1、江苏省南京市第二十九中2020届高三数学下学期阶段测试试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合A，B2，3，4，5，则AB_【答案】【解析】分析】先求出集合，再求出集合即可得到答案【详解】由题意得，故答案为【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键是正确求出集合，属于简单题2.设复数，则_【答案】3【解析】【分析】将复数化为的形式，利用复数的模的定义即可求出【详解】因为，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查复数的四则运算及复数的模，属于基础题3.某算法的伪代码如图所示，如果输入的值为，则输出的值为_【答案】5【解析】【分析
2、】根据伪代码写出分段函数，再根据自变量选择相应的解析式，即可求出输出值【详解】由伪代码可得，当时，故答案为：【点睛】本题主要考查条件语句及分段函数，属于基础题4.某班有男生30人，女生20人，现采用分层抽样的方法在班上抽取15人参加座谈会，则抽到的女生人数为_.【答案】6【解析】【分析】根据分层抽样的概念可知在抽取的容量为的样本中男女生的比例也应为，可求得抽取的女生人数.【详解】因为男女生的比例为，由分层抽样的概念可知在抽取的容量为的样本中男女生的比例也应为，则抽取的女生人数为。故答案为:.【点睛】本题考查分层抽样,关键在于抽取的样本中男女生的比例与男女生的人数的比例相等，属于基础题.5.青岛
3、二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为_【答案】【解析】【分析】利用分层抽样的性质求出高一学生抽取2名，高二学生抽取2名，高三学生抽取1名，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数，记 “两名一等奖来自同一年级”，则事件包含的基本事件个数，由此能求出事件的概率【详解】解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数
4、学比赛，则高一学生抽取：52，高二学生抽取：52，高三学生抽取：51，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n10，记 “两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m2，事件A的概率为p故答案为：【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题6.已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且过点，则双曲线的焦距等于_.【答案】【解析】【分析】根据题意得出，然后将点的坐标代入双曲线的标准方程，可求出、的值，即可计算出双曲线的焦距.【详解】双曲线的渐近线方程为，由题意可得，所以，双曲线标准方程为，将点的坐标代入双曲线的标准方程得，得，因此，双曲
5、线的焦距为.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线焦距的计算，同时也考查了双曲线渐近线方程的求解，要结合题意得出、的值，考查运算求解能力，属于中等题.7.已知是定义在R上的奇函数，当时，则_【答案】【解析】【分析】根据是定义在上的奇函数，可得，只需将代入表达式，即可求出的值，进而求出的值【详解】因为是定义在上的奇函数，可得，又当时，所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用奇函数的性质转化求函数值，关键是定义的灵活运用，属于基础题8.底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为_【答案】【解析】【分析】利用底面半径都是3且高都是4，直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值【详解】圆柱
6、与圆锥的底面半径，圆柱与圆锥的高，可得圆锥的母线长为，则圆锥的全面积为：；圆柱的全面积为：圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：故答案为【点睛】本题主要考查圆锥与圆柱的性质，以及圆锥、圆柱的全面积，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题9.已知等比数列的前项和为，若，则_.【答案】【解析】【分析】可得出，并计算出，利用等比数列片断和的性质得出、成等比数列，可得出的值.【详解】，且，、成等比数列，即，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查利用等比数列片断和性质求值，考查计算能力，属于中等题.10.已知a，b，c均为正数，且abc4(ab)，则abc的最小值为_【答案】8【解析】11.在平面
7、直角坐标系中，已知圆，是圆上的两个动点，则的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：圆，,由余弦定理可得，设为的中点，设，的取值范围为.考点：向量的几何意义；向量的数量积；余弦定理.12.在平面直角坐标系中，直线与圆交于点，为弦的中点，则点的横坐标的取值范围是_【答案】【解析】【分析】将直线与圆联立方程组消去可得，利用根与系数关系可得，再根据直线与圆相交，利用判别式求出的范围，进而求出点M的横坐标的取值范围【详解】由消去得，所以，所以，因为直线与圆交于点A，B两点，所以，所以，令，所以，其在上单调递减，所以故答案为：【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化与化归的思想，属于中档题13.在
