1、2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）1已知集合M=0，x，N=1，2，若MN=1，则MN=2函数的定义域是3函数，则f（1）=4求函数y=x的值域为5求值： =6若函数f（x）=x2lga2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是7方程lgx=4x的根x（k，k+1），kZ，则k=8对a，bR，记maxa，b=函数f（x）=max|x+1|，|x2|（xR）的最小值是9函数的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（9）=10函数f（x）=ax2+（a2b）x+a
2、1是定义在（a，0）（0，2a2）上的偶函数，则=11已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）10的解集是12函数f（x）=满足f（x1）f（x2）（x1x2）0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则a的取值范围是13已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）=，若对任意实数，都有f（t+a）f（t1）0恒成立，则实数a的取值范围是14已知函数f（x）=|loga|x1|（a0，a1），若x1x2x3x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则+=二、解答题：（本大题包括6小题，共90分.请在答题纸的指定区域
3、内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程）15设全集U=x|x5，且xN*，集合A=x|x25x+q=0，B=x|x2+px+12=0，且（UA）B=1，4，3，5，求实数p、q的值16已知集合A=x|y=，集合B=x|y=lg（x27x12），集合C=x|m+1x2m1（1）求AB；（2）若AC=A，求实数m的取值范围17某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=
4、g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102，时间单位：天）18已知定义在R上的函数f（x）=m（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）若f（x）是奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D3，1，求m的取值范围19已知二次函数f（x）满足f（x+1）f（x）=2x+1且f（2）=15（1）求函数f（x）的解析式； （2）令g（x）=（22m）xf（x）；若函数g（x）在x0，2上是单调函数，求实数m的取值范围；求函数g（x）在x0，2的最小值20已知函数g（x）=ax22ax+1+b（a0，b1），在区
5、间2，3上有最大值4，最小值1，设f（x）=（）求a，b的值；（）不等式f（2x）k2x0在x1，1上恒成立，求实数k的范围；（）方程有三个不同的实数解，求实数k的范围2015-2016学年江苏省南通市启东中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）1已知集合M=0，x，N=1，2，若MN=1，则MN=0，1，2【考点】并集及其运算；交集及其运算【专题】集合【分析】由M，N，以及两集合的交集确定出x的值，进而确定出M，求出M与N的并集即可【解答】解：M=0，x，N=1，2，且MN=1，x=1，即M=0，1，则
6、MN=0，1，2，故答案为：0，1，2【点评】此题考查了并集及其运算，以及交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2函数的定义域是（3，2）【考点】函数的定义域及其求法【专题】计算题【分析】求函数的定义域即求让函数解析式有意义的自变量x的取值范围，由此可以构造一个关于x的不等式，解不等式即可求出函数的解析式【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：6xx20即x2+x60解得：3x2故函数的定义域是（3，2）故答案为：（3，2）【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中根据让函数解析式有意义的原则构造关于x的不等式，是解答本题的关键3函数，则f（1）=2【考点】函数的值
7、【专题】函数的性质及应用【分析】由函数的解析式可得 f（1）=f（1+3）=f（2）=f（2+3）=f（5）=53，运算求得结果【解答】解：函数，则f（1）=f（1+3）=f（2）=f（2+3）=f（5）=53=2，故答案为 2【点评】本题主要考查利用分段函数求函数的值，属于基础题4求函数y=x的值域为（，【考点】函数的值域【专题】函数的性质及应用【分析】求出原函数的定义域，然后利用函数在定义域内为增函数求得函数的值域【解答】解：由12x0，得，为定义域上的减函数，y=x在（，上为增函数，则函数y=x的最大值为函数y=x的值域为（，故答案为：（，【点评】本题考查函数的值域的求法，训练了利用函数
