且a1）.解：令y=logax，则原不等式化为
9、y33y0，解得y或0y，即logax或0logax.当0a1时，不等式的解集为x|xax|ax1；当a1时，不等式的解集为x|0xax|1xa.8.有点难度哟！（2003年天津质量检测题）已知适合不等式|x24x+a|+|x3|5的x的最大值为3，求实数a的值，并解该不等式.解：x3，|x3|=3x.若x24x+a0，则原不等式化为x23x+a+20.此不等式的解集不可能是集合x|x3的子集，x24x+a0不成立.于是，x24x+a0，则原不等式化为x25x+a20.x3，令x25x+a2=（x3）（xm）=x2（m+3）x+3m，比较系数，得m=2，a=8.此时，原不等式的解集为x|2x3
10、.探究创新9.关于x的不等式的整数解的集合为2，求实数k的取值范围.解：由x2x20可得x1或x2.的整数解为x=2，又方程2x2+（2k+5）x+5k=0的两根为k和.若k，则不等式组的整数解集合就不可能为2；若k，则应有2k3.3k2.综上，所求k的取值范围为3k2.思悟小结1.一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关.2.解分式不等式要使一边为零，转化为不等式组.如果能分解，可用数轴标根法或列表法.3.解高次不等式的思路是降低次数，利用数轴标根法求解较为容易.4.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论.教师下载中心教学点睛1.解不等式的过程，实质上是不
11、等式等价转化过程.因此在教学中向学生强调保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解，这体现了转化与化归的数学思想.3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确.拓展题例【例1】 （2003年南京市第二次质量检测题）解关于x的不等式x（aR）.解法一：由x，得x0，即0.此不等式与x（ax1）0同解.若a0，则x0；若a=0，则x0；若a0，则x0或x.综上，a0时，原不等式的解集是（，0）；a=0时，原不等式的解集是（，0）；a
12、0时，原不等式的解集是（，0）（，+）.解法二：由x，得x0，即0.此不等式与x（ax1）0同解.显然，x0.（1）当x0时，得ax10.若a0，则x，与x0矛盾，此时不等式无解；若a=0，则10，此时不等式无解；若a0，则x.（2）当x0时，得ax10.若a0，则x，得x0；若a=0，则10，得x0；若a0，则x，得x0.综上，a0时，原不等式的解集是（，0）；a=0时，原不等式的解集是（，0）；a0时，原不等式的解集是（，0）（，+）.【例2】 f（x）是定义在（，3上的减函数，不等式f（a2sinx）f（a+1+cos2x）对一切xR均成立，求实数a的取值范围.解：由题意可得即对xR恒成立.故a.