8、中，若，则实数_【答案】【解析】【分析】在中，利用余弦定理可得，然后将进行切化弦，再利用正、余弦定理将角化为边可得，从而可得，解得的值，由正弦定理即可求出结果【详解】在中，由余弦定理得，因为，即，所以，由正弦定理得，所以，整理得，由可得，所以，解得，所以，又，所以故答案为：【点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用，同时考查同角三角函数关系，属于中档题14.已知函数，若对任意的，总存在使得成立，则实数a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据任意的，总存在使得成立，问题转化为的值域是值域的子集，故只需分别求出两个函数的值域，利用子集关系建立不等式，即可求出a的取值范围.【详解】因为函数在上单调递
9、减，所以，即，所以函数的值域为，因为对任意的，总存在使得成立，故的值域是值域的子集，对，当时，符合题意；当时，函数在单调递增，所以，所以解得，又，所以，综上，实数a的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查等式型双变量存在性和任意性混搭问题，对于形如“任意的，都存在，使得成立”此类问题“等价转化”策略是利用的值域是值域的子集来求解参数的范围二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15.已知向量，(1)若，且，求实数的值； (2)若，求的最大值【答案】(1)；(2)6【解析】【分析】(1)将转化为，然后根据向量的坐标运算
10、求出的坐标代入，即可求出的值；(2)根据可得，而，利用基本不等式即可求出的最大值【详解】(1)当，时，又，所以，若，则，即，解得(2)因为，所以，因为，所以，则，所以， 故当或时，的最大值为6【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的数量积，向量的模及基本不等式，属于基础题16.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，A1CBC1，AB1BC1，D，E分别是AB1和BC的中点.求证：(1)DE平面ACC1A1；(2)AE平面BCC1B1.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连结A1B，可证出DEA1C，再由线面平行的判断定理即可证出.（2）由(1)知DEA1
11、C，且A1CBC1，可得BC1DE，结合BC1AB1，可证出BC1平面ADE，由线面垂直的定义可证出AEBC1，利用线面垂直的判断定理即可证出结论.【详解】连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BB1且AA1BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形.又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点在BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DEA1C.又因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，所以DE平面ACC1A1.(2)由(1)知DEA1C，因为A1CBC1，所以BC1DE.又因为BC1AB1，AB1DED，AB1，DE平面ADE，所以BC1平面ADE.又因为AE
12、平在ADE，所以AEBC1.在ABC中，ABAC，E是BC的中点，所以AEBC.因为AEBC1，AEBC，BC1BCB，BC1，BC平面BCC1B1，所以AE平面BCC1B1.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，考查了学生的推理证明能力，属于基础题.17.如图，是某景区的两条道路（宽度忽略不计，为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路上一游客休息区，已知，（百米），Q到直线，的距离分别为3（百米），（百米），现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路于点B，并在B处修建一游客休息区.（1）求有轨观光直路的长；（2）已知在景点Q的正北方6百米的P处有一大型组合音乐喷泉，
13、喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，（百米）（，）.当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道以（百米/分钟）的速度开往休息区A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由.【答案】（1）；（2）喷泉的水流不会洒到观光车上，理由见解析【解析】【分析】（1）建立如图平面直角坐标系，易得，直线的方程为，由点到直线距离，求出，从而直线的方程为，联产方程组求出的坐标，由此能求出轨道的长；（2）将喷泉记为圆，由题意得，生成分钟时，观光车在线段AB上的点C处，则，从而，若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，由此能求出喷泉
14、的水流不会洒到观光车上.【详解】（1）以点O为坐标原点，直线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示.则由题设得：，直线的方程为，（）.由，解得，所以.故直线的方程为，由得即，故，答：水上旅游线的长为.（2）将喷泉记为圆P，由题意可得，生成t分钟时，观光车在线段上的点C处，则，所以.若喷泉不会洒到观光车上，则对恒成立，即，当时，上式成立，当时，当且仅当时取等号，因为，所以恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上.答：喷泉的水流不会洒到观光车上.【点睛】本题考查轨道长的求法，考查喷泉的水流能否洒到观光车上的判断，考查函数性质有生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，属于中档题.18.在平