8、的单调性求函数值域，是基础题5求值： =19【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值【专题】计算题【分析】根据式子的特点需要把底数和真数表示成幂的形式，把对数前的系数放到真数的指数位置，利用恒等式，进行化简求值【解答】解：原式=93（3）+=18+1=19，故答案为：19【点评】本题的考点是对数和指数的运算性质的应用，常用的方法是把（底数）真数表示出幂的形式，或是把真数分成两个数的积（商）形式，根据对应的运算法则和“”进行化简求值6若函数f（x）=x2lga2x+1的图象与x轴有两个交点，则实数a的取值范围是（0，1）（1，10）【考点】对数的运算性质；二次函数的性质【专题】计算题【分析
9、】由函数f（x）=x2lga2x+1的图象与x轴有两个交点，知lga0，且=44lga0，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=x2lga2x+1的图象与x轴有两个交点，lga0，且=44lga0，即a1，lga1，0a10，且a1故答案为：（0，1）（1，10）【点评】本题考查对数函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意一元二次方程的根的判别式的合理运用7方程lgx=4x的根x（k，k+1），kZ，则k=3【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】计算题；函数思想；方程思想；函数的性质及应用【分析】设函数f（x）=lgx+x4，判断解的区间，即可得到结论【解答】解：设函数f（x）
10、=lgx+x4，则函数f（x）单调递增，f（4）=lg4+44=lg40，f（3）=lg3+34=lg310，f（3）f（4）0，在区间（3，4）内函数f（x）存在零点，方程lgx=4x的解在区间（k，k+1）（kZ），k=3，故答案为：3【点评】本题主要考查方程根的存在性，根据方程构造函数，利用函数零点的条件判断，零点所在的区间是解决本题的关键8对a，bR，记maxa，b=函数f（x）=max|x+1|，|x2|（xR）的最小值是【考点】函数的值域；函数最值的应用；分段函数的应用【专题】计算题；综合题【分析】本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式的综合类问题在解答时应先根据|x+1|和|x
11、2|的大小关系，结合新定义给出函数f（x）的解析式，再通过画函数的图象即可获得问题的解答【解答】解：由|x+1|x2|（x+1）2（x2）2x，故f（x）=，其图象如右，则故答案为：【点评】本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式等问题，属于中档题在解答过程当中充分考查了同学们的创新思维，培养了良好的数学素养9函数的图象恒过定点P，P在幂函数f（x）的图象上，则f（9）=【考点】对数函数的图像与性质；幂函数的性质【专题】计算题【分析】欲求函数的图象恒过什么定点，只要考虑对数函数f（x）=logax（a0，a1）的图象恒过什么定点即可知，故只须令x=2即得，再设f（x）=x，利用待定系数法求得即
12、可得f（9）【解答】解析：令，即；设f（x）=x，则，；所以，故答案为：【点评】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及幂函数的性质，属于容易题主要方法是待定系数法10函数f（x）=ax2+（a2b）x+a1是定义在（a，0）（0，2a2）上的偶函数，则=3【考点】二次函数的性质；函数奇偶性的性质【专题】函数的性质及应用【分析】由偶函数的定义域关于原点对称，可求a及b的值，然后把a及b的值代入函数f（x）进行计算即可【解答】解：函数f（x）=ax2+（a2b）x+a1是定义在（a，0）（0，2a2）上的偶函数，a=2a2，解得a=2，由f（x）=f（x）得，a2b=0，即b=1，则f（x）=2
13、x2+1故=故答案为 3【点评】本题主要考查了偶函数的定义的应用，解题中不要漏掉对函数的定义域关于原点对称的考虑11已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）10的解集是【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】分类讨论；综合法；函数的性质及应用【分析】求出f（x）的解析式，带入不等式解出【解答】解：当x0时，x0，f（x）=x+2，y=f（x）是奇函数，f（x）=f（x）=x2y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0f（x）=，（1）当x0时，2（x2）10，解得0x（2）当x=0时，10，恒成立（3）当x0时，2（x+2）10，解得x综上所述
14、：2f（x）10的解集是故答案为【点评】本题考查了函数单调性与奇偶性，属于中档题12函数f（x）=满足f（x1）f（x2）（x1x2）0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则a的取值范围是（0，【考点】分段函数的应用【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】首先判断函数f（x）在R上单调递减，再分别考虑各段的单调性及分界点，得到0a1a30a0（a3）0+4a，求出它们的交集即可【解答】解：f（x1）f（x2）（x1x2）0对定义域中的任意两个不相等的x1，x2都成立，则函数f（x）在R上递减，当x0时，y=ax，则0a1当x0时，y=（a3）x+4a，则a30又a0（a3）0+4a则
