1、模块综合测评(二)(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.在古巴比伦的楔形数字中,表示的数是().A.60B.61C.71D.77答案:C2.提出“几何空间种类有无限多”思想的数学家是().A.黎曼B.罗巴切夫斯基C.高斯D.牛顿答案:A3.第一个证明“无理数集是不可数的”的数学家是().A.高斯B.欧拉C.康托D.希尔伯特答案:C4.以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是().A.爱奥尼亚学派B.伊利亚学派C.诡辩学派D.毕达哥拉斯学派答案:D5.古希腊的三大几何作图难题是().三等分任意角;倍立方体;正十七边形;化圆为方.A.B.C.D.答案:B
2、6.第一个有意识地、系统地使用字母的人是().A.笛卡儿B.欧拉C.韦达D.高斯答案:C7.下图所示的作品利用了原理.()A.射影几何学B.素描C.透视学D.平面几何学答案:C8.最早研究一笔画问题,并推动了图论产生的数学家是().A.高斯B.欧拉C.黎曼D.拉格朗日答案:B9.下列积分的值等于1的是().A.01 xdxB.01 (x + 1)dxC.01 1dxD.01 12dx解析:01 xdx = 12x2|01= 12;01 (x + 1)dx = 12x2+ x|01 = 32;01 1dx = x|01 = 1;01 12dx = 12x|01 = 12.答案:C10.根据伽罗瓦
3、的理论,能够用求根公式作出一般性解决的高次方程最多是().A.三次方程B.四次方程C.五次方程D.二次方程答案:C11.现代数学符号“”用不定方程来表示应为().A.x=5a+3B.x=3a+5C.a=5x+3D.a=3x+5答案:A12.2006 年,在西班牙马德里举行的第25 届国际数学家大会上,华裔科学家因为他对偏微分方程、组合数学、谐波分析和堆垒数论方面的贡献,获得被誉为“数学界的诺贝尔奖”的菲尔兹奖.()A.陶哲轩B.丘成桐C.田刚D.陈省身答案:A二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)13.的产生在古希腊引发了第一次数学危机.答案:无理数14.由曲线y=x-4与y2=2x所
4、围图形的面积为.解析:作出草图,所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组y2=2x,y=x-4, 得到交点坐标为(2,-2)及(8,4).选y为积分变量,则S=12(2+8)6-24 12y2dy=18.答案:1815.1671年,苏格兰数学家发现可以利用下面的公式计算圆周率:=41-13+15-17+.答案:格列高里16.有两位年轻的数学家,他们虽然经历坎坷,但是在短暂的生命历程中作出了杰出的贡献,其中一位证明了一般的五次方程的不可解性,另一位建立了判别方程根式可解的充分必要条件,他的研究,可以看作是近世代数的发端,这两位数学家是和.答案:阿贝尔伽罗瓦三、解答题(共6小题,1721题每小题12
5、分,22题14分,满分74分)17.函数在数学中是一个重要的概念,函数的概念是怎样产生和发展的?答案:17世纪是从常量数学进入变量数学的过渡时期,笛卡儿发明的解析几何是函数概念新发展的标志.欧拉对函数概念的深化,是他对分析学发展作出的一项重大贡献.1748年,在无穷分析引论中,欧拉彻底地研究了函数概念.在继承老师约翰伯努利思想的基础上,欧拉提出了自己的函数概念:“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何方式构成的解析表达式.”用函数的解析式定义函数也有很大的局限性.比如某些变量之间的对应关系不能用解析式来表示,那么根据欧拉的函数定义,这种对应关系就不能称为函数关系.但是,西欧已经逐渐走进工
6、业革命,由于科技发展的需要,正确规定函数概念变得空前紧迫.1755年,欧拉在他的专著微分学原理中再一次扩张了他的函数概念:“如果某些变量,以这样一种方式依赖于另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之变化,则将前面的变量称为后面变量的函数.”这个函数概念朴素地体现了从“自变”到“因变”的过程,因此被认为是科学的函数概念的雏形.此后,经过众多数学家一百多年的发展和完善,才得到了现在的函数概念.18.“一个违背万物皆数的理论,葬身了一双发现的眼睛;一次对真理苦苦的追寻,造就了基础数学中最重要的课程;一回回不断地完善理论系统,奠定了数学的基石.”指的是数学史上的哪三次重大事件?答案:第一
