1、第五章数系的扩充与复数的引入测评一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列n的取值中,使in=1(i是虚数单位)的是()A.n=2B.n=3C.n=4D.n=5答案:C2若复数z满足方程z2+2=0,则z3等于()A.22B.-22C.-22iD.22i解析:由z2+2=0,得z2=-2,即z=2i.z3=22i.答案:D3复数z=cos+isin(0,2)在复平面上对应的点在第二象限,则的取值范围是()A.0,2B.2,C.,32D.32,2解析:由题意,得cos0,又(0,2),2,.答案:B4(2013陕西高考)设z1,
2、z2是复数,则下列命题中的假命题是()A.若|z1-z2|=0,则z1=z2B.若z1=z2,则z1=z2C.若|z1|=|z2|,则z1z1=z2z2D.若|z1|=|z2|,则z12=z22解析:对于选项A,若|z1-z2|=0,则z1=z2,故z1=z2,正确;对于选项B,若z1=z2,则z1=z2=z2,正确;对于选项C,z1z1=|z1|2,z2z2=|z2|2,若|z1|=|z2|,则z1z1=z2z2,正确;对于选项D,如令z1=i+1,z2=1-i,满足|z1|=|z2|,而z12=2i,z22=-2i,故不正确.答案:D5如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于(
3、)A.1B.-1C.2D.-2解析:(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是实数,m3+1=0.又mR,m=-1.答案:B6设a,b为实数,若复数1+2ia+bi=1-i,则()A.a=32,b=12B.a=-3,b=1C.a=-12,b=32D.a=1,b=3解析:由1+2ia+bi=1-i,可得1+2i=(a+b)+(-a+b)i,所以a+b=1,-a+b=2,解得a=-12,b=32,故选C.答案:C7(2013课标全国高考)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为()A.-4B.-45C.4D.45解析:(3-4i)z=|4+3i|,z=53-4i=5(3
4、+4i)(3-4i)(3+4i)=35+45i.故z的虚部为45,选D.答案:D8已知z1+i=2+i,则复数z等于()A.-1+3iB.1-3iC.3+iD.3-i解析:z1+i=2+i,z=(2+i)(1+i)=2+3i+i2=1+3i.z=1-3i.答案:B9设a,bR且b0,若复数(a+bi)3是实数,则()A.b2=3a2B.a2=3b2C.b2=9a2D.a2=9b2解析:(a+bi)3=a3+3a2bi-3ab2-b3i=(a3-3ab2)+(3a2b-b3)i,因为该复数是实数且b0,所以3a2b-b3=0b2=3a2.答案:A10已知复数(x-2)+yi(x,yR)对应向量的
5、模为3,则yx的最大值是()A.32B.33C.3D.12解析:由|(x-2)+yi|=3,得(x-2)2+y2=3,此方程表示如图所示的圆C,则yx的最大值为切线OP的斜率.由|CP|=3,|OC|=2,得COP=3,切线OP的斜率为3,故选C.答案:C二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11已知复数z=(1-i)(2-i),则|z|的值是.解析:z=(1-i)(2-i)=1-3i,|z|=12+32=10.答案:1012已知复数z1=1-i,z1z2=1+i,则复数z2=.解析:z2=1+iz1=1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=2i2=
6、i.答案:i13已知复数z=1+i,则2z-z=.解析:z=1+i,2z-z=21+i-1-i=2(1-i)2-1-i=-2i.答案:-2i14若2+mi1+2i=-2i(i为虚数单位),则实数m=.解析:2+mi1+2i=-2i,2+mi=-2i(1+2i)=2-2i.m=-2.答案:-215在复平面内,复数2i1-i对应的点的坐标为.解析:2i1-i=2i(1+i)2=i(1+i)=-1+i.答案:(-1,1)三、解答题(本大题共2小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(10分)已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.分析:2i-3是方程的根,代入方程成立,由复数相等的定义求得.解:由已知,得2(2i-3)2+p(2i-3)+q=0,即10-24i+2pi-3p+q=0.2p-24=0,-3p+q+10=0.p=12,q=26.17(15分)已知复数z1=m+(4-m2)i(mR),z2=2cos+(+3sin)i(R),若z1=z2,求的取值范围.解:由z1=z2,得m=2cos,4-m2=+3sin.m=2cos,=4-m2-3sin.=4-4cos2-3sin=4sin2-3sin=4sin-382-916,sin-1,1.由二次函数性质知-916,7.