15、由，解得0a故答案为：（0，【点评】本题考查分段函数及运用，考查函数的单调性及应用，注意分界点的情况，考查运算能力，属于中档题和易错题13已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x0时，f（x）=，若对任意实数，都有f（t+a）f（t1）0恒成立，则实数a的取值范围是（，3）（0，+）【考点】函数恒成立问题【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用【分析】由分离常数法化简解析式，并判断出函数f（x）在（0，+）上是增函数，由偶函数的性质将不等式化为：f（|t+a|）f（|t1|），利用单调性得|t+a|t1|，化简后转化为：对任意实数t，2，都有（2a+2）t+a210恒成立，根据关于t的一次函
16、数列出a的不等式进行求解【解答】解：当x0时，f（x）=1，f（x）在（0，+）上单调递增，由f（t+a）f（t1）0得，f（t+a）f（t1），又f（x）是定义在R上的偶函数，f（|t+a|）f（|t1|），则|t+a|t1|，两边平方得，（2a+2）t+a210，对任意实数t，2，都有f（t+a）f（t1）0恒成立，对任意实数t，2，都有（2a+2）t+a210恒成立，则，化简得，解得，a0或a3，则实数a的取值范围是（，3）（0，+）故答案为：（，3）（0，+）【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及恒成立的转化问题，二次不等式的解法，属于中档题14已知函数f（x）=|log
17、a|x1|（a0，a1），若x1x2x3x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则+=2【考点】函数的零点【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用【分析】不妨设a1，令f（x）=|loga|x1|=b0，从而可得x1=ab+1，x2=ab+1，x3=ab+1，x4=ab+1，从而解得【解答】解：不妨设a1，则令f（x）=|loga|x1|=b0，则loga|x1|=b或loga|x1|=b；故x1=ab+1，x2=ab+1，x3=ab+1，x4=ab+1，故+=，+=；故+=+=+=2；故答案为：2【点评】本题考查了绝对值方程及对数运算的应用，同时考查了指数的运算二、解答题：
18、（本大题包括6小题，共90分.请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程）15设全集U=x|x5，且xN*，集合A=x|x25x+q=0，B=x|x2+px+12=0，且（UA）B=1，4，3，5，求实数p、q的值【考点】交、并、补集的混合运算【分析】化简全集U，据（CUA）B得到2A代入求出p，解集合A中的二次方程求出集合A，进一步求出A的补集，再根据条件（CUA）B=1，4，3，5，得到3B，将3代入B求出q【解答】解：U=1，2，3，4，5（CUA）B=1，4，3，5，2AA=x|x25x+q=0将2代入得410+q=0得q=6A=x|x25x+6=0=2，3CUA=1
19、，4，5（CUA）B=1，4，3，5，3B9+3p+12=0解得p=7p=7，q=6【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的混合运算，据运算结果得出个集合的情况16已知集合A=x|y=，集合B=x|y=lg（x27x12），集合C=x|m+1x2m1（1）求AB；（2）若AC=A，求实数m的取值范围【考点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算【专题】计算题；分类讨论【分析】（1）先化简集合，即解不等式 x25x140和x27x120，再求交集；（2）根据AC=A，得到CA，再m进行讨论，即可求出结果【解答】解：（1）A=（，27，+），B=（4，3）AB=（4，3）（2）AC=A，CAC=，
20、2m1m+1，m2C，则或m6综上，m2或m6【点评】本题主要考查集合的关系与运算，同时，遇到参数要注意分类讨论体现了分类讨论的数学思想，考查了运算能力，属中档题17某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/102，时间单位：天）【考点】函数的最值及其
21、几何意义；根据实际问题选择函数类型【专题】应用题；压轴题；函数思想【分析】（1）观察图一可知此函数是分段函数（0，200）和（200，300）的解析式不同，分别求出各段解析式即可；第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可（2）要求何时上市的西红柿纯收益最大，先用市场售价减去种植成本为纯收益得到t时刻的纯收益h（t）也是分段函数，分别求出各段函数的最大值并比较出最大即可【解答】解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为由图二可得种植成本与时间的函数关系为（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）g（t），即h（t）=当0t200时，配方整理得
