1、模块检测卷(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求)1.曲线yxln x在点(e，e)处的切线方程为()A.y2xe B.y2xeC.y2xe D.yx1解析yln x1，则曲线在点(e，e)处的切线斜率ln e12，所以切线方程为ye2(xe)，即y2xe，故选A.答案A2.在等差数列an中，4(a3a4a5)3(a6a8a14a16)36，那么该数列的前14项和为()A.20 B.21 C.42 D.84解析由4(a3a4a5)3(a6a8a14a16)36，得12a412a1136，即a4a113
2、，则数列an的前14项和为7(a4a11)21.答案B3.设等比数列an的前n项和为Sn，且满足a1a4，S69S3.若bnlog2an，则数列bn的前10项和是()A.35 B.25 C.25 D.35解析设等比数列an的公比为q.由题意知q1，则解得所以an2n12n3，所以bnn3，所以数列bn的前10项和T105(27)25.故选C.答案C4.函数f(x)x33bx3b在(0，1)内有极小值，则()A.0b1 B.b1C.b0 D.b解析因为f(x)3x23b0，所以x2b，若yf(x)在(0，1)内有极小值，则只需即0b1.答案A5.中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60
3、岁时完成杰作直指算法统宗.这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得()A.78石 B.76石C.75石 D.74石解析今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列an，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d18，则前3项和S33a1(18)180，解得a178.所以甲应该分得78石.故选A.答案A6.已知数列an是等差数列，bn
4、是正项等比数列，且b11，b3b22，b4a3a5，b5a42a6，则a2 019b9()A.2 025 B.2 529 C.2 026 D.2 275解析设数列bn的公比为q(q0)，b11，b3b22，q1且b1q2b1q2，即q2q2，解得q1(舍)或q2，bn2n1.数列an是等差数列，公差设为d，b4a3a523，b5a42a624，2a423，a42a624，a44，a66.由a6a42d，得d1，由a6a15d，得a11，ann.a2 019b92 019282 275，故选D.答案D7.已知yf(x)为(0，)上的可导函数，且有f(x)0，则对于任意的a，b(0，)，当ba时，
5、有()A.af(b)bf(a) B.af(b)bf(a)C.af(a)bf(b)解析因为yf(x)为(0，)上的可导函数，且有f(x)0，所以0，令F(x)xf(x)，则F(x)xf(x)f(x)，则当x0时，F(x)0，F(x)单调递增.因为a，b(0，)，当ba时，F(b)F(a)，即af(a)f(x)1，且f(x)2 019为奇函数，则不等式f(x)2 018ex1的解集为()A.(0，) B.(，0)C. D.解析构造函数g(x)，则g(x)0，所以函数g(x)在R上单调递减.由于函数yf(x)2 019为奇函数，则f(0)2 0190，则f(0)2 019，所以g(0)2 018.由
6、f(x)2 018ex1，得f(x)12 018ex，即2 018，所以g(x)0，故选A.答案A二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的不得分)9.如图是导数yf(x)的图象，下列说法正确的是()A.(1，3)为函数yf(x)的单调递增区间B.(3，5)为函数yf(x)的单调递减区间C.函数yf(x)在x0处取得极大值D.函数yf(x)在x5处取得极小值解析由题图，可知当x1或3x5时，f(x)5或1x0，所以函数yf(x)的单调递减区间为(，1)，(3，5)，单调递增区间为(1，3)，(5
7、，)，所以函数yf(x)在x1，x5处取得极小值，在x3处取得极大值，故选项C说法错误，ABD正确.答案ABD10.等差数列an是递增数列，满足a73a5，前n项和为Sn，下列选择项正确的是()A.d0 B.a10时n的最小值为8解析由题意，设等差数列an的公差为d，因为a73a5，可得a16d3(a14d)，解得a13d，又由等差数列an是递增数列，可知d0，则a10，解得n7，即Sn0时n的最小值为8，故D正确.答案ABD11.若函数f(x)ex1与g(x)ax的图象恰有一个公共点，则实数a可能取值为()A.2 B.0 C.1 D.1解析由f(x)ex1与g(x)ax恒过(0，0)，如图，
8、当a0时，两函数图象恰有一个公共点，当a0时，函数f(x)ex1与g(x)ax的图象恰有一个公共点，则g(x)ax为f(x)ex1的切线，且切点为(0，0)，由f(x)ex，所以af(0)e01，综上所述，a0，1或1.答案BCD12.已知函数f(x)exx3，则以下结论正确的是()A.f(x)在R上单调递增B.f(log52)ff(ln )C.方程f(x)1有实数解D.存在实数k，使得方程f(x)kx有4个实数解解析f(x)exx3，则f(x)exx3ex3x2x2ex(x3)，故函数在(，3)上单调递减，在(3，)上单调递增，A错误；0log52，e1，根据单调性知f(log52)ff(l
9、n )，B正确；f(0)0，f(3)1，故方程f(x)1有实数解，C正确；f(x)kx，易知当x0时成立，当x0时，kexx2，设g(x)exx2，则g(x)exx(x2)，故函数在(，2)，(0，)上单调递增，在(2，0)上单调递减，且g(2).画出函数图象，如图所示：当0k时有3个交点.综上所述：存在实数k，使得方程f(x)kx有4个实数解，D正确；故选BCD.答案BCD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13.函数f(x)aln xbx2在点(1，f(1)处的切线方程为y4x3，则a_，b_.(本题第一空2分，第二空3分)解析由题得f(x)2bx，由
