1、 圆与方程(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为()A(3,4,5) B(3，4,5)C(3，4，5) D(3,4，5)解析：选A纵、竖坐标相同故点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为(3,4,5)2已知圆O以点(2，3)为圆心，半径等于5，则点M(5，7)与圆O的位置关系是()A在圆内 B在圆上C在圆外 D无法判断解析：选B点M(5，7)到圆心(2，3)的距离d5，故点M在圆O上3直线xy10被圆(x1)2y23截得的弦
2、长等于()A. B2C2 D4解析：选B由题意，得圆心为(1,0)，半径r，弦心距d，所以所求的弦长为22，选B.4若点P(1,1)为圆x2y26x0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为()A2xy30 Bx2y10Cx2y30 D2xy10解析：选D由题意，知圆的标准方程为(x3)2y29，圆心为A(3,0)因为点P(1,1)为弦MN的中点，所以APMN.又AP的斜率k，所以直线MN的斜率为2，所以弦MN所在直线的方程为y12(x1)，即2xy10.5若直线xy2n0与圆x2y2n2相切，其中nN*，则n的值为()A1 B2C4 D1或2解析：选D由题意，得圆心(0,0)到直线xy2n0
3、的距离为2n1，所以n2n1.由n2n1，结合选项，得n1或2.6圆C1：x2y22x6y260与圆C2：x2y24x2y40的位置关系是()A内切 B外切C相交 D外离解析：选A由题意，知圆C1的标准方程为(x1)2(y3)236，圆C2的标准方程为(x2)2(y1)21，所以圆C1的圆心为C1(1,3)，半径为6，圆C2的圆心为C2(2，1)，半径为1.又|C1C2|5，所以|C1C2|61，故两圆的位置关系是内切7半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2(y3)21内切，则此圆的方程为()A(x4)2(y6)26 B(x4)2(y6)26C(x4)2(y6)236 D(x4)2(y6)236
4、解析：选D半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b6.再由5，可以解得a4，故所求圆的方程为(x4)2(y6)236.8经过点M(2,1)作圆x2y25的切线，则切线方程为()A.xy50 B.xy50C2xy50 D2xy50解析：选CM(2,1)在圆上，切线与MO垂直kMO，切线斜率为2.又过点M(2,1)，y12(x2)，即2xy50.9把圆x2y22x4ya220的半径减小一个单位则正好与直线3x4y40相切，则实数a的值为()A3 B3C3或3 D以上都不对解析：选C圆的方程可变为(x1)2(y2)2a27，圆心为(1,2)，半径为，由题意得1，解得a3.10.如图，一
5、座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为()A14米 B15米C.米 D2米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，2)，设圆的半径长为r，则C(0，r)，即圆的方程为x2(yr)2r2.将点A的坐标代入上述方程可得r10，所以圆的方程为x2(y10)2100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A，B，可设A(x0，3)(x00)，代入x2(y10)2100，解得x0，水面宽度|AB|2
6、米11过点(3,1)作圆(x1)2y21的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30解析：选A设点P(3,1)，圆心C(1,0)已知切点分别为A，B，则P，A，C，B四点共圆，且PC为圆的直径故四边形PACB的外接圆圆心坐标为，半径长为.故此圆的方程为(x2)22.圆C的方程为(x1)2y21.得2xy30，此即为直线AB的方程12已知在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y22y3，直线l经过点(1,0)且与直线xy10垂直，若直线l与圆C交于A，B两点，则OAB的面积为()A1 B.C2 D2解析：选A由题意，得圆C的标准方程
7、为x2(y1)24，圆心为(0，1)，半径r2.因为直线l经过点(1,0)且与直线xy10垂直，所以直线l的斜率为1，方程为y0(x1)，即为xy10.又圆心(0，1)到直线l的距离d，所以弦长|AB|222.又坐标原点O到弦AB的距离为，所以OAB的面积为21.故选A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中的横线上)13圆心在直线x2上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C的方程为_解析：由题意知圆心坐标为(2，3)，半径r，圆C的方程为(x2)2(y3)25.答案：(x2)2(y3)2514两圆x2y22x4y30与x2y24x2y30上的点之
