1、2016-2017学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次段考数学试卷（文科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置1已知i是虚数单位，且复数z1=2+bi，z2=12i，若是实数，则实数b=2“=2k+（kZ）”是“tan=”的条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）3已知函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=x33asin，且f（3）=6，则a=4将函数y=sin（2x）的图象向左平移个单位，所得函数图象的解析式为y=f（x），则f（0）=5函数y=x+2cosx在（0，）上的单调递减区间为 6在平面直角坐标系
2、xOy中，已知=（3，1），=（0，2），若，=，则实数的值为7已知cos（+）=，（0，），则cos（2）=8已知函数f（x）=2sin（x+），0，|，满足f（x）+f（x+）=0对任意的xR恒成立，且x=为其图象的一条对称轴方程，则f（）=9如图，在锐角ABC中，=，P是线段BN（不含端点）上的一点，若=m+n，则+的最小值为10已知函数f（x）=，g（x）=lnx，则函数y=f（x）g（x）的零点个数为11在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（C+）=，则角A的值是12已知集合A=x|x22x30，Bx|ax2+bx+c0，若AB=x|3x4，AB=R，则+的最小
3、值为13如图，在ABC中，已知AB=4，AC=3，BAC=60，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE=2，则的最小值等于14已知ABC中，=（+），|=|=1，点Q是边AB（含端点）上一点且=，则|的取值范围是二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知向量=（5cos，4），=（3，4tan），其中（，）（1）若，求sin2的值；（2）若|=5，向量=（2，0），求证：（+）16（14分）已知PQ是半径为1的圆A的直径，B，C为不同于P，Q的两点，如图所示，记PAB=（1）若BC=，求四边形PBCQ的面积的最
4、大值；（2）若BC=1，求的最大值17（14分）已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润18（16分）已知ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足，（）求C大小；（）若c=2，且ABC为锐角三角形，求a2+b2取值范围19（16分）已知函数f（x）=x2+ax+blnx（a，bR）
5、（1）若b=1且f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值及单调区间；（2）若b=1，f（x）0对x0恒成立，求a的取值范围；（3）若a+b2且f（x）在（0，+）上存在零点，求b的取值范围20（16分）若函数f（x）=x（lnxa）（a为实常数）（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）设g（x）=|f（x）|求函数g（x）的单调区间；若函数h（x）=的定义域为1，e2，求函数h（x）的最小值m（a）2016-2017学年江苏省南通市如皋中学高三（上）第一次段考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置
6、1已知i是虚数单位，且复数z1=2+bi，z2=12i，若是实数，则实数b=4【考点】复数代数形式的乘除运算【专题】计算题；转化思想；数学模型法；数系的扩充和复数【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得实数b的值【解答】解：z1=2+bi，z2=12i，=，又是实数，4+b=0，即b=4故答案为：4【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2“=2k+（kZ）”是“tan=”的充分不必要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】转化思想；转化法；简易逻辑【分析】由tan=，解
7、得=k+（kZ），即可得出【解答】解：由tan=，解得=k+（kZ），“=2k+（kZ）”是“tan=”的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点评】本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（2015张家港市校级模拟）已知函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=x33asin，且f（3）=6，则a=7【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】根据奇函数的性质，得f（3）=6，代入解析式即可得到答案【解答】解：f（x）是奇函数，f（3）=6f（3）=6，当x0时，f（x）=x33asin，（3）33asin（）=6，273a=6，a
