1、椭圆及其标准方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知焦点坐标为(0,-4),(0,4),且a=6的椭圆方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=12.(2013重庆高二检测)椭圆+=1的一个焦点坐标为(3,0),那么m的值为()A.-16 B.-4 C.16 D.43.(2013珠海高二检测)已知ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则ABC的周长是()A.2B.6C.4D.124.(2013安阳高二检测)如图,椭圆+=1上的点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点,则|ON|(O为坐标原点)的值为()
2、A.8B.2C.4D.5.设(0,),方程x2sin+y2cos=1表示焦点在y轴上的椭圆,则的取值范围是()A.(0,)B.(0,C.(,)D.,)二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知椭圆+=1的焦点在y轴上,且焦距为4,则m等于.7.(2013汕头高二检测)已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=.8.F1,F2分别为椭圆+=1(ab0)的左、右焦点,点P在椭圆上,POF2是面积为的正三角形,则b2的值是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.等腰直角三角形ABC中,斜边BC长为4,一个椭圆以C为其
3、中一个焦点,另一个焦点在线段AB上,且椭圆经过A,B两点,求该椭圆的标准方程.10.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的标准方程.(2)若PF1F2的面积为2,求P点坐标.11.(能力挑战题)已知P是椭圆+y2=1上的任意一点,F1,F2为椭圆的两焦点.(1)求|PF1|PF2|的最大值.(2)求|PF1|2+|PF2|2的最小值.答案解析1.【解析】选B.由条件知,椭圆的焦点在y轴上,且c=4,a=6,b2=a2-c2=36-16=20,其标准方程为+=1.2.【解析】选C.由条件知,椭圆焦点在x轴上且c=3.由
4、25-m=32,得m=16.【举一反三】若题中焦点坐标由“(3,0)”改为“(0,3)”,结果如何?【解析】焦点坐标为(0,3),焦点在y轴上且c=3.由m-25=9,得m=34.3.【解析】选C.设椭圆的另一焦点为F,则|BA|+|BF|=2a=2,|CA|+|CF|=2a=2,由条件可得,ABC的周长是|AB|+|AC|+|BC|=|BA|+|BF|+|CA|+|CF|=4a=4.4.【解题指南】结合平面图形的性质可知ON为MF1F2的中位线,所以首先由定义求出|MF2|,进而求得ON.【解析】选C.O为F1F2的中点,N为MF1的中点,ONMF2且|ON|=|MF2|.|MF1|+|MF
5、2|=2a=10,|MF2|=10-|MF1|=10-2=8,ON=4.5.【解析】选C.由题意可知cos0,又(0,),解得n0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.mn00b0),有|AM|+|AC|=2a,|BM|+|BC|=2a,两式相加,得8+4=4a,a=2+,|AM|=2a-|AC|=4+2-4=2.在直角三角形AMC中,|MC|2=|AM|2+|AC|2=8+16=24,c2=6,b2=4.故所求椭圆的标准方程为+=1.10.【解题指南】(1)由条件“|F1F2|是|PF1
6、|和|PF2|的等差中项”求出a,从而得b2后写出椭圆方程.(2)根据面积可以先确定出点P的纵坐标,再代入方程求横坐标.【解析】(1)由题意知,2c=4,c=2.且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,a=4.b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在x轴上,椭圆的方程为+=1.(2)设P点坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2|y0|=2,|y0|=,y0=,代入椭圆方程+=1得,x0=2,P点坐标为(2,)或(2,-)或(-2,)或(-2,-).11.【解析】(1)椭圆方程为+y2=1,a=2,b=1,c=,即|F1F2|=2.又|PF1|+|PF2|=2a=4
7、,|PF1|PF2|()2=()2=4,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”,此时点P是短轴顶点,|PF1|PF2|的最大值为4.(2)|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|,2(|PF1|2+|PF2|2)|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2,|PF1|2+|PF2|2(|PF1|+|PF2|)2=16=8,当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取“=”.|PF1|2+|PF2|2的最小值为8.【拓展提升】揭秘焦点三角形椭圆中的焦点三角形问题由于涉及知识面广,探究性强,综合性高,成为椭圆和解三角形、三角函数以及不等式等知识交汇的命题点,是命题的“焦点”.在解决与椭圆有关的焦点三角形问题中,常用到以下结论:设F1,F2为椭圆焦点,M为椭圆上的点.(1)|MF1|+|MF2|=2a.(2)|MF1|MF2|=a2.(3)|MF1|MF2|=2a2-.(4)=b2tan(其中F1MF2=).