1、52等差数列及其前n项和 知识梳理1等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示数学语言表示为an1and(nN*)，d为常数(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为ana1(n1)d，可推广为anam(nm)d.(2)等差数列的前n项和公式Snna1d.3等差数列的相关性质已知an为等差数列，d为公差，Sn为该数列的前n项和(1)
2、有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a1ana2an1a3an2akank1.(2)等差数列an中，当mnpq时，amanapaq(m，n，p，qN*)特别地，若mn2p，则2apaman(m，n，pN*)(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即ak，akm，ak2m，仍是等差数列，公差为md(k，mN*)(4)Sn，S2nSn，S3nS2n，也成等差数列，公差为n2d.(5)也成等差数列，其首项与an首项相同，公差是an的公差的.4等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系ana1(n1)d可化为andna1d的形式当d0时，an是关于n的一次函数；当d0时，数列为
3、递增数列；当d0，d0，则Sn存在最大值；若a10，则Sn存在最小值诊断自测1概念思辨(1)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(2)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(必修A5P38例1(1)已知等差数列8，3,2,7，则该数列的第100项为_答案487解析由条件易知该等差数列的首项为a18，公差d5，得an8(n1)55n13，故a100487.
4、(2)(必修A5P68A组T8)在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8_.答案180解析由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，a590，a2a82a5180.3小题热身(1)(2016全国卷)已知等差数列an前9项的和为27，a108，则a100()A100 B99 C98 D97答案C解析设an的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得ana1(n1)dn2，a100100298.故选C.(2)(2017福建宁德一模)若数列an为等差数列，Sn为其前n项和，且a23a46，则S9等于()A54 B50 C27 D25答案C解析数列an为等差数列，
5、设公差为d，则a4a22d，a23(a22d)6，2a26d60.a23d3，即a53，那么S99a527.故选C.题型1等差数列基本量的运算(2017广东惠州调研)设an是首项为，公差为d(d0)的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则d()A1 B C. D.方程思想方法答案A解析Snna1d，因为S1，S2，S4成等比数列，所以S1S4S，即a1(4a16d)(2a1d)2，因为a1，所以(26d)(1d)2，即d2d0，解得d0或d1.又因为d0，所以d1.故选A.(2017碑林区期末)设an是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a1_.设
6、前三项为ad，a，ad，列方程组答案2解析设等差数列的前三项分别为a2d，a2，a2d.由题可知3a212，(a2d)a2(a2d)48，将代入得(4d)(4d)12，解得d2或d2(舍)，a1a2d422.方法技巧1等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想见典例1.(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法2等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为ad，a，ad；若
7、偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元见典例2.冲关针对训练1(2018福建质检)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤只云初日差六十四人，次日转多七人每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”在这个问题中，前5天应发大米()A894升 B1170升 C1275升 D1
8、467升答案B解析每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则前5天的总人数为5647390，所以前5天应发大米39031170升故选B.2(2015北京高考)设an是等差数列下列结论中正确的是()A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1D若a10答案C解析因为an为等差数列，所以2a2a1a3.当a2a10时，得公差d0，a30，a1a32，2a22，即a2.故选C.题型2等差数列的判断与证明(2018长春质检)已知数列an的前n项和为Sn，a12，且满足an1Sn2n1(nN*)证明：数列为等差数列利用an1Sn1Sn整理变形证明由条件可知，Sn1SnSn
9、2n1，即Sn12Sn2n1，整理得1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列条件探究将典例条件“an1Sn2n1(nN*)”变为“2an1anan11(n2)”其他不变，证明数列是等差数列，并求an通项公式解当n2时，an2，1(常数)又1.数列是以首项为1，公差为1的等差数列1(n1)1，an.方法探究判定数列an是等差数列的常用方法1定义法：对任意nN*，an1an是同一个常数见典例2等差中项法：对任意n2，nN*，满足2anan1an1.3通项公式法：数列的通项公式an是n的一次函数4前n项和公式法：数列的前n项和公式Sn是n的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一
10、般都要转化为定义法判断见冲关针对训练(2)冲关针对训练(2014全国卷)已知数列an的前n项和为Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中为常数(1)证明：an2an；(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由解(1)证明：由题设anan1Sn1，知an1an2Sn11.两式相减得，an1(an2an)an1.由于an10，所以an2an.(2)存在由a11，a1a2a11，可得a21，由(1)知，a31.令2a2a1a3，解得4.故an2an4，由此可得，a2n1是首项为1，公差为4的等差数列，a2n11(n1)44n3；a2n是首项为3，公差为4的等差数列，a2n3(n1)44n1.