15、面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点，与圆：交于点，（1）若，求的长；（2）若中点为，求面积取值范围【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由AB的长度求出圆心O到直线AB的距离，列方程求出直线AB的斜率，从而得到直线CD的斜率，写出直线CD的方程，用垂径定理求CD得长度；（2）ABE的面积，先考虑直线AB、CD平行于坐标轴的情况，不平行时先由垂径定理求出AB，再在PME 中用勾股定理求出PE，将面积S表示成直线AB斜率k的函数式，再求其范围.【详解】解：（1）因为AB，圆O半径为2所以点O到直线AB的距离为显然AB、CD都不平行于坐标轴可设AB：，即则点O到直线A
16、B的距离，解得因为ABCD，所以所以CD：，即点M（2,1）到直线CD的距离所以（2）当ABx轴，CDx轴时，此时AB=4，点E与点M重合，PM=2，所以ABE的面积S=4当ABx轴，CDx轴时，显然不存在，舍当AB与CD都不平行于坐标轴时由（1）知因为，所以因为点E是CD中点，所以MECD，所以所以ABE的面积记，则则综上所述：【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，垂径定理求弦长，三角形面积的最值，在设直线方程时一定要先考虑斜率可能不存在的情况.19.已知数列，其前项和为，满足，其中，.若，（），求证：数列是等比数列；若数列是等比数列，求，的值；若，且，求证：数列是等差数列.【答案】（1）见
17、解析（2）（3）见解析【解析】试题分析：（1）(), 所以，故数列是等比数列；（2）利用特殊值法，得，故；（3）得，所以，得，可证数列是等差数列.试题解析：（1）证明：若，则当(),所以，即，所以， 又由，得，即，所以，故数列是等比数列 （2）若是等比数列，设其公比为（ ），当时，即，得， 当时，即，得，当时，即，得，-，得 ， -，得 ， 解得代入式，得 此时()，所以，是公比为的等比数列，故 （3）证明：若，由，得，又，解得由， ，代入得，所以，成等差数列，由，得，两式相减得：即所以相减得：所以所以， 因为，所以，即数列是等差数列.20.已知函数，其中为自然对数的底数，（1）讨论函数的单调
18、性，并写出相应的单调区间；（2）已知，若对任意都成立，求的最大值；（3）设，若存在，使得成立，求的取值范围【答案】(1) 见解析(2) (3) 或【解析】【分析】（1），讨论a,确定单调性即可；（2）由（1）得，,对任意都成立，得，构造函数，（），求导求其最值即可求解；（3）设，即题设等价于函数有零点时的的取值范围，利用零点存在定理求解即可【详解】（1）由，知 若，则恒成立，所以在上单调递增； 若，令，得，当时，当时，所以在上单调递减；在上单调递增 综上，增区间是，无减区间，增区间是，减区间是（2）由（1）知，当时，因为对任意都成立，所以， 所以设，（），由，令，得，当时，所以在上单调递增；当
19、时，所以在上单调递减，所以在处取最大值，且最大值为 所以，当且仅当，时，取得最大值为 （3）设，即题设等价于函数有零点时的的取值范围 当时，由，所以有零点 当时，若，由，得；若，设h(x)=故h(x)单增，所以h(x) h(0)=0,所以无零点 当时，又存在，所以有零点综上，的取值范围是或【点睛】本题考查函数的单调性与最值，零点存在定理，转化化归思想，分类讨论能力，是难题数学试题【选做题】在三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤选修42：矩阵与变换21.设矩阵，若，求矩阵M的逆矩阵【答案】【解析】【分析】根据矩阵的乘法运算求
20、出，然后由列出方程组，即可求出，从而确定矩阵，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M的逆矩阵【详解】解：因为 ，所以所以；矩阵的逆矩阵【点睛】本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解选修44：坐标系与参数方程22.已知椭圆的参数方程为(为参数)若点在椭圆上，求点到直线的距离的最大值【答案】【解析】【分析】根据直线的参数方程设，利用点到直线的距离公式求出，再利用两角和的余弦公式化简，即可求出的最大值【详解】设，则点到直线的距离所以当时，取到最大值【点睛】本题主要考查椭圆的参数方程的应用及三角函数最值的求法，属于基础题【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应
21、写出文字说明、证明过程或演算步骤23.某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目，的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过，每个项目测试的概率都是.（1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的概率分布和数学期望.【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】分析：（1）利用二项分布计算甲恰好有2次发生的概率；（2）由每人被录用的概率值，求出随机变量X的概率分布，计算数学期望.详解：（1）甲恰好通过两个项目测试的概率为； （2）因为每人可被录用的概率为，所以，；故随机变量X的概率分布表为：X0123P所以，X数学期望为 点睛：解离
22、散型随机变量的期望应用问题的方法(1)求离散型随机变量的期望关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望公式进行计算(2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布的，可用二项分布的期望公式计算，则更为简单24.已知为给定的正整数，设，.（1）若，求值；（2）若，求的值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）利用二项式定理可求出和的值；（2）利用组合数公式得出，可得出，然后利用二项式定理即可求得答案.【详解】（1）因为，所以，；（2）当时，又因为， 当时，； 当时，当时，也符合.所以的值为.【点睛】本题考查二项式定理求指定项的系数，同时也考查了利用二项式定理化简求值，解题的关键就是二项展开式通项和二项式定理的逆用，考查计算能力，属于中等题.
