1、天津市滨海新区2020届高三数学居家专题讲座学习反馈检测试题（B卷）（含解析）一.选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集是小于7的正整数，集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求出，再求.【详解】是小于7的正整数，.故选：D.2. 设xR.则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义判断【详解】时，例如，则，不是充分的，必要性成立因此应是必要不充分条件故选：B【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是用充分必要条件
2、的定义进行本题也可从集合的包含角度求解3. 设 ， ，则的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】， ，故选：C【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.4. 在的二项展开式中，的系数为（ ）A B. 10C. D. 5【答案】A【解析】【分析】求出二项式展开式的通项，即可求出的系数.【详解】的二项展开式的通项为，令，解得，故的系数为.故选：A.5.
3、如图，圆柱内有一内切球（圆柱各面与球面均相切），若圆柱的侧面积为，则球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设圆柱底面半径为r，则内切球的半径也是r，圆柱的高为2r，利用圆柱的侧面积为可得到r=1，从而求出球的体积即可.【详解】设圆柱底面半径为r，则内切球的半径也是r，圆柱的高为2r，所以圆柱的侧面积为，所以，所以球的体积为，故选：B.6. 某校对高三年级学生的数学成绩进行统计分析.全年级同学的成绩全部介于80分与150分之间，将他们的成绩按照，分组后得到的频率分布直方图如图所示.现从全体学生中根据成绩采用分层抽样的方法抽取80名同学的试卷进行分析，则从成绩在内的学生
4、中抽取的人数为（ ）A. 24B. 36C. 20D. 28【答案】A【解析】【分析】首先根据频率直方图的性质得到，从而得到的频率，即可得到答案.【详解】，解得.所以成绩在内的学生中抽取的人数为.故选：A7. 已知正实数，满足，则的最小值为（ ）A. 13B. 11C. 10D. 9【答案】C【解析】【分析】利用“乘1法”，结合基本不等式，可求出答案【详解】由，当且仅当即，时取等号的最小值为.故选：C【点睛】本题考查基本不等式的应用，注意利用“乘1法”，考查学生的计算求解能力，属于中档题.8. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数的图象关于点对称，则函数在上的最小值是（ ）A. B.
5、C. D. 【答案】B【解析】分析】直接利用函数的图象的平移变换的应用和正弦型函数的性质的应用和余弦函数的图象求出函数的最小值【详解】解：函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，由于函数的图象关于点对称，所以，即，由于，所以时，则当，所以，当或时，函数的最小值为故选：B9. 已知函数（且）在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可知在两段上均为增函数，且在上大于或等于，作出和的图象，根据交点个数判断与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出【详解】解：是上的单调递增函数，在，上单调递增，
6、可得，且，即，作出和的函数草图如图所示：由图象可知在上有且只有一解，可得，或在上有且只有一解，即有，即有或；由，解得，即时，有且只有一解则的范围是故选：A【点睛】本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键第卷二.填空题:本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10. 已知是虚数单位. 若复数是纯虚数，则_.【答案】1【解析】【分析】先把化简，再令实部为，虚部不为即可求解.【详解】，若是纯虚数，则且，解得：，故答案为：11. 以点为圆心，且被轴截得的弦长为的圆的方程为_.【答案】【解析】【分析】根据圆的对称性可得圆过点，即可求出半径，从而求出圆的方程；【详解
7、】解：因为点为圆心，所以设圆的方程为，又圆被轴截得的弦长为，根据圆的对称性，所以圆过点，所以，所以，即圆的方程为故答案为：12. 已知为等差数列，为其前项和.若则的值为_【答案】60【解析】【分析】由等差数列的通项公式和前项和公式求得首项和公差，然后再求和【详解】设数列的公差为，则，解得，所以故答案为：60【点睛】本题考查求等差数列的前项，解题方法是等差数列的基本量法即求出首项和公差，然后由等差数列的前项和公式得结论13. 一个口袋里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白色球2个，黑色球4个.若从中随机取球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为
8、_；若从中一次取3个球，记所取球中白球个数为，则随机变量的期望为_.【答案】 (1). (2). 1【解析】【分析】求出每一次取到白球的概率，再列式即可求出连续取球四次，恰好取到两次白球的概率；可得随机变量的可能取值为0，1，2，求出取2不同值的概率，即可求出数学期望.【详解】由题可得每一次取到白球的概率为，连续取球四次，恰好取到两次白球的概率为，随机变量的可能取值为0，1，2，则，.故答案为：；1.14. 已知双曲线：的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为_；若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，是抛物线上一点，的延长线交轴的正半轴于点，交抛物线的准线于点，且，则_.【答案】 (1). 2
9、(2). 【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程求得，再由隐含条件求得，则双曲线的离心率可求；由双曲线方程求得抛物线的焦点坐标，得到，可得抛物线方程，根据题意画出图形，结合图形利用三角形相似和抛物线的定义与性质，即可求出的值【详解】解：由双曲线的一条渐近线方程为，得，则双曲线的离心率为；且双曲线的右焦点为，而抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，抛物线的焦点为，则，抛物线抛物线的焦点为，准线方程为，根据题意画出图形，根据，设，则，过作垂直于准线，垂足为，交轴于点，由抛物线的定义知，由，得，即，又，则故答案为：2；【点睛】抛物线方程中，等于焦点到抛物线顶点的距离牢记它对解题非常有益15. 如图，在直
