1、2015-2016学年云南省德宏州芒市一中高二（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，请将答案写在答题卡的相应位置）1设全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，5，集合B=3，4，则（UA）B=（）A3B4C3，4D2，3，42已知i是虚数单位，则=（）AiB +iC +iDi3在区间，上随机取一个数x，则事件：“cosx0”的概率为（）ABCD4已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）ABCD15已知直线y=kx+3与圆x2+y26x4y+5=0相交于M，
2、N两点，若|MN|=2，则k的值是（）A2或B2或C2或D2或6在一次学业水平测试中，小明成绩在6080分的概率为0.5，成绩在60分以下的概率为0.3，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为（）A0.2B0.3C0.5D0.87在坐标平面上，不等式组，所表示的平面区域的面积为（）A3B6C6D38已知命题p：“x0，1，aex”，命题q：“xR，x2+4x+a=0”，若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是（）Ae，4B1，4C（4，+）D（，19执行如图所示的程序框图，输出那么判断框内应填（）Ak2015Bk2016Ck2015Dk201610已知抛物线y2=2px
3、（p0）的准线与圆（x3）2+y2=16相切，则p的值为（）AB1C2D411定义在R上的偶函数满足f（+x）=f（x），且f（1）=1，f（0）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+fA2B1C0D212在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A4BC6D二、填空题（本大题共4个题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中横线上）13函数y=sin2xcos2x的图象可由函数y=2sin2x的图象至少向右平移个单位长度得到14若，且f（1）=f（2），则a=15若f（cosx）=cos2x，则f（）的值为16已知f
4、（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ex1x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an的各项为正数，前n和为Sn，且（1）求证：数列an是等差数列；（2）设，求Tn18从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得xi=80， yi=20， xiyi=184， x=720（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄附
5、：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=b，其中，为样本平均值19如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MNPB（）求证：平面PBC平面PAB；（）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN平面ABCD；（）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值20已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2（）求椭圆C的方程；（）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，
6、说明理由21已知函数f（x）=exx2+a的图象在点x=0处的切线为y=bx（e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的解析式；（2）当xR时，求证：f（x）x2+x；（3）若f（x）kx对任意的x（0，+）恒成立，求实数k的取值范围选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD内接于O，过点A作O的切线EP交CB的延长于P，已知EAD=PCA，证明：（1）AD=AB；（2）DA2=DCBP选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中曲线C的极坐标方程为sin2cos=0，点以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系斜率为1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点（）求出曲线C的直角坐
7、标方程和直线l的参数方程；（）求点M到A，B两点的距离之积选修4-5：不等式证明选讲24已知函数f（x）=|x2|x+1|（1）求证：3f（x）3；（2）解不等式f（x）x22x2015-2016学年云南省德宏州芒市一中高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题目要求，请将答案写在答题卡的相应位置）1设全集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，5，集合B=3，4，则（UA）B=（）A3B4C3，4D2，3，4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】先解出A的补集，再求出结果即可【解答】解：因为全