8、=7故答案为：7【点评】本题考查了函数的概念，性质，属于计算题4将函数y=sin（2x）的图象向左平移个单位，所得函数图象的解析式为y=f（x），则f（0）=【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求得f（x）的解析式，从而求得f（0）的值【解答】解：将函数y=sin（2x）的图象向左平移个单位，所得函数图象的解析式为y=f（x）=sin2（x+）=sin（2x+），故f（0）=sin=，故答案为：【点评】本题主要考查函数y=Asin（x+）的图象变换规律，求函数的值，属于基础题5函数y=x+2
9、cosx在（0，）上的单调递减区间为 【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先求导数，因为是求减区间，则让导数小于零求解即可【解答】解：函数y=x+2cosxy=12sinx0sinx又x（0，）x（）故答案为：（）【点评】本题主要考查用导数法求函数的单调区间6在平面直角坐标系xOy中，已知=（3，1），=（0，2），若，=，则实数的值为2【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系【专题】计算题；转化思想；定义法；平面向量及应用【分析】设C（x，y），则=（x3，y+1），由，=，能求出结果【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，=（3，1），=（0，2），=（3，3），设C（x，y），则=（x
10、3，y+1），=，3x+3y=0，（x3，y+1）=（0，2），解得x=y=3，=2故答案为：2【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的条件的合理运用7已知cos（+）=，（0，），则cos（2）=【考点】二倍角的余弦【专题】三角函数的求值【分析】已知等式左边中的角度变形后，利用诱导公式化简求出cos（）的值，原式利用二倍角的余弦函数公式化简后把cos（）的值代入计算即可求出值【解答】解：cos（+）=cos（）+=cos（）=，（0，），cos（）=，则cos（2）=2cos2（）1=故答案为：【点评】此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键
11、8已知函数f（x）=2sin（x+），0，|，满足f（x）+f（x+）=0对任意的xR恒成立，且x=为其图象的一条对称轴方程，则f（）=【考点】正弦函数的图象【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质【分析】运用三角函数的图象性质求解，利用周期性得出值，根据对称性得出，根据周期性得出函数f（）=f（3）=f（）代入求解即可【解答】解：满足f（x）+f（x+）=0对任意的xR恒成立，f（x+）=f（x）=f（x）周期为，=2，x=为其图象的一条对称轴方程，2+=，=，f（x）=2sin（2x+），f（）=f（3）=f（）=2sin（）=，故答案为：【点评】本题考查了三角函数的图象性质，计算能
12、力，属于容易题9如图，在锐角ABC中，=，P是线段BN（不含端点）上的一点，若=m+n，则+的最小值为16【考点】平面向量的基本定理及其意义【专题】转化思想；向量法；平面向量及应用【分析】设=t，0t1，用、表示出，求出m、n的表达式，再代入+求出它的最小值【解答】解：设=t，0t1，又=，=，=+=+t=+t（）=（1t）+t=（1t）+，=m+n，m=1t，n=；+=+=（+）（1t+t）=1+92+10=23+10=16，当且仅当t=时“=”成立；+的最小值是16故答案为：16【点评】本题考查了平面向量的共线定理以及基本不等式的应用问题，是综合性题目10已知函数f（x）=，g（x）=ln
13、x，则函数y=f（x）g（x）的零点个数为【考点】函数的零点与方程根的关系【专题】作图题【分析】在同一坐标系中画出函数函数f（x）与函数y=log4x的图象，两函数图象交点的个数即为函数y=f（x）log3 x的零点的个数【解答】解：令g（x）=f（x）log4x=0得f（x）=log4x函数g（x）=f（x）log4x的零点个数即为函数f（x）与函数y=log4x的图象的交点个数，在同一坐标系中画出函数f（x）与函数y=log4x的图象，如图所示，有图象知函数y=f（x）log4 x上有3个零点故答案为：3个【点评】此题是中档题考查函数零点与函数图象交点之间的关系，体现了转化的思想和数形结合