10、角梯形中，已知，对角线交于点，点在上，且满足，则的值为_.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系如图，分别表示出，再根据平面向量数量积的坐标表示计算可得；【详解】解：如图以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系；则，；则，因为所以，所以是的一个三等分点，且所以，设，则，因为，所以，解得则，所以故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的坐标表示，考查计算能力三. 解答题:本大题共5小题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在中，内角所对的边分别为 已知.（）求角的大小；（）设，. 求和的值.【答案】（）；（）.【解析】【分析】（1）利用正弦定
11、理进行边角互化，利用三角恒等变换公式求解即可；（2）先利用余弦定理得出，再利用正弦定理得出,得出，然后将展开求值.【详解】解：（）由已知及正弦定理可得因为.所以.故.即整理得.所以因为.所以（）根据余弦定理.，将 ，代入解得：因为，所以根据正弦定理有：，解得又因为，所以，则，可求得：，则【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，考查三角函数和差角公式、二倍角公式的运用，难度一般.17. 已知三棱柱， 平面，.（1）求异面直线与所成的角；（2）求二面角的正弦值； （3）设M为的中点，在的内部或边上是否存在一点N，使得平面?若存在，确定点N的位置，若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（
12、3）存在， 点为中点.【解析】【分析】以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系:（1）利用空间向量的数量积：即可求解.（2）求出平面的一个法向量以及平面的一个法向量，根据即可求解.（3）假设在平面的边上或内部存在一点，根据即可求解.【详解】因为平面，如图，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系:因为，所以， （1），所以异面直线与所成的角为. （2），设平面的法向量为 ，不妨令，则平面的一个法向量为 设平面的法向量为， ，不妨令，则平面的一个法向量为 . 从而 ，所以二面角的正弦值为. （3）假设在平面的边上或内部存在一点， 因为为的中点， ，所以， 所以 ，又，则，所以 且所以是的中点.故存在点，
13、为的中点，满足条件.【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.18. 已知数列的前项和为，且，数列满足：，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）根据，利用数列的通项与前项和的关系求解；（2）由（1）知，得到，然后利用分组求和法求解.【详解】（1）数列的前项和，当时，当时，两式相减得： 又时，满
14、足上式所以 又，所以， 所以（2），由（1）知，所以 【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1
15、)nf(n)类型，可采用两项合并求解19. 已知椭圆()的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切.（1）求的方程；（2）直线交于，两点，且.已知上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，若在直线的右下方，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由的短轴为直径的圆与直线相切求出，再由离心率和关系，可求出椭圆标准方程；（2）将直线与椭圆方程联立，消元整理，由根与系数关系，得到的两个关系式，再从已知条件寻找第三个等量关系，根据已知结合平面图形，可得轴，过作的垂线，垂足为，则为线段的中点，得，进而有，代入直线方程，得到等量关系，求解关于方程组，即可求出.【详解】（1）依题意，因为离心率，所
16、以，解得，所以的标准方程为.（2）因为直线的倾斜角为，且是以为顶角的等腰直角三角形，在直线的右下方，所以轴，过作的垂线，垂足为，则为线段的中点，所以，故，所以，即，整理得.由得.所以，解得，所以，由得， 将代入得，将代入得，解得.综上，的值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查数学运算和逻辑推理，属于中档题.20. 已知函数（其中是实数）.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）【解析】【分析】（1）
17、先求出导函数，然后求出切点处函数值、导数值，最后利用点斜式求出切线方程；（2）令函数的导数为零，判断零点的个数，并判断有零点时，零点左右的导数符号，从而确定原函数的单调性；（3）结合（2）的结论得到两个极值点满足的条件；然后将化简，转化为，的表达式，再转化为单变量的函数式，结合已知范围得到的范围，最后将（2）中满足的条件代入，得到关于的函数或不等式求解即可【详解】解：（1）由得： 则 ，所以，又. 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为，所以定义域为 若，则，当且仅当时， 若，得当时，当时， 所以，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间；时，的单调递减区间为；单调递增区间为. （3）由（2）知，若有两个极值点，则，且所以 ，由得. 令， ，所以上单调递减由的范围是得的取值范围. 又，又，故实数的取值范围.【点睛】本题考查利用导数求切线，研究函数的单调性、不等式等问题；考查了学生的数学运算、逻辑推理等核心素养以及学生利用函数与方程、转化与化归、分类与整合等数学思想解题的能力导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理