1、二 一般形式的柯西不等式 二 一般形式的柯西不等式课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 学习目标 学习目标1.熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明；2会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式等一些问题课前自主学案 1一般的三维形式的柯西不等式是_.2一般形式的柯西不等式是_，当 且 仅 当 _时等号成立(a21a22a23)(b21b22b23)(a1b1a2b2a3b3)2(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)思考感悟在一般形式的柯西不等式的右侧中，等号成立的条件记为aik
2、bikbi(i1,2,3，n)，可以吗？提示：不可以，aibi的顺序要与左侧ai，bi的顺序一致 课堂互动讲练 用柯西不等式证明不等式考点突破 例1已知正数 a，b，c，求证：b2c2c2a2a2b2abcabc.【证明】构造两组数 ab，bc，ca；ca，ab，bc，则由柯西不等式得a2b2b2c2c2a2c2a2a2b2b2c2abcabcabcabc，即 b2c2c2a2a2b2abc(abc)于是b2c2c2a2a2b2abcabc.【名师点评】实际把原不等式转化为：b2c2c2a2a2b2abc(abc)，再构造柯西不等式的特征，也可以用重要不等式证明 证明：由柯西不等式得a2b2
3、1212ab.即 a2b2 2ab.同理 b2c2 2bc.c2a2 2ca.以上三式相加得：2(a2b2 b2c2 c2a2)2(abc)，a2b2 b2c2 c2a2 2(abc)变式训练 1 设 a，b，c 为正数，求证：a2b2 b2c2 c2a22(abc)设 a，b，c，d 为不全相等的正数，求证：1abc1bcd1cda1dab163abcd.例2【证明】记 sabcd，则原不等式 ssd ssa ssb ssc163.构造两组数sd，sa，sb，sc；1sd，1sa，1sb，1sc.由柯西不等式得(sd)2(sa)2(sb)2(sc)21 sd21 sa21 sb21 sc2(
4、1111)2.即4s(abcd)(1sd 1sa 1sb 1sc)16.于是 ssd ssa ssb ssc163，即：1abc1bcd1cda1dab163abcd.【名师点评】通过寻找整体abcds与部分abc，bcd，cda，dab的关系先进行等价转化，使要证明的不等式简单化，易于构造柯西不等式形式 变式训练 2 设 a，b，c 为正数，且不全相等，求证：2ab 2bc 2ca9abc.证明：构造两组数 ab，bc，ca；1ab，1bc，1ca，则由柯西不等式得(abbcca)(1ab 1bc 1ca)(111)2，即 2(abc)(1ab 1bc 1ca)9.于是 2ab 2bc 2c
5、a9abc.由柯西不等式知，中有等号成立ab1ab bc1bc ca1caabbccaabc.因题设 a，b，c 不全相等，故中有严格的不等号成立，于是 2ab 2bc 2ca9abc.用柯西不等式求最值例3【解】a，b，c，dR，由柯西不等式得(a2b2c2d2)(12121212)(abcd)2.设a，b，c，dR，abcd1，求 a2b2c2d2的最小值 abcd1，4(a2b2c2d2)1，即 a2b2c2d214，当且仅当 abcd14时，取“”【名师点评】求最值就是寻找定值，故考虑abcd作为整体，出现常数 变式训练 3 已知 x、y、zR，且 xyz1，求1x4y9z的最小值，并
6、求出当 x、y、z 分别取何值时，才有最小值解：(1x4y9z)(xyz)(x)2(y)2(z)2(1x)2(2y)2(3z)2(x 1x y 2y z 3z)236.当且仅当 x214y219z2即 x16，y13，z12时，取“”误区警示 主要问题是不等式不符合柯西不等式的结构形式而盲目硬套 已知x2y3z1，求x2y2z2的最小值【错解】x2y3z1，(x2y2z2)(123)(x2y3z)21，当且仅当x2y3z时，取“”例【错因】(x2y2z2)(123)想构造出(x2y3z)时，就不符号柯西不等式的结构特征，而盲目构造x2y3z的形式，况且此时“”成立的条件也不对【自我校正】(x2y2z2)(122232)(x2y3z)21，即 14(x2y2z2)1，x2y2z2 114，当且仅当x1y2z3.即 x 114，y17，z 314时，取“”方法感悟 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式