1、2020-2021学年江苏省南京一中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（每小题5分）.1已知i为虚数单位，复数z满足z（2i）i2021，则z（）ABCD2质点运动规律st2+3，则在时间3，3+t，相应的平均速度等于（）A6+tBC3+tD9+t3如图，空间四边形OABC中，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN2NB，则（）ABCD42月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的
2、种数为（）A12B24C36D485杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家在他著的详解九章算法一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年若用aij表示三角形数阵的第i行第j个数，则a1003（）A5050B4851C4950D50006九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问
3、五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）A钱B钱C钱D钱7函数的部分图象大致为（）ABCD8定义方程f（x）f（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“保值点”如果函数g（x）x与函数h（x）ln（x+1）的“保值点”分别为，那么和的大小关系是（）ABCD无法确定二、多项选择题：本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分.9若函数yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf（x）具有T性质，下列函数中具有T性质的是（）AycosxBylnxCyexDyx210在的展开式
4、中，下列说法正确的有（）A所有项的二项式系数和为128B所有项的系数和为0C系数最大的项为第4项和第5项D存在常数项11为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周则（）A某学生从中选3门，共有30种选法B课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法12已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的有（）A若POPF2，则双
5、曲线的离心率e2B若POF2是面积为的正三角形，则b22C若A2为双曲线的右顶点，PF2x轴，则F2A2F2PD若射线F2P与双曲线的一条渐近线交于点Q，则|QF1QF2|2a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 14函数在（a，a+1）上单调递增，则实数a的取值范围为 15已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z+2；乙：z2i；丙：z4；丁：在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z 16三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n种方法，n
6、 ；在的展开式中，x2项的系数为 .（用数字作答）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）x33x29x+1（xR），g（x）2a1（1）求函数f（x）的单调区间与极值（2）若f（x）g（x）对x2，4恒成立，求实数a的取值范围18在S872，S56a2，S6S4+a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答问题：已知等差数列an的前n项和为Sn，a36，_，若数列bn满足，求数列an+bn的前n项和Tn19为了了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据
7、，绘制图表的一部分如表：时间人数学生类别0，5）5，10）10，15）15，20）20，25）25，30）性别男69101094女51213868学段初中x81111107高中（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在10，20）的概率；（2）设参加公益劳动时间在25，30）的学生中抽取3人进行面谈记X为抽到高中的人数，求随机变量X的概率分布20如图，在三棱锥ABCD中，ABD与BCD都为等边三角形，平面ABD平面BCD，M，O分别为AB，BD的中点，AODMG，N在棱CD上且满足2CNND，连接MC，GN（1）证明：GN平面ABC；（2）求直线AC和平面GND所成角的正弦值21
8、已知椭圆的离心率为，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作倾斜角为的两条直线，且这两条直线之间的距离为（1）求椭圆E的标准方程；（2）过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，过点A作与x轴垂直的直线与椭圆交于点Q，求证：直线QB过定点22已知函数f（x）lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a为整数，函数f（x）恰好有两个零点，求a的值参考答案一、单项选择题（共8小题）.1已知i为虚数单位，复数z满足z（2i）i2021，则z（）ABCD解：由z（2i）i2021（i4）505ii，得z，故选：A2质点运动规律st2+3，则在时间3，3+t，
9、相应的平均速度等于（）A6+tBC3+tD9+t解：根据平均变化率的公式，则在时间（3，3+t）平均速度为6+t，故选：A3如图，空间四边形OABC中，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN2NB，则（）ABCD解：M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN2NB，且，故选：D42月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（）A12B24C36D48解：根据题意，分2种情况讨论，