8、集U=1，2，3，4，5，集合A=1，3，5，所以CUA=2，4，又因为集合B=3，4，所以（UA）B=4，故选B2已知i是虚数单位，则=（）AiB +iC +iDi【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数代数形式的除法运算化简求值【解答】解： =故选：B3在区间，上随机取一个数x，则事件：“cosx0”的概率为（）ABCD【考点】几何概型【分析】解：求出cosx0的等价条件，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：在，由cosx0得x，则由几何概型的概率公式可得：“cosx0”的概率P=，故选：D4已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面
9、积为（）ABCD1【考点】简单空间图形的三视图【分析】由题意可知三棱锥是正三棱锥，底面正三角形的高与正视图的投影线平行，如此其正视图中底边是正三棱锥的底面边长，由俯视图知底面是边长是的三角形，其高是棱锥的高，由此作出其侧视图，求侧视图的面积【解答】解：由题意，此物体的侧视图如图根据三视图间的关系可得侧视图中，底边是正三角形的高，底面三角形是边长为1的三角形，所以AB=，侧视图的高是棱锥的高：，SVAB=ABh=故选：C5已知直线y=kx+3与圆x2+y26x4y+5=0相交于M，N两点，若|MN|=2，则k的值是（）A2或B2或C2或D2或【考点】直线与圆的位置关系【分析】把圆的方程化为标准形
10、式，求出弦心距，再利用弦长公式求得k的值【解答】解：圆x2+y26x4y+5=0 即 （x3）2+（y2）2=8，当|MN|=2时，圆心（3，2）到直线y=kx+3的距离为d=d=，=，求得k=2或，故选：C6在一次学业水平测试中，小明成绩在6080分的概率为0.5，成绩在60分以下的概率为0.3，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则小明成绩为优秀的概率为（）A0.2B0.3C0.5D0.8【考点】互斥事件的概率加法公式【分析】根据互斥事件的定义求出结论即可【解答】解：小明成绩在6080分的概率为0.5，成绩在60分以下的概率为0.3，若规定考试成绩在80分以上为优秀，则P（优秀）=10.50
11、.3=0.2，故选：A7在坐标平面上，不等式组，所表示的平面区域的面积为（）A3B6C6D3【考点】二元一次不等式（组）与平面区域【分析】画出约束条件表示的可行域，要求所表示的平面区域的面积就是图中三角形所在区域面积，求解即可【解答】解：不等式组所表示的平面区域就是图中阴影部分，它所在平面区域的面积，等于图中阴影部分面积，其面积是用边长为4大正方形的面积减去三个三角形的面积即：S=16814=3故选D8已知命题p：“x0，1，aex”，命题q：“xR，x2+4x+a=0”，若命题“pq”是真命题，则实数a的取值范围是（）Ae，4B1，4C（4，+）D（，1【考点】命题的真假判断与应用【分析】命
12、题“pq”是真命题，即命题p是真命题，且命题q是真命题命题q是真命题，即方程有解；命题p是真命题，分离参数，求ex的最大值即可【解答】解：命题“pq”是真命题，即命题p是真命题，且命题q是真命题，命题p：“x0，1，aex”为真，ae1=e；由命题q：“xR，x2+4x+a=0”，即方程有解，0，164a0所以a4则实数a的取值范围是e，4故选A9执行如图所示的程序框图，输出那么判断框内应填（）Ak2015Bk2016Ck2015Dk2016【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，根据程序的功能进行求解即可【解答】解：本程序的功能是计算S=+=1+=1，由1=，得=，即k+1=2016，即k
13、=2015，即k=2016不成立，k=2015成立，故断框内可填入的条件k2015，故选：A10已知抛物线y2=2px（p0）的准线与圆（x3）2+y2=16相切，则p的值为（）AB1C2D4【考点】抛物线的简单性质【分析】根据抛物线的标准方程可知准线方程为，根据抛物线的准线与圆相切可知求得p【解答】解：抛物线y2=2px（p0）的准线方程为，因为抛物线y2=2px（p0）的准线与圆（x3）2+y2=16相切，所以；故选C11定义在R上的偶函数满足f（+x）=f（x），且f（1）=1，f（0）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+fA2B1C0D2【考点】抽象函数及其应用【分析】由f（x）满足
14、f（+x）=f（x），即有f（x+3）=f（x），由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（x），即有f（x+3）=f（x），则f（x）是以3为周期的函数，求出一个周期内的和，即可得到所求的值【解答】解：由f（x）满足f（+x）=f（x），即有f（x+3）=f（x），由f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x）=f（x），即有f（x+3）=f（x），则f（x）是以3为周期的函数，由f（1）=1，f（0）=2，即f（2）=1，f（3）=2，由f（4）=f（1）=1，即有f（1）=1则f（1）+f（2）+f（3）+f+f（2）+f（3）=0671=0故选：C12在封闭的直三棱柱ABCA1B1C
15、1内有一个体积为V的球，若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A4BC6D【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】根据已知可得直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案【解答】解：ABBC，AB=6，BC=8，AC=10故三角形ABC的内切圆半径r=2，又由AA1=3，故直三棱柱ABCA1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B二、填空题（本大题共4个题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中横线上）13函数y=sin2xcos2x的图象可由函数y=2sin2x的图象至少向右平移个单位长度得到【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换
