1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.2.2双曲线的简单几何性质学 习 任 务核 心 素 养1.掌握双曲线的简单几何性质(重点)2理解双曲线的渐近线及离心率的意义(难点)1.通过学习双曲线的几何性质，培养直观想象、数学运算素养2借助双曲线几何性质的应用及直线与双曲线位置关系的应用，提升直观想象及数学运算、逻辑推理等素养.已知双曲线C的方程为x21，根据这个方程完成下列任务：(1)观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出双曲线C在平面直角坐标系中的位置特征；(2)指出双曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称；(3)指出双曲线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；(4)如果(x，y)满足双曲线C的
2、方程，说出当|x|增大时，|y|将怎样变化，并指出这反映了双曲线的形状具有什么特点知识点1双曲线的几何性质(1)双曲线的几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xaya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)轴长实轴长：2a虚轴长：2b渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中ca，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)(2)双曲线的中心和等轴双曲线双曲线的中心双曲线的对称中心叫做双曲线的中心等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为.1.双曲线的
3、离心率对双曲线的形状有何影响？提示以双曲线1(a0，b0)为例e，故当的值越大，渐近线yx的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)双曲线1与1(a0，b0)的形状相同()(2)双曲线1与1(a0，b0)的渐近线相同()(3)等轴双曲线的渐近线方程与双曲线方程有关()(4)离心率是的双曲线为等轴双曲线()提示(1)双曲线1与1(a0，b0)的位置不一样，但是形状相同(2)双曲线1的渐近线方程为yx；双曲线1的渐近线方程为yx.(3)等轴双曲线的渐近线方程都是yx.(4)等轴双曲线的离
4、心率是.2.双曲线1的顶点坐标是()A(5,0)B(5,0)或(0，3)C(4,0)D(4,0)或(0，3)A双曲线顶点在x轴上，且a5，故选A知识点2直线与双曲线的位置关系将ykxm与1联立消去y得一元方程(b2a2k2)x22a2kmxa2(m2b2)0.的取值位置关系交点个数k时(此时m0)相交只有一个交点k且0有两个交点k且0相切只有一个交点k且0相离没有公共点2.直线和双曲线只有一个公共点，那么直线和双曲线相切吗？提示不一定当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点，但直线与双曲线相交3.过点(0，b)的直线和双曲线1(a0，b0)只有一个公共点，这样的直线有几条？提示
5、4条，其中两条切线，两条与渐近线平行的直线 类型1根据双曲线方程研究其几何性质【例1】(对接教材P124例题)(1)双曲线1的左顶点到其渐近线的距离为()A2BCD3(2)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx(3)已知双曲线1(a0)的一条渐近线为yx，则实数a_.(1)C(2)C(3)1(1)由双曲线方程知a29，b216，则a3，b4，c5，从而双曲线左顶点A1(3,0)，一条渐近线方程为yx，即4x3y0，则左顶点到渐近线的距离d，故选C(2)由e21得1，即，又双曲线的焦点在x轴上，则双曲线渐近线方程为yx，故选C(3)由双曲线
6、方程知，双曲线的焦点在x轴，则2，即a21，a1，又a0，a1.由双曲线方程研究几何性质的注意点(1)把双曲线方程化为标准形式，确定a，b的值是关键(2)由方程可以求焦距、实(虚)轴长、离心率、渐近线方程(3)渐近线是双曲线的重要性质：先画渐近线可使图形更准确，焦点到渐近线距离为虚半轴长(4)注意双曲线中一些特殊线段(值)的应用如过双曲线1的左焦点F1(c,0)垂直于x轴的弦AB，则|AB|.(5)双曲线中c2a2b2，易与椭圆中a2b2c2混淆跟进训练1(1)若双曲线y21(a0)的离心率为2，则其实轴长为()A B2 C D(2)若双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A
7、B4 C4 D(1)D(2)A(1)由题意得e21，即14，解得a，则实轴长为，故选D(2)将双曲线方程化为标准形式为y21，则有a21，b2.由题意知，2，m. 类型2由双曲线的几何性质求其标准方程【例2】求满足下列条件的双曲线的方程：(1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(3,2)；(2)渐近线方程为yx，且经过点A(2，3)解(1)设所求双曲线方程为1(a0，b0)e，e21，.由题意得解得所求双曲线的标准方程为1.(2)法一：双曲线的渐近线方程为yx.当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则.点A(2，3)在双曲线上，1.联立，无解当焦点在y轴上时，
8、设所求方程为1(a0，b0)，则.点A(2，3)在双曲线上，1.联立，解得a28，b232.所求双曲线的标准方程为1.法二：由双曲线的渐近线方程为yx，可设双曲线方程为y2(0)，A(2，3)在双曲线上，(3)2，即8.所求双曲线的标准方程为1.1由几何性质求双曲线标准方程的解题思路由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线的方程为mx2ny21(mn0)2常见双曲线方程的设法(1)渐近线为yx的双曲线方程可设为(0，m0，n0)；如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x
9、2B2y2m(m0，A0，B0)(2)与双曲线1或1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为或(0)(3)与双曲线1(a0，b0)离心率相等的双曲线系方程可设为(0)或(0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置跟进训练2求适合下列条件的双曲线的方程：(1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为；(2)与双曲线1有共同的渐近线，且过点(3，2)解(1)设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)，则2b8，e，从而b4，ca，代入c2a2b2，得a29，故双曲线的标准方程为1.(2)法一：当焦点在x轴上时，设双曲线的方程为1.由题意，得解得a2，b24，所以双曲线的方程为1.当焦点在y轴上时，设双曲线的方
