1、12.6离散型随机变量的均值与方差考情考向分析以理解均值与方差的概念为主，考查二项分布的均值与方差掌握均值与方差的求法是解题关键高考中常以解答题的形式考查，难度为中档1离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X的概率分布为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称V(X)2(x1)2p1(x2)2p2(xn)2pnpi2为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差2两点分布与二项分布的均值、方差(1)若
2、随机变量X服从两点分布，则E(X)p，V(X)p(1p)(2)若XB(n，p)，则E(X)np，V(X)np(1p)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小()(3)若XB(n，p)，则E(X)np.()(4)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大()(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关()题组二教材改编2P70练习T1已知离散型随机变量X的概率分布为X123P则X的均值E(
3、X)_.答案解析由已知条件可知E(X)123.3P70练习T3甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其概率分布分别为：X0123P0.40.30.20.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_答案乙解析E(X)00.410.320.230.11.E(Y)00.310.520.20.9，E(Y)E(X)乙技术好4P73练习T1已知随机变量X的概率分布如下表所示，则X的方差为_.X135P0.40.1x答案3.56解析由题意得0.40.1x1，x0.5.E(X)10.430.150.53.2，V(X)(13.2)20.4(33.2
4、)20.1(53.2)20.53.56.题组三易错自纠5下列说法中正确的是_(填序号)离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值；离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值相对于均值的离散程度；离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的大小规律；离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值的概率的平均值答案解析根据均值与方差的概念知正确6已知离散型随机变量X的概率分布如下表，且E(X)0，V(X)1，则a_，b_.X1012Pabc答案解析由题意，得abc1.E(X)0，ac0.V(X)1，ac1.联立，解得a，b.题型一离散型随机变量的均值、方差命题点1求离散型随机变量的均值、
5、方差典例 (2017无锡模拟)某小区停车场的收费标准为：每车每次停车的时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算)现有甲、乙两人独立来该停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示. 停车时间取车概率停车人员(0,2(2,3(3,4(4,5甲xxx乙y0(1)求甲、乙两人所付停车费相同的概率；(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量，求的概率分布与均值E()解(1)由题意，得3x1，所以x.y1，所以y.记甲、乙两人所付停车费相同为事件A，则P(A).所以甲、乙两人所付停车费相同的概率为.(2)
6、可能取的值为0,1,2,3,4,5，P(0)，P(1)，P(2)，P(3)，P(4)，P(5).所以的概率分布为012345P所以E()012345.命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值典例 设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分(1)当a3，b2，c1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量为取出此2球所得分数之和，求的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量为取出此球所得分数若E()，V()，求abc.解(1)由题意得2,3,4,5,6，故P(2)，P
7、(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的概率分布为23456P(2)由题意知的概率分布为123P所以E()，V()222，化简得解得a3c，b2c，故abc321.思维升华 离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解(2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值(3)由已知条件，作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断跟踪训练 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑
8、雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的概率分布与均值E()，方差V()解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为，.两人都付0元的概率为P1，两人都付40元的概率为P2，两人都付80元的概率为P3，则两人所付费用
9、相同的概率为PP1P2P3.(2)设甲、乙所付费用之和为，的可能取值为0,40,80,120,160，则P(0)，P(40)，P(80)，P(120)，P(160).所以的概率分布为04080120160PE()0408012016080.V()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.题型二均值与方差在决策中的应用典例 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米)都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年
10、，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解(1)由题意，得p1P(40X120)0.1.由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为pC(1p3)4C(1p3)3p34430.947
11、7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)安装1台发电机的情形由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 00015 000.安装2台发电机的情形依题意，当40X80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的概率分布为Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安装3台发电机的情形依题意，当40X80时，一台
12、发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120时，三台发电机运行，此时Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的概率分布为Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台思维升华 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定
13、跟踪训练 某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解若按“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的概率分布为X1300150PE(X1)300(150)200.若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的概率分布为X25003000P
14、E(X2)500(300)0200.V(X1)(300200)2(150200)235 000，V(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140 000.E(X1)E(X2)，V(X1)V(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥综上所述，建议该投资公司选择项目一投资离散型随机变量的均值与方差问题典例 (10分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：顾客
15、所获的奖励额为60元的概率；顾客所获的奖励额的概率分布及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由规范解答解(1)设顾客所获的奖励额为X.由题意，得P(X60)，即顾客所获的奖励额为60元的概率为.由题意，得X的所有可能取值为20,60.P(X60)，P(X20)，故X的概率分布为X2060P2分所以顾客所获的奖励额的均值为E(X)206040.3分(2)根据商场的
16、预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以，先寻找均值为60的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以均值不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以均值也不可能为60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖
17、励额为X1，则X1的概率分布为X12060100P6分X1的均值为E(X1)206010060，X1的方差为V(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的概率分布为X2406080P8分X2的均值为E(X2)40608060，X2的方差为V(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.10分求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤第一步：确定随机变量的所有可能取值；第二步：求每一个可能取值所对应的概率；第三步：列出离散型随机变量的概率分布；第四步：求均值和方差；第五步：根据均值、方差进行判断，并得出结论(适用于均值、方差的应用问题)；第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范性.