1、第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标运算基础巩固1.e1,e2是平面内一组基底,那么()A.若存在实数1,2,使1e1+2e2=0,则1=2=0B.空间内任一向量a可以表示为a=1e1+2e2(1,2为实数)C.对实数1,2,1e1+2e2不一定在该平面内D.对平面内任一向量a,使a=1e1+2e2的实数1,2有无数对【答案】 A【解析】 对于A,e1,e2不共线,故1=2=0正确;对于B,空间向量a应改为该平面内的向量才可以;C中,1e1+2e2一定在该平面内;D中,根据平面向量基本定理,1,2应是唯一一对.2.对于非零向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2),“ab”是“a1b2-
2、a2b1=0”的()A.必要不充分条件B.充分必要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B【解析】 由向量平行的坐标表示可得aba1b2-a2b1=0,故选B.3.已知向量a=(1,2),b=(-2,-4),则向量a与b()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且反向D.平行且同向【答案】 C【解析】 ,ab.又b=-2a,a,b平行且反向.4.(2012广东广州高三调研)已知向量a=(2,1),b=(x,-2),若ab,则a+b等于()A.(-2,-1)B.(2,1)C.(3,-1)D.(-3,1)【答案】 A【解析】 由ab可得2(-2)-1x=0,x=-4.所以a+b=(-
3、2,-1),故选A.5.(2012河南郑州月考)设向量a=(m,1),b=(1,m),如果a与b共线且方向相反,则m的值为()A.-1B.1C.-2D.2【答案】 A【解析】 设a=b(0),即m=且1=m,解得m=1,0,m=-1.6.(2012北京东城综合练习)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则等于()A.-2B.2C.-D.【答案】 C【解析】 由向量a=(2,3),b=(-1,2)得,ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),因为ma+nb与a-2b共线,所以(2m-n)(-1)-(3m+2n)4=0,整理得=-.7.设向量a=
4、(1,-3),b=(-2,4).若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c为()A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)【答案】 D【解析】 依题可知4a+(3b-2a)+c=0,所以c=2a-4a-3b=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).8.已知向量a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2),若(a+b)c,则m=.【答案】 -1【解析】 a+b=(1,m-1),由(a+b)c得12+(m-1)=0,故m=-1.9.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边ABDC,ADBC.已知A(-2,0),B(
5、6,8),C(8,6),则D点的坐标为.【答案】 (0,-2)【解析】 设D点的坐标为(x,y),由题意知,即(2,-2)=(x+2,y),所以x=0,y=-2,故D(0,-2).10.设e1,e2是平面内一组基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a,b的线性组合,即e1+e2=a+b.【答案】 -【解析】 e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2),解得m=,n=-.11.已知点A(-1,2),B(2,8)以及AB,=-,求点C,D的坐标和的坐标.【解】 设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),由题意得=(x1+1,y1-2
6、),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).因为=-,所以有解得所以点C,D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而=(-2,-4).12.a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向?【解】 ka+b=k(1,2)+(-3,2)= (k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).当ka+b与a-3b平行时,存在唯一实数使ka+b=(a-3b).由(k-3,2k+2)=(10,-4).解得k=-.当k=-时,ka+b与a-3b平行,这时ka+b=-a+b=-(a-3b).=-0,ka+b与a-
7、3b反向.13.已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2)和D(-2,3),试以为一组基底表示.【解】 =(2-1,1+2)=(1,3),=(3-1,2+2)=(2,4),=(-3, 5),=(-4,2),=(-5,1),=(-3-4-5,5+2+1)=(-12,8).令(-12,8)=m+n,则有m(1,3)+n(2,4)=(-12,8),即(m+2n,3m+4n)=(-12,8).从而解得m=32,n=-22.故=32-22.拓展延伸14.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式;(2)若=2,求点C的坐标.【解】 (1)由已知得=(2,-2),=(a-1,b-1),A,B,C三点共线,2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.(2)=2,(a-1,b-1)=2(2,-2),解得故点C的坐标为(5,-3).