10、程为1.由题意，得解得a24，b2(舍去)综上所得，双曲线的方程为1.法二：设所求双曲线方程为(0)，将点(3,2)代入得，所以双曲线方程为，即1. 类型3求双曲线的离心率【例3】(1)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点若|PQ|OF|，则C的离心率为()AB C2D(2)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为3，则C的离心率为_(1)A(2)2(1)设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c,0)由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直
11、径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得a2，故，即e，故选A(2)如图，A(a,0)由BFx轴且AB的斜率为3，知点B在第一象限，且B，则kAB3，则b23ac3a2.又c2a2b2，即b2c2a2，c23ac2a20，e23e20.解得e2或e1(舍去)故e2.结合椭圆离心率的求法，试总结双曲线离心率的求解方法提示(1)若可求得a，c，则直接利用e得解(2)若已知a，b，可直接利用e得解(3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2qacra20(p，q，r为常数，且p0)，则转化为关于e的方程pe2qer0求解跟进
12、训练3(1)已知双曲线的一条渐近线方程为y2x，则其离心率为_(2)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1(a0，b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率为_(1)或(2)2(1)当焦点在x轴上时，2，这时离心率e.当焦点在y轴上时，2，即，这时离心率e.(2)因为双曲线的右焦点F(c,0)到渐近线yx，即bxay0的距离为b，所以bc，因此a2c2b2c2c2c2，ac，所以离心率e2. 类型4直线与双曲线的位置关系【例4】已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，O是坐
13、标原点，且AOB的面积为，求实数k的值类比直线和椭圆的位置关系的判断方法，你认为如何判断直线和双曲线的位置关系.解(1)联立方程消去y并整理得(1k2)x22kx20.直线与双曲线有两个不同的交点，则解得k，且k1.若l与C有两个不同交点，实数k的取值范围为(，1)(1,1)(1，)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，对于(1)中的方程(1k2)x22kx20，由根与系数的关系，得x1x2，x1x2，|AB|x1x2|.又点O(0,0)到直线ykx1的距离d，SAOB|AB|d，即2k43k20，解得k0或k.实数k的值为或0.直线与双曲线位置关系的判断方法(1)方程思想的应用把直线与
14、双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2bxc0的形式，在a0的情况下考察方程的判别式0时，直线与双曲线有两个不同的公共点0时，直线与双曲线只有一个公共点0，符合题意，所求直线MN的方程为yx，即3x4y50.法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，M，N均在双曲线上，两式相减，得yy，.点A平分弦MN，x1x26，y1y22.kMN.经验证，该直线MN存在所求直线MN的方程为y1(x3)，即3x4y50.1(多选题)已知双曲线方程为x28y232，则()A实轴长为8B虚轴长为4C焦距为6D离心率为ABD双曲线方程x28y232化为标准方程为1，可得a4，b2，c6，所以双曲线的实轴
15、长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为.2若双曲线y21的焦距为8，则实数m的值是()AB C15D17C由题意知：2c8，c4，a2m，b21，因为c2a2b2，所以16m1，解得m15，故选C3中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x4y120上的等轴双曲线的方程是()Ax2y28Bx2y24Cy2x28Dy2x24A令y0，得x4，等轴双曲线的一个焦点为(4,0)，c4，a2b2c2168，故选A4已知圆C：x2y210y210与双曲线1(a0，b0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是_由双曲线1(a0，b0)，可得其一条渐近线的方程为yx，即bxay0，又由圆C：x2y210y
16、210，可得圆心为C(0,5)，半径r2，则圆心到直线的距离为d，则2，可得e.5已知直线l：xym0与双曲线x21交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2y25上，则实数m的值是_1由消去y得x22mxm220.则4m24m288m280.设A(x1，y 1)，B(x2，y2)，则x1x22m，y1y2x1x22m4m，所以线段AB的中点坐标为(m,2m)又点(m,2m)在x2y25上，所以m2(2m)25，得m1.回顾本节知识，自我完成以下问题：(1)如何根据双曲线的方程研究其几何性质？提示(1)把双曲线方程化为标准形式；(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；(3)由c2a2b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质(2)离心率e和有怎样的关系？提示e21.(3)如何用待定系数法设出与双曲线1有相同渐近线的双曲线方程？提示可设为(0)(4)直线与双曲线相交，有两个交点时，其弦长公式与直线与椭圆相交时的弦长公式是否相同，你能写出来吗？提示完全相同直线ykxm与双曲线1相交，其交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|或|AB|.- 15 - 版权所有高考资源网