10、若小张、小赵只有一人选，则有选法C21C21A3324；若小张、小赵都入选，则有选法A22A3212，共有选法12+2436种，故选：C5杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家在他著的详解九章算法一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年若用aij表示三角形数阵的第i行第j个数，则a1003（）A5050B4851C4950D5000解：依据二项展开式可知，第i行第j个数应为，故第100行第3个数为故选：B6九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五
11、人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）A钱B钱C钱D钱解：由题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为a1，a2，a3，a4，a5则a1，a2，a3，a4，a5成等差数列，设公差为da1+a2+a3+a4+a55，a1+a2a3+a4+a5整理上面两个算式，得：，解得，a5a1+4d+4（）故选：D7函数的部分图象大致为（）ABCD解：根据题意，函数，则f（0）0，即函数图像与y轴交点
12、在x轴下方，排除BC，当x3时，0，排除D，故选：A8定义方程f（x）f（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“保值点”如果函数g（x）x与函数h（x）ln（x+1）的“保值点”分别为，那么和的大小关系是（）ABCD无法确定解：由题意可得，g（x）1，f（x），所以1，ln（+1），假设1，则+12，则，所以ln（+1）ln，所以，则1，这与1矛盾故假设不成立，所以01，故故选：B二、多项选择题：本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分.9若函数yf（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yf（x）
13、具有T性质，下列函数中具有T性质的是（）AycosxBylnxCyexDyx2解：由题意函数yf（x）具有T性质，则存在x1，x2，使得f（x1）f（x2）1对于选项A，ycosx的导数为ysinx，存在x1，x2，使得f（x1）f（x2）1；对于选项B，ylnx的导数为y0，不存在x1，x2，使得f（x1）f（x2）1；对于选项C，yex的导数yex0，不存在x1，x2，使得f（x1）f（x2）1；对于选项D，yx2的导数为y2x，存在x11，x2，使得f（x1）f（x2）1综上，具有性质T的函数为AD故选：AD10在的展开式中，下列说法正确的有（）A所有项的二项式系数和为128B所有项的系
14、数和为0C系数最大的项为第4项和第5项D存在常数项解：选项A：所有项的二项式系数和为27128，故A正确；选项B：令x1，则（x70，所以所有项的系数的和为0，故B正确；选项C：二项式的展开式的通项为T，第四项为T，第五项为T，显然第五项的系数最大，故C错误；选项D：令72r0，解得r，故不存在常数项，故D错误；故选：AB11为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周则（）A某学生从中选3门，共有30种选法B课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144
15、种排法D课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法解：根据题意，依次分析选项：对于A，某学生从中选3门，6门中选3门共有种，故A错误；对于B，课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在其中任选2个，安排“射”“御”，共有种排法，故B错误；对于C，课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，由捆绑法分析：将“礼”“书”“数”看成一个整体，与其他3门课程全排列，共有种排法，故C正确；对于D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论，若课程“乐”排在最后一周，有A55种排法，若课程“乐”不排在最后一周，有C41C41A44种排法，
16、则共有种排法，故D正确故选：CD12已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线（a0，b0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的有（）A若POPF2，则双曲线的离心率e2B若POF2是面积为的正三角形，则b22C若A2为双曲线的右顶点，PF2x轴，则F2A2F2PD若射线F2P与双曲线的一条渐近线交于点Q，则|QF1QF2|2a解：对于A，因为POPF2，所以OF2的中垂线x与双曲线有交点，即有a，解得e2，故A正确；对于B，因为POF2是面积为的正三角形，所以PF2OF2POOF1c2，在POF1180POF2120，PF12，所以a1，故b2c2a24（1）22，故B正确；对于
17、C，因为A2为双曲线的右顶点，则F2A2ca，又PF2x轴，则F2P，所以F2A2F2P，故C错误；对于D，由|QF1QF2|QF1QPPF2|PF1PF2|2a，所以|QF1QF2|2a，故D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是9解：抛物线的准线为x1，点M到焦点的距离为10，点M到准线x1的距离为10，点M到y轴的距离为9故答案为：914函数在（a，a+1）上单调递增，则实数a的取值范围为0，e1解：由f（x），求导，f（x），当0xe时，f（x）0，当xe时，f（x）0，所以f（x）在（0，e）
