1、3平均值不等式1.下列命题:x+1x的最小值是2;x2+2x2+1的最小值是2;x2+5x2+4的最小值是2;2-3x-4x的最小值是2.其中正确的命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:当x0时,2-3x-4xb1,P=lgalgb,Q=12(lg a+lg b),R=lga+b2,则()A.RPQB.PQRC.QPRD.PRb1,lg alg b0,且a+b2ab,Q=12(lg a+lg b)lgalgb=P,又R=lga+b2lgab=12(lg a+lg b)=Q,RQP.答案:B3.若x0,则4x+9x2的最小值是()A.9B.3336C.13D.不存在解析:因为x0,所以4
2、x+9x2=2x+2x+9x23336,当且仅当2x=9x2,即x=12336时等号成立.答案:B4.已知x+2y+3z=6,则2x+4y+8z的最小值为()A.336B.22C.12D.1235解析:2x0,4y0,8z0,2x+4y+8z=2x+22y+23z332x22y23z=332x+2y+3z=34=12,当且仅当2x=22y=23z,即x=2,y=1,z=23时,等号成立.答案:C5.若ab0,则a+1b(a-b)的最小值为()A.3B.4C.6D.33解析:a+1b(a-b)=(a-b)+b+1b(a-b)33(a-b)b1b(a-b)=3,当且仅当a=2,b=1时,不等式取等
3、号,a+1b(a-b)的最小值为3.答案:A6.已知不等式(x+y)1x+ay9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为()A.2B.4C.6D.8解析:(x+y)1x+ay=1+a+axy+yx1+a+2a=(a+1)2当且仅当yx=a时取等号.(x+y)1x+ay9对任意正实数x,y恒成立,(a+1)29,a4.答案:B7.若直线2ax-by+2=0(a0,b0)经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心,则1a+1b的最小值是.解析:圆x2+y2+2x-4y+1=0,即(x+1)2+(y-2)2=4,其圆心为(-1,2).又直线2ax-by+2=0(a0,b0)过圆心(-1,2),
4、所以-2a-2b+2=0,化简得a+b=1(a0,b0),所以1a+1b=a+bab=1ab.又aba+b22=14,所以1a+1b=1ab4,当且仅当a=b=12时等号成立.答案:48.函数y=4sin2xcos x的最小值为,最大值为.解析:y2=16sin2xsin2xcos2x=8(sin2xsin2x2cos2x)8sin2x+sin2x+2cos2x33=6427,y26427,当且仅当sin2x=2cos2x,即tan x=2时,等号成立.ymax=893,ymin=-893.答案:-8938939.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是.解析:令ab=t(t0).
5、由ab=a+b+32ab+3,则有t22t+3,即t2-2t-30.解得t3,或t-1(不合题意,舍去),ab3,ab9,当且仅当a=b=3时取等号.答案:9,+)10.已知圆柱的体积V是定值,问圆柱的底面半径r和高h各是多少时,圆柱的表面积S最小?并求S的最小值.解:V=r2h,S=2r2+2rh=2r2+12rh+12rh23314r4h2=63V242=332V2,当且仅当r2=12rh,即h=2r时,等号成立,即r=3V2,h=23V2时,Smin=332V2.11.求函数y=x-a+b-x(a0,所以y2=b-a+2(x-a)(b-x)2(b-a),当且仅当x=a+b2时,等号成立,
6、所以y有最大值2(b-a).解法二:利用不等式a2+b22a+b22,y22=x-a+b-x22(x-a)+(b-x)2=b-a2,所以y22(b-a),即y2(b-a),当且仅当x-a=b-x,即x=b+a2时,等号成立,所以ymax=2(b-a).12.如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B在AM上,D在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则AN的长应在什么范围内?(2)当AN的长度是多少时,矩形AMPN的面积最小?并求最小面积.解:(1)设AN=x米(x2),则ND=(x-2)米.由题意,得NDDC=ANAM,x-23=xAM,AM=3xx-2,S矩形AMPN=3xx-2x32,3x2-32x+640,(3x-8)(x-8)0,2x8,AN的长的范围是2,83(8,+).(2)S矩形AMPN=3x2x-2=3(x-2)2+12(x-2)+12x-2=3(x-2)+12x-2+12236+12=24,当且仅当x=4时取等号,当AN的长度为4米时,矩形AMPN的面积最小,矩形AMPN的最小面积为24平方米.5