8、间的最短距离是_解析：由x2y22x4y30得(x1)2(y2)22，由x2y24x2y30得(x2)2(y1)22，两圆圆心距为 32.故两圆外离，则两圆上的点之间的最短距离是3.答案：15已知空间直角坐标系中三点A，B，M，点A与点B关于点M对称，且已知A点的坐标为(3,2,1)，M点的坐标为(4,3,1)，则B点的坐标为_解析：设B点的坐标为(x，y，z)，则有4，3，1，解得x5，y4，z1，故B点的坐标为(5,4,1)答案：(5,4,1)16圆O：x2y22x2y10上的动点Q到直线l：3x4y80的距离的最大值是_解析：圆O的标准方程为(x1)2(y1)21，圆心(1,1)到直线l
9、的距离为31，动点Q到直线l的距离的最大值为314.答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤)17(本小题满分10分)已知正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为3，G是PD的中点，求|BG|.解：正四棱锥PABCD的底面边长为4，侧棱长为3，正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB，BC所在的直线分别为y轴、x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B，D，P的坐标分别为B(2,2,0)，D(2，2,0)，P(0,0,1)G点的坐标为G|BG|.18(本小题满分12分)已知圆C的圆心为(2,1)，若圆C与圆O：x
10、2y23x0的公共弦所在直线过点(5，2)，求圆C的方程解：设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x2)2(y1)2r2，即x2y24x2y5r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x2y5r20，因为该直线过点(5，2)，所以r24，则圆C的方程为(x2)2(y1)24.19(本小题满分12分)已知从圆外一点P(4,6)作圆O：x2y21的两条切线，切点分别为A，B.(1)求以OP为直径的圆的方程；(2)求直线AB的方程解：(1)所求圆的圆心为线段OP的中点(2,3)，半径为|OP| ，以OP为直径的圆的方程为(x2)2(y3)213.(2)PA，PB是圆O：x2y21的两条切线，O
11、APA，OBPB，A，B两点都在以OP为直径的圆上由得直线AB的方程为4x6y10.20(本小题满分12分)已知圆过点A(1，2)，B(1,4)(1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2xy40上的圆的方程解：(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB的中点(0,1)为圆心，r|AB|为半径则所求圆的方程为x2(y1)210.(2)法一：直线AB的斜率k3，则线段AB的垂直平分线的方程是y1x，即x3y30.由解得即圆心的坐标是C(3,2)r2|AC|2(31)2(22)220.所求圆的方程是(x3)2(y2)220.法二：设圆的方程为(xa)2(
12、yb)2R2.则所求圆的方程为(x3)2(y2)220.21(本小题满分12分)已知圆x2y24ax2ay20a200.(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；(2)若该圆与圆x2y24相切，求a的值解：(1)证明：圆的方程可整理为(x2y220)a(4x2y20)0，此方程表示过圆x2y2200和直线4x2y200交点的圆系由得已知圆恒过定点(4，2)(2)圆的方程可化为(x2a)2(ya)25(a2)2.当两圆外切时，dr1r2，即2，解得a1或a1(舍去)；当两圆内切时，d|r1r2|，即|2|，解得a1或a1(舍去)综上所述，a1.22(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，O
13、为坐标原点，以O为圆心的圆与直线xy40相切(1)求圆O的方程(2)直线l：ykx3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形OAMB为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由解：(1)设圆O的半径长为r，因为直线xy40与圆O相切，所以r2，所以圆O的方程为x2y24.(2)法一：因为直线l：ykx3与圆O相交于A，B两点，所以圆心(0,0)到直线l的距离d或k.假设存在点M，使得四边形OAMB为菱形，则OM与AB互相垂直且平分，所以原点O到直线l：ykx3的距离d|OM|1.所以1，解得k28，即k2，经验证满足条件所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形法二：设直线OM与AB交于点C(x0，y0)因为直线l斜率为k，显然k0，所以直线OM方程为yx，由解得所以点M的坐标为.因为点M在圆上，所以224，解得k2，经验证均满足条件所以存在点M，使得四边形OAMB为菱形