1、第四章三角函数、解三角形第六节正弦定理和余弦定理A级基础过关|固根基|1.已知在ABC中，A，B，a1，则b等于()A2 B1C. D.解析：选D由正弦定理，得，所以，所以b.2在ABC中，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知c2a，bsin Basin Aasin C，则sin B的值为()A B.C. D.解析：选C由正弦定理，得b2a2ac，又c2a，所以b22a2，所以cos B，又0B，所以sin B.3在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则ABC的形状是()A锐角三角形 B钝角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形解析：选D由正弦定理，得，即tan Btan
2、C1，所以BC，所以A，所以ABC为等腰直角三角形故选D.4ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A. B.C. D.解析：选C由题可知，SABCabsin C，所以a2b2c22absin C，由余弦定理a2b2c22abcos C，所以sin Ccos C因为C(0，)，所以C.故选C.5(2019届长沙模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2B2sin Asin C，cos B，ac，则()A. B2C3 D4解析：选B由正弦定理，得b22ac，又cos B，即，整理得220，又ac，所以2，故选B.6在锐角ABC中，角A，B所
3、对的边分别为a，b，若2asin Bb，则角A_解析：因为2asin Bb，所以2sin Asin BsinB又sin B0，sin A，所以A或A.因为ABC为锐角三角形，所以A.答案：7(2019届兰州模拟)已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A，cos C，a1，则b_.解析：在ABC中，由cos A，cos C，可得sin A，sin C，则sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，由正弦定理得，b.答案：8(2019届郑州模拟)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为_解析：b2，B，C.由正弦
4、定理，得c2，A，sin Asinsin cos cos sin ，则SABCbcsin A221.答案：19(2019年北京卷)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a3，bc2，cos B.(1)求b，c的值；(2)求sin(BC)的值解：(1)由余弦定理得，b2a2c22accos B，即b232c223c.因为bc2，即bc2，所以(c2)232c223c，解得c5.所以b7.(2)由cos B，0B，得sin B.由正弦定理及(1)得sin Asin B.在ABC中，BCA.所以sin(BC)sin A.10设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC
5、)8sin2 .(1)求cos B；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.解：(1)由题设及ABC，得sin B8sin2 ，故sin B4(1cos B)上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B.(2)由(1)知cos B，所以sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624，所以b2.B级素养提升|练能力|11.在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SABC2，ab6，2cos C，则c等于()A2 B2C4 D3解
6、析：选B因为12cos C，所以C60.因为SABC2，所以absin C2，所以ab8.因为ab6，所以c2a2b22abcos C(ab)23ab623812，所以c2.12在梯形ABCD中，ABCD，AB1，AC2，BD2，ACD60，则AD()A2 B.C. D136解析：选B因为在梯形ABCD中，ABCD，ACD60，所以BAC60.在ABC中，AB1，AC2，由余弦定理，得BC，所以AB2BC2AC2，所以ABCBCD90.在BCD中，由勾股定理，得CD3，所以在ACD中，由余弦定理，得AD.故选B.13在ABC中，B30，AC2，D是AB边上的一点，CD2，若ACD为锐角，ACD
7、的面积为4，则sin A_，BC_解析：依题意得，SACDCDACsin ACD2sin ACD4，解得sin ACD.又ACD是锐角，所以cos ACD.在ACD中，AD4.由正弦定理得，即sin A.在ABC中，即BC4.答案：414(2020届惠州调研)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.(1)求角A；(2)(一题多解)若ABC的外接圆半径为1，求ABC的面积S的最大值解：(1)由，化简得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A，所以cos A.又0A，所以A.(2)解法一：记ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R，得a2Rsin A2sin ，所以a23b2c2bc2bcbcbc(当且仅当bc时取等号)，故Sbcsin A3(当且仅当bc时取等号)，即ABC的面积S的最大值为.解法二：记ABC外接圆的半径为R，由正弦定理得2R2，得b2sin B，c2sin C.所以Sbcsin A(2sin B)(2sin C)sinsin Bsin C.因为ABC，所以sin Bsin(AC)sinsin Ccos C，所以Ssin Ccos Csin2Csin 2C(1cos 2C)sin.因为0C，所以2C，所以当2C，即C时，S取得最大值，故ABC的面积S的最大值为.