14、的思想，体现学生灵活应用图象解决问题的能力11在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（C+）=，则角A的值是【考点】正弦定理【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式即可求出【解答】解：由正弦定理可得sin（C+）=，2sin（C+）sinA=sinB=sin（A+C），sinCsinA+cosCsinA=sinAcosC+cosAsinC，sinCsinA=cosAsinC，sinC0，tanA=，0A，A=，故答案为：【点评】本题考查了正弦定理和两角和的正弦公式，以及三角函数值，属于中档题12已知集合A=x|x22x30，Bx|ax
15、2+bx+c0，若AB=x|3x4，AB=R，则+的最小值为【考点】基本不等式；子集与交集、并集运算的转换【专题】规律型【分析】先化简A，B，利用条件AB=x|3x4，AB=R，确定a，b，c的关系，然后利用基本不等式进行求解【解答】解：A=x|x22x30=x|x3或x1，设m，n是方程ax2+bx+c=0的两个根，（mn）AB=x|3x4，AB=R，4，1是方程ax2+bx+c=0的两个根且a0，1+4=，b=3a，c=4a，a0，+=当且仅当，即a=时取等号故答案为：【点评】本题主要考查集合的基本运算，以及基本不等式的应用，综合性较强13如图，在ABC中，已知AB=4，AC=3，BAC=
16、60，点D，E分别是边AB，AC上的点，且DE=2，则的最小值等于【考点】基本不等式【专题】常规题型；高考数学专题【分析】由BAC=60想到三角形面积公式，可设AD=x，AE=y，利用余弦定理与重要不等式求解【解答】解：设AD=x，AE=y（0x4，0y3），由余弦定理得DE2=x2+y22xycos60，即4=x2+y2xy，从而42xyxy=xy，当且仅当x=y=2时等号成立所以，即的最小值为故答案为【点评】本题是重要不等式“x2+y22xy”的一个应用，涉及余弦定理和三角形面积公式，综合性较强，考查学生对知识的迁移能力14已知ABC中，=（+），|=|=1，点Q是边AB（含端点）上一点且
17、=，则|的取值范围是，1【考点】平面向量数量积的运算【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用【分析】据题意即可得到ACBC，从而可分别以CB，CA为x，y轴，建立平面直角坐标系，然后设A（0，a），B（b，0），Q（x，y），从而得到P（），这样便可得到（x，y）（b，a）=bx+ay=1，这即可得到（x2+y2）（a2+b2）（bx+ay）2，进而得到可写出直线AB的方程为，进而得出，这便可得到x2+y21，从而便可得出的取值范围【解答】解：根据题意知，ACBC，则以CB，CA分别为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系：设A（0，a），B（b，0），Q（x，y）；|AB|=2，a2+
18、b2=4；P为AB中点，则；（x，y）（b，a）=bx+ay=1；（x2+y2）（a2+b2）（bx+ay）2=1；4（x2+y2）1；又；=；a0，b0，x0，y0；x2+y21；即；综上得，；的取值范围为故答案为：，1【点评】考查直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，以及通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，根据点的坐标求向量坐标，中点坐标公式，向量数量积的坐标运算及计算公式，以及直线的斜截式方程二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（14分）已知向量=（5cos，4），=（3，4tan），其中（，）（1）
19、若，求sin2的值；（2）若|=5，向量=（2，0），求证：（+）【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用【专题】综合题；函数思想；向量法；平面向量及应用【分析】（1）由已知向量的坐标结合向量共线的条件列式求得sin，进一步得到cos，再由二倍角公式求得sin2的值；（2）由已知求得cos，得到tan，求出的坐标，然后利用数量积证得答案【解答】（1）解：=（5cos，4），=（3，4tan），且，5cos4tan12=0，得20sin=12，sin，（，），cos=，sin2=2sincos=；（2）证明：，得cos=，则sin=，tan=，=（5cos，4）=（3，4），=（3