18、上单调递增，在（e，+）单调递减，由题意可知，（a，a+1）（0，e），即a0，且a+1e，解得a0，e1，故答案为：0，e115已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z+2；乙：z2i；丙：z4；丁：在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z1+i解：由题意可设za+bi （a0，b0），abi，2a，2bi，a2+b2，丙丁不可能同时正确，乙丁不可能同时正确，且甲、乙、丙可以知二推一，甲丁正确，此时a1，b1，z1+i，故答案为：1+i16三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n种方法，n8；在的展开式中，x2项的
19、系数为84.（用数字作答）解：三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n种方法，则n2228在（1+2x2 ）（x8x6+x4x2+x2+x4x6+x8）展开式中，故x2项的系数为+256+14084，故答案为：8，84四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17已知函数f（x）x33x29x+1（xR），g（x）2a1（1）求函数f（x）的单调区间与极值（2）若f（x）g（x）对x2，4恒成立，求实数a的取值范围解：（1）f（x）3x26x9，令f（x）0，解得：x1或x3，令f（x）0，解得：1x3，故函数f（x）的单调增区间为（，1），（3，+），单调减
20、区间为1，3；故f（x）的极大值为f（1）6，极小值f（3）26；（2）由（1）知f（x）在2，1上单调递增，在1，3上单调递减，在3，4上单调递增，又f（2）1，f（3）26，f（3）f（2），f（x）min26，f（x）2a+10对x2，4恒成立，f（x）min2a1，即2a126，a18在S872，S56a2，S6S4+a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答问题：已知等差数列an的前n项和为Sn，a36，_，若数列bn满足，求数列an+bn的前n项和Tn【解答】若选，设公差为d，由S872，a36，得，解得，an2+2（n1）2n，又，则an+bn2n+4n，；若选，设公
21、差为d，S56a2，5a36a2，又a36，a25，则d1，则an5+1（n2）n+3，则；若选，S6S4+a5，S6S4a6+a5a5，即a60又a36，d，则an2（n6）2n+12，则Tnan+bn2（1+2+n）+12n+212（41+42+4n）19为了了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表：时间人数学生类别0，5）5，10）10，15）15，20）20，25）25，30）性别男69101094女51213868学段初中x81111107高中（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公
22、益劳动时间在10，20）的概率；（2）设参加公益劳动时间在25，30）的学生中抽取3人进行面谈记X为抽到高中的人数，求随机变量X的概率分布解：（1）100名学生中共有男生48名，其中共有29人参加公益劳动时间在10，20），设男生中随机抽取1人，抽到的男生参加公益劳动时间在10，20）的事件为A，则P（A）；（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），随机变量X的分布列为：X0123P20如图，在三棱锥ABCD中，ABD与BCD都为等边三角形，平面ABD平面BCD，M，O分别为AB，BD的中点，AODMG，N在棱CD上且满足2CNND，连接MC，GN
23、（1）证明：GN平面ABC；（2）求直线AC和平面GND所成角的正弦值【解答】（1）证明：在ADB中，因为M，O分别为AB，BD的中点，AODMG，所以G为ADB重心，所以，又2，所以GNMCGN平面ABC，MC平面ABC，GN平面ABC（2）解：因为平面ABD平面BCD，AOBD，平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，所以AO平面BCD，连结OC，则OCOD，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，不妨设AB2，则C（，0，0），D（0，1，0），A（0，0，），G（0，0，），所以，设平面GND的一个法向量为（x，y，z），则，取x1，则y，z3，所以平面GND的一个法向量
24、为（1，3），所以cos，所以直线AC和平面GND所成角的正弦值为21已知椭圆的离心率为，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作倾斜角为的两条直线，且这两条直线之间的距离为（1）求椭圆E的标准方程；（2）过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，过点A作与x轴垂直的直线与椭圆交于点Q，求证：直线QB过定点解：（1）因为过椭圆E的左右焦点的倾斜角为的两条直线的距离为，所以sin，所以c1，又因为椭圆的离心率为e，解得a2，b，所以椭圆的方程为+1；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为xmy+1，则Q（x1，y1），因为直线l与坐标轴不垂直，所以直线QB的方程为y+
25、y1（xx1），所以yxx，由，可得（4+3m2）y2+6my90，所以y1+y2，y1y2，所以y（x4），所以直线QB过定点（4，0）22已知函数f（x）lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a为整数，函数f（x）恰好有两个零点，求a的值【解答】解（1）由题意x0，f（x）若a0，对x0，f（x）0恒成立，f（x）在（0，+）单调递增；若a0，则0，当0x时，f（x）0，x时，f（x）0，所以f（x）在（0，）单调递增，在（，+）单调递减，（2）由（1）知，若函数f（x）恰好有两个零点，则a0，且f（x）在x处有极大值，也是最大值；f（x）maxf（）0，f（）ln（）+a（）2+（a+2）（）+2ln（）+（）+1，又a为整数且a0，当a1时，且f（x）maxf（）0+220，当a2时，且f（x）maxf（）0，当a3时，且f（x）maxf（）ln+10，当a4时，且f（x）maxf（）0，故a的值为：1，2，3