16、【分析】利用辅助角公式、函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】解：函数y=sin2xcos2x=2（sin2xcos2x）=2sin（2x）=2sin2（x），故把函数y=2sin2x的图象至少向右平移个单位，可得函数y=sin2xcos2x的图象，故答案为：14若，且f（1）=f（2），则a=2【考点】函数的值【分析】根据分段函数直接由条件且f（1）=f（2），解方程即可【解答】解：由分段函数可知f（1）=2，f（2）=4+a，f（1）=f（2），2=4+a，即a=2故答案为：215若f（cosx）=cos2x，则f（）的值为【考点】二倍角的余弦【分析】利用二倍角的余弦公式
17、，求得f（x）的解析式，可得f（）的值【解答】解：f（cosx）=cos2x=2cos2x1，f（x）=2x21（1x1），则f（）=21=，故答案为：16已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ex1x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由已知函数的奇偶性结合x0时的解析式求出x0时的解析式，求出导函数，得到f（1），然后代入直线方程的点斜式得答案【解答】解：已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ex1x，设x0，则x0，f（x）=f（x）=ex1+x，则f（x）=ex1+1，f（1）=e0+1=2曲线y=f（x）在点（
18、1，2）处的切线方程是y2=2（x1）即y=2x故答案为：y=2x三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知数列an的各项为正数，前n和为Sn，且（1）求证：数列an是等差数列；（2）设，求Tn【考点】等差关系的确定；数列的求和【分析】（1）先根据a1=求出a1的值，再由2an=2（SnSn1）可得，将其代入整理可得到（an+an1）（anan11）=0，再由an+an10可得到anan1=1，从而可证明an是等差数列（2）先根据（1）中的an是等差数列求出其前n项和Sn，进而可表示出数列bn的通项公式，最后根据数列求和的裂项法进行求解即可【解答】解
19、：（1），n=1时，所以（an+an1）（anan11）=0，an+an10anan1=1，n2，所以数列an是等差数列（2）由（1），所以=18从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得xi=80， yi=20， xiyi=184， x=720（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a；（2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄附：线性回归方程y=bx+a中，b=，a=b，其中，为样本平均值【考点】线性回归方程【分析】（1）由题意可知n，进而代入可得
20、b、a值，可得方程；（2）由回归方程x的系数b的正负可判；（3）把x=7代入回归方程求其函数值即可【解答】解：（1）由题意知n=10， =8， =2，又xn2=7201082=80， xiyin=1841082=24，由此得b=0.3，a=20.38=0.4，故所求回归方程为=0.3x0.4（2）由于变量y的值随x的值增加而增加（b=0.30），故x与y之间是正相关（3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.370.4=1.7（千元）19如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC 上的点，MNPB（）求证：平面PBC平面PA
21、B；（）求证：当点M 不与点P，B 重合时，MN平面ABCD；（）当AB=3，PA=4时，求点A到直线MN距离的最小值【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定【分析】（）通过证明BC平面PAB，即可证明平面PBC平面PAB；（）在PBC中，BCPB，MNPB，所以MNBC，利用线面平行的判定定理，证明MN平面ABCD；（）AM的长就是点A到MN的距离，A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离【解答】证明：（）在正方形ABCD中，ABBC因为PA平面ABCD，BC平面ABCD，所以PABC又ABPA=A，AB，PA平面PAB，所以BC平面PAB因为BC平面
22、PBC，所以平面PBC平面PAB（）由（）知，BC平面PAB，PB平面PAB，所以BCPB在PBC中，BCPB，MNPB，所以MNBC，又BC平面ABCD，MN平面ABCD，所以MN平面ABCD解：（）因为MNBC，所以MN平面PAB，而AM平面PAB，所以MNAM，所以AM的长就是点A到MN的距离，而点M在线段PB上所以A到直线MN距离的最小值就是A到线段PB的距离，在RtPAB中，AB=3，PA=4，所以A到直线MN的最小值为20已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A、B两点，|AB|=2（）求椭圆C的方程；（）已知点P是椭圆C上的动点，且直线PA，PB与直线x=4分