20、，4tan）=（3，），则，=（2，0），（+）=0则（+）【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查向量垂直与夹角的关系，是中档题16（14分）已知PQ是半径为1的圆A的直径，B，C为不同于P，Q的两点，如图所示，记PAB=（1）若BC=，求四边形PBCQ的面积的最大值；（2）若BC=1，求的最大值【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；与圆有关的比例线段【专题】计算题；数形结合；向量法；综合法；三角函数的求值；平面向量及应用【分析】（1）根据条件可得到，进而得出，由三角形面积公式即可求出，由两角和的正弦公式即可得到，从而求出四边形PBCQ的面积的最大值；（2）由条件可得到，
21、而，代入进行数量积的运算，然后化简即可得出，从而得出该数量积的最大值【解答】解：（1），BAC=；由PAB=得CAQ=；S四边形PBCQ=SPAB+SABC+SCAQ=；，当时，S四边形PBCQ取得最大值；（2）当BC=1时，BAC=，PAC=；=1=；时，取得最大值【点评】考查三角形的面积公式，两角和的正余弦公式，三角函数的诱导公式，以及正弦函数的最值17（14分）已知美国苹果公司生产某款iphone手机的年固定成本为40万美元，每生产1只还需另投入16美元设苹果公司一年内共生产该款iphone手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R（x）万美元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关
22、于年产量x（万只）的函数解析式；（2）当年产量为多少万只时，苹果公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润【考点】函数与方程的综合运用【专题】应用题；函数的性质及应用【分析】（1）利用利润等于收入减去成本，可得分段函数解析式；（2）分段求出函数的最大值，比较可得结论【解答】解：（1）利用利润等于收入减去成本，可得当0x40时，W=xR（x）（16x+40）=6x2+384x40；当x40时，W=xR（x）（16x+40）=W=；（2）当0x40时，W=6x2+384x40=6（x32）2+6104，x=32时，Wmax=W（32）=6104；当x40时，W=2+7360，当且仅当，
23、即x=50时，Wmax=W（50）=576061045760x=32时，W的最大值为6104万美元【点评】本题考查分段函数模型的构建，考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题18（16分）已知ABC的角A，B，C的对边依次为a，b，c，若满足，（）求C大小；（）若c=2，且ABC为锐角三角形，求a2+b2取值范围【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理【专题】解三角形【分析】（）已知等式变形后，利用两角和与差的正切函数公式化简，再利用诱导公式求出tanC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；（）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，根据A与B都
24、为锐角求出A的范围，由c与sinC的值，利用正弦定理表示出a与b，将表示出的a，b及B代入所求式子中，和差化积后整理为一个角的正弦函数，由A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的值域，即可确定出所求式子的范围【解答】解：（）tanAtanBtanAtanB=，=，即tan（A+B）=tanC=，tanC=，C为三角形的内角，则C=；（II）A与B为锐角，且A+B=C=，即B=A，A，2A，c=2，sinC=，由正弦定理=得：a=sinA，b=sinB，a2+b2=（sinA+sinB）=sinA+sin（A）=+sin（2A），2A，sin（2A）1，即+sin（2A）
25、8，则a2+b2的范围为（，8【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，正弦函数的定义域与值域，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键19（16分）已知函数f（x）=x2+ax+blnx（a，bR）（1）若b=1且f（x）在x=1处取得极值，求实数a的值及单调区间；（2）若b=1，f（x）0对x0恒成立，求a的取值范围；（3）若a+b2且f（x）在（0，+）上存在零点，求b的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；构造法；函数的性质及应用【分析】（1）求出函数的导数，利用f（x）在x=1处取得极值，求
26、解a，利用导函数的符号，判断函数的单调性（2）b=1，f（x）0对x0恒成立，转化为，函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，求解a的范围（3）f（x）在（0，+）存在零点x2+ax+blnx=0，在（0，+）上有解，推出a，b的不等式，令P（x）=x2（b+2）x+blnx，求出函数的导数，当b0时，当b0时，通过函数的单调性以及函数的最值求解即可【解答】解：（1）函数的定义域为：x|x0若b=1，则，由f（1）=0得a=3，故，当或x1时，f（x）0，f（x）单调递增，当时，f（x）0，f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间为和（1，+），单调递减区间为（4分）（2）当b=1时