22、h（t）=所以，当t=50时，h（t）取得区间0，200上的最大值100；当200t300时，配方整理得h（t）=，所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5、综上，由10087.5可知，h（t）在区间0，300上可以取得最大值100，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【点评】本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力18已知定义在R上的函数f（x）=m（1）判断并证明函数f（x）的单调性；（2）若f（x）是奇函数，求m的值；（3）若f（x）的值域为D，且D3，1，求m的取值范围
23、【考点】奇偶性与单调性的综合【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用【分析】（1）利用单调性的定义，判断并证明函数f（x）的单调性；（2）若f（x）是奇函数，则f（x）+f（x）=0，即可求m的值；（3）求出f（x）的值域为D，利用D3，1，建立不等式，即可求m的取值范围【解答】解：（1）判断：函数f（x）在R上单调递增证明：设 x1x2且x1，x2R则，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2），f（x）在R上单调递增； （2）f（x）是R上的奇函数，即，m=1（3）由，D=（m2，m）D3，1，m的取值范围是1，1【点评】本题考查函数的单调性、奇偶性，考查函数的值域，考查学生
24、分析解决问题的能力，属于中档题19已知二次函数f（x）满足f（x+1）f（x）=2x+1且f（2）=15（1）求函数f（x）的解析式； （2）令g（x）=（22m）xf（x）；若函数g（x）在x0，2上是单调函数，求实数m的取值范围；求函数g（x）在x0，2的最小值【考点】二次函数的性质【专题】函数的性质及应用【分析】（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，若函数g（x）在x0，2上是单调函数，则m0，或m2；分当m0时，当0m2时，当m2时三种情况分别求出函数的最小值，可
25、得答案【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，f（2）=15，f（x+1）f（x）=2x+1，4a+2b+c=15；a（x+1）2+b（x+1）+c（ax2+bx+c）=2x+1； 2a=2，a+b=1，4a+2b+c=15，解得a=1，b=2，c=15，函数f（x）的表达式为f（x）=x2+2x+15；（2）g（x）=（22m）xf（x）=x22mx15的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，若函数g（x）在x0，2上是单调函数，则m0，或m2；当m0时，g（x）在0，2上为增函数，当x=0时，函数g（x）取最小值15；当0m2时，g（x）在0，m上为减函数，在m，2上为增函数
26、，当x=m时，函数g（x）取最小值m215；当m2时，g（x）在0，2上为减函数，当x=2时，函数g（x）取最小值4m11；函数g（x）在x0，2的最小值为【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键20已知函数g（x）=ax22ax+1+b（a0，b1），在区间2，3上有最大值4，最小值1，设f（x）=（）求a，b的值；（）不等式f（2x）k2x0在x1，1上恒成立，求实数k的范围；（）方程有三个不同的实数解，求实数k的范围【考点】函数与方程的综合运用；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】综合题；压轴题【分析】（）只需要利用好所给的在区间2，3上
27、有最大值4，最小值1，即可列出方程求的两个未知数；（）要结合（）的结论将问题具体化，在通过游离参数化为求函数（t）=t22t+1最小值问题即可获得问题的解答；（）可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答【解答】解：（）（1）g（x）=a（x1）2+1+ba当a0时，g（x）在2，3上为增函数故当a0时，g（x）在2，3上为减函数故b1a=1，b=0（）由（）即g（x）=x22x+1.方程f（2x）k2x0化为，令，kt22t+1x1，1记（t）=t22t+1（t）min=0k0（）方程化为|2x1|2（2+3k）|2x1|+（1+2k）=0，|2x1|0令|2x1|=t，则方程化为t2（2+3k）t+（1+2k）=0（t0）方程有三个不同的实数解，由t=|2x1|的图象知，t2（2+3k）t+（1+2k）=0有两个根t1、t2，且0t11t2或0t11，t2=1记（t）=t2（2+3k）t+（1+2k）则或k0【点评】本题考查的是函数与方程以、恒成立问题以及解的个数的综合类问题在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、恒成立的思想以及数形结合和问题转化的思想值得同学们体会反思