7、次数学危机无理数的发现.(第一次数学危机表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示.反之,数却可以由几何量表示出来.整数的尊崇地位受到挑战,古希腊数学观点受到极大的冲击.于是,几何学开始在希腊数学中占有特殊地位.同时也反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证明才是可靠的.从此希腊人开始从“自明的”公理出发,经过演绎推理,并由此建立几何学体系.)第二次数学危机无穷小是零吗?(直到19 世纪,柯西详细而又系统地发展了极限理论.柯西认为把无穷小量作为确定的量,即使是零,都说不过去,他会与极限的定义发生矛盾.无穷小量应该是要怎么小就怎么小的量,因此本质上它是变量,而且是以零为极
8、限的量,至此柯西澄清了前人的无穷小的概念,另外Weistrass创立了极限理论,加上实数理论,集合论的建立,从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来,第二次数学危机基本解决,第二次数学危机的解决使微积分更完善.)第三次数学危机罗素悖论的产生.(引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题,导致无矛盾的集合论公理系统的产生.在这场危机中集合论得到较快的发展,数学基础的进步更快,数理逻辑也更加成熟.)19.利用解析几何思想方法解答下面的问题.如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,PA=AB,ABC=60,BCA=90,点D,E分别在棱PB,PC上,且DEBC.(1)求证:BC平面PAC;(2)当D为PB
9、的中点时,求AD与平面PAC所成的角的大小.答案:如图,以A为原点建立空间直角坐标系Axyz,设PA=a,由已知可得A(0,0,0),B-12a,32a,0,C0,32a,0,P(0,0,a).(1)AP=(0,0,a),BC=12a,0,0,BCAP=0.BCAP.又BCA=90,BCAC.又AP平面PAC,AC平面PAC,PAAC=A,BC平面PAC.(2)D为PB的中点,DEBC,E为PC的中点.D-14a,34a,12a,E0,34a,12a.又由(1)知,BC平面PAC,DEBC,DE平面PAC,垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角.AD=-14a,34a,12a,AE=0,
10、34a,12a,cosDAE=ADAE|AD|AE|=144.AD与平面PAC所成的角的大小为arccos144.20.经济学上规定,对于某经济函数y=f(x),称xf(x)f(x)为该经济函数的弹性,它表示经济变量x变动1%时,经济变量y相应变动的百分比,它是进行经济分析的一个重要概念.现有一个企业生产一种商品,年产x件的总成本为c+dx,年需求量是价格P的函数a-bP(a,b,c,d0).试求:(1)利润最大时的产量及最大利润;(2)需求对价格的弹性;(3)需求对价格的弹性的绝对值为1时的价格.答案:(1)依题意有,年利润L=Px-(c+dx)=a-xbx-(c+dx).令L=-2bx+a
11、b-d=0,得x=12(a-bd).当0x0,当x12(a-bd)时L0,因此x=12(a-bd)时,L有最大值(a-bd)24b-c.(2)需求函数Q=a-bP,从而Q=-b,需求对价格的弹性为PQQ=-bPa-bP.(3)令-bPa-bP=1,得P=a2b.点拨:本题的(2)(3)问表明:在价格为a2b的基础上,价格每增加(或减少)1%,需求量会相应地减少(或增加)1%.明确了这一点,可以帮助经营决策人员制订正确的价格策略,从而赢得市场先机.21.证明集合A=(0,7)与集合B=(0,19)是对等的.答案:对于集合A中的任一元素x,按照对应法则f:xy=197x,在集合B中都有唯一的元素y与x对应,反之,对于集合B中的任一元素y,按照对应法则f:xy=197x,在集合A中都有唯一的元素x与y对应.这样对应法则:y=197x,xA,yB就建立了集合A与B之间的一一对应关系,从而集合A与B是对等的.22.下图是一个公园的平面图,要使游客走遍公园每条路而不重复,问出入口应设在哪里?答案:本题实际上是问这个图以哪些点为起点与终点的问题,观察图可以发现:图中11个点中仅有两个“奇数点”A与J,因此出入口应设在A点或J点.游客走遍公园每条路而不重复的路线是:ADJEICABCFEGCKFHJ或JDACIEJHFEGCKFCBA.