1、3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时抛物线的简单几何性质学 习 任 务核 心 素 养1.掌握抛物线的几何性质(重点)2掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3能利用方程及数形结合思想解决焦点弦等问题(难点)1.通过抛物线几何性质的应用，培养数学运算素养2通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦等问题的学习，提升逻辑推理、直观想象及数学运算素养.已知抛物线C的方程为y22x，根据这个方程完成下列任务：(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面直角坐标系中的位置特征；(2)指出抛物线C是否具有对称性；(3)指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标知识点1抛物线
2、的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e11.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线关于顶点对称()(2)抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心()(3)抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同()答案(1)(2)(3)知识点2直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交设直线ykxm与抛物线y22px(p0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将ykxm代入y22px，消去y并化简，得
3、k2x22(mkp)xm20.k0时，直线与抛物线只有一个交点；k0时，0直线与抛物线相交有两个公共点0直线与抛物线相切只有一个公共点0直线与抛物线相离没有公共点直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？提示可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点2.若直线ykx2与y2x只有一个公共点，则实数k的值为_0或由消去x得ky2y20，若k0，直线与抛物线只有一个交点，则y2，符合题意；若k0，则18k0，所以k.综上，k0或.知识点3直线与抛物线相交的弦长问题(1)一般弦长设斜率为k的直线l与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，
4、y2)两点，则|AB|x1x2|或|AB|y1y2|(k0)(2)焦点弦长已知过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，则称AB为抛物线的焦点弦设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AF|x1，|BF|x2，故|AB|x1x2p.3.过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x210，则弦AB的长度为()A16B14C12D10C抛物线y24x的准线方程为x1，则|AB|AF|BF|(x11)(x21)x1x2212，故选C 类型1抛物线性质的应用【例1】(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2y2
5、4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为_(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|4，求抛物线的方程(1)y23x或y23x根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为，交点横坐标为1，则抛物线过点(1，)或(1，)，设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，则2p3，从而抛物线方程为y23x或y23x.(2)解如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30，在RtACE中，|AF|4，|AC|43a，2|AE|AC|，43a8，从而
6、得a，BDFG，p2.因此抛物线的方程是y24x.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.其中应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标.在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准方程形式，然后利用条件求解.要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化.跟进训练1(1)边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，ABx轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()Ay2xBy2xCy2xDy2x(2)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的
7、渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2yBx2yCx28yDx216y(1)C(2)D(1)设抛物线方程为y2ax(a0)又A(取点A在x轴上方)，则有a，解得a，所以抛物线方程为y2x.故选C(2)由题意知，双曲线C1的离心率为e2ba.因此双曲线C1的渐近线方程yxx，取其中一条渐近线xy0.抛物线C2的焦点坐标为，该点到双曲线的渐近线的距离d2.解得p8，因此抛物线C2的方程为x216y，故选D 类型2直线与抛物线的位置关系【例2】已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点解联立消去y，得k2x2(2k4)x10.(
8、*)当k0时，(*)式只有一个解x，y1，直线l与C只有一个公共点，此时直线l平行于x轴当k0时，(*)式是一个一元二次方程，(2k4)24k216(1k)当0，即k1，且k0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；当0，即k1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；当1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离综上所述，当k1或0时，l与C有一个公共点；当k1时，l与C没有公共点直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个
9、数(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：直线与抛物线的对称轴重合或平行；直线与抛物线相切跟进训练2过定点P(0,1)作与抛物线y22x只有一个公共点的直线有几条？解(1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x0符合题意(2)当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为ykx1.由得k2x22(k1)x10.当k0时，方程为2x10，解得x只有一解，直线与抛物线只有一个公共点，此时，直线方程为y1.当k0时，由4(k1)24k20，得k，此时直线与抛物线只有一个公共点，直线方程为yx1.综上知，过定点P(0,1)与抛物线y22x只有一个公共点的直线有三条 类型3抛物线的焦点弦问题【例3】(对接教材
10、P135例题)已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在直线的方程直线过抛物线的焦点，则弦长与交点的横坐标(或纵坐标)之和有关，由此思考解决问题的方法.解由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx轴，则|AB|2p0则y0，由2x0()2得x01.从而直线AB的方程为x1，又抛物线y22x的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1，故选A2已知点A(2,3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1CDC因为抛物线C：y22px的准线为x，且点A(2,3)在准线上，所以2
11、，解得p4，所以y28x，所以焦点F的坐标为(2,0)，故直线AF的斜率k.3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是()A(2，2)B(1，2)C(1,2)D(2,2)B由题意知F(1,0)，设A，则，.由4得y02，点A的坐标为(1，2)，故选B4已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是_设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2y，可得p.|AB|y1y2p4，y1y24，故AB的中点的纵坐标是.5直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k_.0或1当k0时，直线与抛物线有唯一交点，当k0时，联
12、立方程消去y，得k2x24(k2)x40，由题意16(k2)216k20，k1.综上，k0或1.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)怎样确定抛物线上的点的横坐标与纵坐标的范围？提示方法一：利用方程确定如x22py(p0)，由x20知y0，xR.方法二：先根据方程画出抛物线，再根据图形确定(2)直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？提示当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线只有一个交点，但直线与抛物线相交，不相切(3)直线ykxb与抛物线x22py相交，且经过抛物线的焦点F，若交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|与点A，B的坐标有什么关系？提示|AB|p(y1y2)