23、别交于M、N两点，是否存在点P，使得以MN为直径的圆经过点（2，0）？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，说明理由【考点】椭圆的简单性质【分析】（）运用椭圆的离心率公式，以及a，b，c的关系，计算即可得到所求椭圆方程；（）设P（m，n），可得+n2=1，可得A（0，1），B（0，1），设M（4，s），N（4，t），运用三点共线的条件：斜率相等，求得M，N的坐标，再由直径所对的圆周角为直角，运用垂直的条件：斜率之积为1，计算即可求得m，检验即可判断是否存在【解答】解：（）由题意可得e=，2b=2，即b=1，又a2c2=1，解得a=2，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（）设P（m，n），可得+n
24、2=1，即有n2=1，由题意可得A（0，1），B（0，1），设M（4，s），N（4，t），由P，A，M共线可得，kPA=kMA，即为=，可得s=1+，由P，B，N共线可得，kPB=kNB，即为=，可得s=1假设存在点P，使得以MN为直径的圆经过点Q（2，0）可得QMQN，即有=1，即st=4即有1+1=4，化为4m2=16n2（4m）2=164m2（4m）2，解得m=0或8，由P，A，B不重合，以及|m|2，可得P不存在21已知函数f（x）=exx2+a的图象在点x=0处的切线为y=bx（e为自然对数的底数）（1）求函数f（x）的解析式；（2）当xR时，求证：f（x）x2+x；（3）若f（x）
25、kx对任意的x（0，+）恒成立，求实数k的取值范围【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x）的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得a=1，b=1，即可得到f（x）的解析式；（2）令（x）=f（x）（xx2）=exx1，求出导数，单调区间和极值、最值，即可得证；（3）若f（x）kx对任意的x（0，+）恒成立，即为k对x0恒成立，运用导数，求得右边函数的最小值，即可得到k的范围【解答】（1）解：函数f（x）=exx2+a的导数为f（x）=ex2x，在点x=0处的切线为y=bx，即有f（0）=b，即为b=1，即切线为y=x，又切点为（0
26、，1+a），即1+a=0，解得a=1，即有f（x）=exx21；（2）证明：令（x）=f（x）（xx2）=exx1，则（x）=ex1，（x）=0，则x=0，当x0时，（x）0，（x）递减，当x0时，（x）0，（x）递增，则（x）min=（0）=0，则有f（x）xx2；（3）解：若f（x）kx对任意的x（0，+）恒成立，即为k对x0恒成立，令g（x）=，x0，则g（x）=，=，由（2）知，当x0时，exx10恒成立，则当0x1时，g（x）0，g（x）递减，当x1时，g（x）0，g（x）递增，即有g（x）min=g（1）=e2，则kg（x）min=e2，即k的取值范围是（，e2）选修4-1：几何证
27、明选讲22如图，四边形ABCD内接于O，过点A作O的切线EP交CB的延长于P，已知EAD=PCA，证明：（1）AD=AB；（2）DA2=DCBP【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）连结BD，由弦切角定理得EAD=ABD=PCA，由此能证明AD=AB（2）由已知得ADC=ABP，PAB=ACD，从而ACDAPB，由此能证明DA2=DCBP【解答】证明：（1）连结BD，四边形ABCD内接于O，过点A作O的切线EP交CB的延长于P，EAD=PCA，EAD=ABD=PCA，AD=AB（2）四边形ABCD内接于O，过点A作O的切线EP交CB的延长于P，EAD=PCA，ADC=ABP，PAB=ACD，
28、ACDAPB，又AD=AB，DA2=DCBP选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中曲线C的极坐标方程为sin2cos=0，点以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴建立直角坐标系斜率为1的直线l过点M，且与曲线C交于A，B两点（）求出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程；（）求点M到A，B两点的距离之积【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（）利用x=cos，y=sin，即可得出曲线C的直角坐标方程；直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数0（）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程可得，可得点M到A，B两点的距离之积|MA|MB|=|t1|t2|=|t1
29、t2|【解答】解：（）x=cos，y=sin，由sin2cos=0得2sin2=cosy2=x即为曲线C的直角坐标方程；点M的直角坐标为（0，1），直线l的倾斜角为，故直线l的参数方程为（t为参数）即（t为参数）（）把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C的方程得，即，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则， 又直线l经过点M，故由t的几何意义得点M到A，B两点的距离之积|MA|MB|=|t1|t2|=|t1t2|=2选修4-5：不等式证明选讲24已知函数f（x）=|x2|x+1|（1）求证：3f（x）3；（2）解不等式f（x）x22x【考点】绝对值不等式的解法【分析】（1）通过讨论x的范围得到相对应的f（x）的表达式，从而证明出结论；（2）利用分段函数解析式，分别解不等式，即可确定不等式的解集【解答】解：（1）当x1时，f（x）=3，成立；当1x2时，f（x）=2x+1，42x2，32x+13，成立；当x2时，f（x）=3，成立；故3f（x）3；（2）当x1时，x22x3，1x2，x=1；当1x2时，x22x2x+1，1x1，1x1；当x2时，x22x3，无解；综合上述，不等式的解集为：1，12016年9月3日