1、第二章 推理与证明高中语文选修 中国古代诗歌散文欣赏人教版 高中数学.选修2-2.人教版2.3数学归纳法问题情境一问题 1:明朝刘元卿编的应谐录中有一个笑话：从前，有个小孩叫万百千，他开始上学识字。第一天先生教他个“一”字。第二天先生又教了个“二”字。第三天，他想先生一定是教“三”字了，并预先在纸上划了三横。果然这天教了个“三”字。于是他得了一个结论：“四”一定是四横，“五”一定是五横，以此类推，从此，他不再去上学，家长发现问他为何不去上学，他自豪地说：“我都会了”。家长要他写出自己的名字，“万百千”写名字结果可想而知。”他运用什么方法得到的结论？为什么会出现错误？你的猜想正确吗?如何证明呢？
2、问题2：在数列na 中,1a1,nnnaaa11(n),*N先计算2a，3a，4a 的值，再推测通项的公式.na归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。结论一定可靠 结论不一定可靠 考察全体对象,得到一般结论的推理方法 考察部分对象,得到一般结论的推理方法 归纳法分为完全归纳法 和不完全归纳法 二、数学归纳法多米诺骨牌效应多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？二、数学归纳法多米诺骨牌效应1.使第一张牌能倒下；2.假设第k张能倒下，则一定能压倒紧挨的第k1张牌。类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：(2)假设n
3、=k(k n0，k N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数都成立。上述证明方法叫做数学归纳法（1）证明当n取第一个值 n0 时命题成立。（归纳基础）(归纳递推)题例：用数学归纳法证明：122334n(n1)1(1)(2)3 n nn证明:2)假设n=k时命题成立,即122334k(k+1)2)(1(31kkk)1(.4332211kkkn时，则当)2)(1(kk)2)(1(31kkk+)2)(1(kk n=k+1时命题正确。由(1)和(2)知，当，命题正确。Nn=2111)1(31kkk1)当n=1时，左边=12=2,右边=2
4、.命题成立11233从n=k到n=k+1的变化 凑假设凑结论三、例题讲解：Nn四：疑点解析用数学归纳法证明1+3+5+（2n-1)=21n 证明：假设n=k时等式成立，即21 3 5(23)(21)1kkk 那么1 3 5(21)(21)kk 221(21)(1)1kkk 即n=k+1时等式成立。所以等式对一切正整数n均成立。哪错了？用数学归纳法证明1+3+5+（2n-1)=()nN 21n 证明：假设n=k时等式成立，即21 3 5(23)(21)1kkk 那么1 3 5(21)(21)kk 221(21)(1)1kkk 即n=k+1时等式成立。所以等式对一切正整数n均成立。证明：假设n=k
5、时等式成立，即n=1时，左边=1，右边=0，左边=右边五、练习巩固1.用数学归纳法证明1+3+5+（2n-1)=n2可否改换为：1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=1+3+5+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)22)12(1)1kk（问:第步中当n=k+1时：1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2,所以当n=k+1时等式也成立；2.证明凸n边形内角和为中，初始值应该从几取？初始值应取3(2)180n 四：巩固提高课堂小结1、数学归纳法能够解决哪一类问题？2、数学归纳法证明命题的步骤是什么？3、应用数学归纳法证明命题应注意什么问题？一般被应用于证明某些与正整数有关的数学命题。两个步骤和一个结论，缺一不可。（1）第一步是证明的基础，必不可少。（2）初始值不一定为1。（3）第二步证明时必须要用到假设。1、教材P96 A组1（1）（3）2、查阅资料皮亚诺公理（数学归纳法的理论根据）在应用数学归纳法时，应该注意哪些问题？（1）第一步是证明的基础，必须先验证初始值是否成立。（2）初始值不一定是1，而是使命题成立的第一个正整数。（3）第2步证明中，必须用到假设的结论。