27、，令g（x）=2x2+ax1易知g（x）在（0，+）上有且仅有一个零点设为x0，则当x（0，x0）时，g（x）0，即f（x）0，故f（x）在（0，x0）单调递减，当x（x0，+）时，g（x）0，即f（x）0，故f（x）在（x0，+）单调递增，所以，又即，依题意即，易知h（x）=x2+lnx1在（0，+）单调递增，且h（1）=0，故0x01，又随x0增大而减小所以a1，+）（10分）说明：此题若用分离参数法同样给分（3）f（x）在（0，+）存在零点x2+ax+blnx=0，在（0，+）上有解在（0，+）上有解，又a+b2即ab2，故即x2（b+2）x+blnx0在（0，+）上有解令P（x）=x2
28、（b+2）x+blnx，则，当b0时，P（1）=1b0，故P（x）0有解，当b0时，易知P（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）单调递增，所以P（x）min=P（1）=1b0，所以1b0，综上b1（16分）【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，构造法的应用，考查分析问题解决问题的能力20（16分）若函数f（x）=x（lnxa）（a为实常数）（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）设g（x）=|f（x）|求函数g（x）的单调区间；若函数h（x）=的定义域为1，e2，求函数h（x）的最小值m（a）【考点】利用导
29、数研究曲线上某点切线方程；函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】（1）将a=0代入f（x），即可得到f（x）的表达式，求出f（x），根据导数的几何意义，切线的斜率k=f（1），切点为（1，0），由点斜式即可得到函数f（x）在x=1处的切线方程；（2）根据绝对值的定义，先将g（x）=|f（x）|转化为g（x）=，对g（x）分两段进行分析，当xea时，令g（x）0和g（x）0，求解即可得到g（x）的单调区间，当xea时，令g（x）0和g（x）0，求解即可得到g（x）的单调区间；根据h（x）的定义域，以及分母不为零，可以得到a2或a0，当a0时，可以判断函数g（
30、x）在1，e2上单调递增，从而得到g（x）的最大值，即可得到h（x）的最小值，当2a3时，根据g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，从而得到h（x）的最小值，当a3时，根据g（x）的单调性，求出g（x）的最大值，从而得到h（x）的最小值，最后，将最小值根据a的不同取值范围，写成分段函数的形式，即可得到答案【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=xlnx，f（x）=lnx+1，k=f（1）=1，又当x=1时，y=0，切点为（1，0），函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x1；（2）g（x）=|f（x）|=|x（lnxa）|=x|lnxa|=，当xea时，g（x）=lnx+1a0恒成立，x（e
31、a，+）时，函数g（x）为增函数；当xea时，g（x）=a1lnx，令g（x）=a1lnx0，得0xea1，令g（x）=a1lnx0，得xea1，函数g（x）的单调增区间为（ea，+），（0，ea1）；单调减区间为（ea1，ea）；当x1，e2时，lnx0，2，h（x）=的定义域为1，e2，a2或a0，（i）当a0时，ea1，函数g（x）在1，e2上单调递增，则g（x）的最大值为（2a）e2，h（x）在区间1，e2上的最小值为m（a）=；（ii）当2a3时，e2ea，且1ea1e2，函数g（x）在1，ea1）上单调递增，在（ea1，e2上单调递减，则g（x）的最大值为ea1，h（x）在区间1，
32、e2上的最小值为m（a）=；（iii）当a3时，ea1e2，函数g（x）在1，e2上单调递增，则g（x）的最大值为（a2）e2，h（x）在区间1，e2上的最小值为m（a）=综上所述，函数h（x）的最小值m（a）=【点评】本题考查了函数的定义域及其求法，利用导数研究曲线上某点处的切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的最值问题对于函数的定义域是指使得函数的解析式有意义的取值范围，要熟悉基本初等函数的定义域以及常见函数的限制条件导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值属于中档题