10、导数的几何意义可得f(1)1，f(1)4，即b1，2b14，所以a2，b1.答案2114.已知数列an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，若1a25，2a37，则S6的取值范围是_.解析依题意设S66a115dx(a1d)y(a12d)，由解得则两式相加得3S660，即S6的取值范围是3，60.答案3，6015.在数列an中，已知a12，anan12an11(n2，nN*)，记数列an的前n项之积为Tn，若Tn2 017，则n的值为_.解析由anan12an11(n2，nN*)及a12，得a2，a3，a4，an.数列an的前n项之积为Tnn1.当Tn2 017时，n的值为2 016.答案2
11、01616.若函数f(x)x33x在区间(a，6a2)上有最小值，则实数a的取值范围是_.解析若f(x)3x230，则x1，且x1为函数的极小值点，x1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a，6a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a，6a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a16a2且f(a)a33af(1)2.解a16a2，得a1.不等式a33af(1)2，即a33a20，a313(a1)0，(a1)(a2a2)0，即(a1)2(a2)0，即a2，故实数a的取值范围为2，1).答案2，1)四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演
12、算步骤)17.(本小题满分10分)已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn3an1.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bnan是等差数列，且b12，b314，求数列bn 的前n项和Tn.解(1)数列an的前n项和为Sn，且2Sn3an1.当n1时，解得a11.当n2时，2Sn13an11，得，an3an1，又a10，故3(常数)，所以数列an是以1为首项，3为公比的等比数列.所以an3n1.(2)数列bnan是等差数列，且b12，b314，设cnbnan，则c1b1a11，c3b3a35，公差d2，所以cn2n1.则bnancn3n12n1.故Tn(30313n1)(132n1)n2.18
13、.(本小题满分12分)设aR，函数f(x)x3(2a1)x2(a2a)x.(1)若函数g(x)(x0)为奇函数，求实数a的值；(2)若函数f(x)在x2处取得极小值，求实数a的值.解(1)由已知，得f(x)x2(2a1)xa2a，g(x)x2a1，x0.g(x)(x0)为奇函数，x0，g(x)g(x)0，即2a10，a.(2)f(x)x2(2a1)xa2a(xa)x(a1).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，a)a(a，a1)a1(a1，)f(x)00f(x)极大值极小值a12，a1.19.(本小题满分12分)已知数列an满足a11，an12an1.(1)证明数列an1是等
14、比数列，并求数列an的通项公式；(2)令bn3n(an1)，求数列bn的前n项和Tn.解(1)由an12an1可得an112(an1).a1120，an1是首项为2，公比为2的等比数列.an122n12n，an2n1.(2)由(1)知bn3n2n，Tn3216229233(n1)2n13n2n，2Tn3226239243(n1)2n3n2n1，Tn3(2122232n)3n2n133n2n1(33n)2n16.Tn(3n3)2n16.20.(本小题满分12分)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn，
15、证明：对于任意的nN*，都有Tn0，Snn2n.于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，又a1221适合上式.综上，数列an的通项公式an2n(nN*).(2)证明由于an2n，则bn.Tn0).(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)若对任意x(0，)，f(x)恒成立，求实数m的最大值.解(1)由f(x)xln x(x0)，得f(x)1ln x，令f(x)0，得x；令f(x)0，得0x0)，则g(x)，由g(x)0x1，由g(x)00x1.所以g(x)在(0，1)上是减函数，在(1，)上是增函数，所以g(x)ming(1)4，因此m4，所以m的最大值是4.22.
16、(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数g(x)f(x)xln x在上有零点，求实数a的取值范围.解(1)因为f(x)x3ax，所以f(x)3x2a.当a0时，f(x)3x2a0，所以f(x)在R上单调递增；当a0，得x；令f(x)0，得x.则f(x)在，上单调递增，在上单调递减.(2)因为g(x)f(x)xln x，所以g(x)x3axxln x.函数g(x)在上有零点，等价于方程g(x)0在上有解，即x3axxln x0在x上有解.因为x3axxln x0，所以ax2ln x.设h(x)x2ln x，x，则h(x)2x，x.令h(x)0，得0，得x20，则h(x)minh(2)4ln 2，h(x)maxhln ln 2，故实数a的取值范围为.