11、所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得an为等差数列.题型3等差数列前n项和及性质的应用角度1等差数列的前n项和(2018太原模拟)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，求该数列的公差d.S偶S奇nd(项数为2n)求解解设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.角度2等差数列前n项和的最值问题(2017北京海淀模拟)等差数列an中，设Sn为其前n项和，且a10，S3S11，则当n为多少时，Sn最大？二次函数法求最大值解由S3S11，得3a1d11a1d，则da1
12、.从而Snn2n(n7)2a1.又a10，所以0，a2016a20170，a2016a20170，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是()A2016 B2017 C4032 D4033答案C解析因为a10，a2016a20170，a2016a20170，所以d0，a20160，a20170，所以S40320，S40334033a20170，所以使前n项和Sn0成立的最大正整数n是4032.故选C.8(2017湖南长沙四县3月联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷(u)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规
13、律计算得出的下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分(1寸10分)已知易经中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为()A72.4寸 B81.4寸 C82.0寸 D91.6寸答案C解析设易经中记录的冬至、小寒、大寒、立春、夏至的晷影长依次为a1，a2，a13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d，由a1130.0, a1314.8，得130.012d14.8，解得d9.6.a6130.09.6582.0.易经中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸故选C.9(2017安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列an是首项为
14、a，公差为1的等差数列，数列bn满足bn.若对任意的nN*，都有bnb8成立，则实数a的取值范围是()A(8，7) B8，7)C(8，7 D8，7答案A解析因为an是首项为a，公差为1的等差数列，所以anna1，因为bn，又对任意的nN*，都有bnb8成立，所以11，即对任意的nN*恒成立，因为数列an是公差为1的等差数列，所以an是单调递增的数列，所以即解得8a7.故选A.10(2018云南二检)已知等差数列an的前n项和为Sn，S1122，a412，如果当nm时，Sn最小，那么m的值为()A10 B9 C5 D4答案C解析设等差数列an的公差为d.由已知得22，所以11a622，解得a62
15、，所以d7，所以ana4(n4)d7n40，所以数列an是单调递增数列，又因为a550，所以当n5时，Sn取得最小值，故选C.二、填空题11(2014北京高考)若等差数列an满足a7a8a90，a7a100，即a80.又a8a9a7a100，a90，则公差d，显然不成立，所以m0)为增函数，所以2n1521159，所以9，故实数的最大值为9.三、解答题15(2017中卫一模)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列(1)若a1，b，求sinC；(2)若a，b，c成等差数列，试判断ABC的形状解(1)由ABC，2BAC，得B.由，得，得sinA，又0AB，A，则C
16、.sinC1.(2)由2bac，得4b2a22acc2，又b2a2c2ac，得4a24c24aca22acc2，得3(ac)20，ac，AC，又AC，ACB，ABC是等边三角形16(2018郑州模拟)数列an满足a1，an1(nN*)(1)求证：为等差数列，并求出an的通项公式；(2)设bn1，数列bn的前n项和为Bn，对任意n2都有B3nBn成立，求正整数m的最大值解(1)证明：因为an1，所以1，即1，所以是首项为2，公差为1的等差数列，所以2(n1)(1)(n1)，所以an.(2)bn1，令CnB3nBn，所以Cn1Cn0，Cn1Cn0，Cn为单调递增数列，又n2，(B3nBn)minB6B2，m19.又mN*，所以m的最大值为18.