1、双曲线方程及性质的应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2012湖南高考)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=12.(2013昆明高二检测)过双曲线x2-=1的右焦点作直线与双曲线交于A,B两点,若|AB|=16,这样的直线有()A.一条B.两条C.三条D.四条3.(2013大理高二检测)若点O和点F1(-2,0)分别是双曲线-y2=1(a0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的一点,并且P点与右焦点F2的连线垂直x轴,则线段OP的长为()A.B.C.D.4.(2013聊城高二检测)双
2、曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为()A.B.C.D.5.已知点M(1,4),双曲线-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a等于()A.B.C.D.二、填空题(每小题8分,共24分)6.已知双曲线an-1y2-anx2=an-1an的焦点在y轴上,一条渐近线方程为y=x,其中an是以4为首项的正项数列,则数列an的通项公式是.7.双曲线-=1上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项,则P点到左焦点的距离为.8.(2013吉林高二检测)已知双曲线-=1
3、(a0,b0)的两条渐近线方程为y=x,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.(2013洛阳高二检测)直线l:y=kx+1与双曲线C:2x2-y2=1的右支交于不同的两点A,B,求实数k的取值范围.10.已知双曲线C1:x2-=1.(1)求与双曲线C1有相同的焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程.(2)直线l:y=x+m分别交双曲线C1的两条渐近线于A,B两点.当=3时,求实数m的值.11.(能力挑战题)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的渐近线方程为y=x,O为坐标原点,点M(,)在双曲线上.(1)求双曲线C的方程.(2)若直线l
4、与双曲线交于P,Q两点,且=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.答案解析1.【解题指南】根据双曲线的性质,由焦距为10可以求出c=5,再将P(2,1)代入渐近线求出方程中的参数.【解析】选A.由焦距为10,知2c=10,c=5.将P(2,1)代入y=x得a=2b.a2+b2=c2,5b2=25,b2=5,a2=4b2=20,所以方程为-=1.2.【解析】选C.过右焦点且垂直于实轴的弦长为=2=16,|AB|=16,当l与双曲线的两交点都在右支上时只有一条.又实轴长为2,162,当l与双曲线的两交点在左、右两支上时应该有两条,共三条.3.【解析】选B.由条件知a2+1=4,a0,a=,又PF2
5、x轴,把x=2代入-y2=1得y2=.|OP|=.【举一反三】若本题条件不变时,点P是右支上任意一点,求的取值范围.【解析】设P(x0,y0),由题目可知-=1,且x0,又F1(-2,0),=(x0,y0)(x0+2,y0)=+2x0+=+2x0+-1=+2x0-1=(x0+)2-.x0,x0=时,最小,其值为3+2.即3+2,+).4.【解析】选B.由题意可知MF1F2为直角三角形且MF1F2=30,tan30=,整理得e2-2e-=0,解得e=.5.【解析】选A.双曲线-y2=1的左顶点A为(-,0),得直线AM的斜率为k=,渐近线方程为y=x,所以有=a=.6.【解析】双曲线方程可转化为
6、-=1,an是以4为首项的正项数列,一条渐近线方程为y=x,=,=2,数列an是以4为首项,以2为公比的等比数列,an=42n-1=2n+1.答案:an=2n+17.【解析】由a=4,b=3,得c=5,设左焦点为F1,右焦点为F2,则|PF2|=(a+c+c-a)=c=5,由双曲线的定义得|PF1|=2a+|PF2|=8+5=13.答案:138.【解析】由条件可知=即b=a,由顶点(a,0)到y=x的距离等于1得1=,解得a=2,b=,即a2=4,b2=,双曲线方程为-=1.答案:-=19.【解析】将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+
7、2=0.依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同的两点,故解得k的取值范围是k|-2k0,b0),则解得双曲线C2的标准方程为-y2=1.(2)双曲线C1的渐近线方程为y=2x,y=-2x.设A(x1,2x1),B(x2,-2x2).由消去y化简得3x2-2mx-m2=0,由=(-2m)2-43(-m2)=16m20,得m0.x1x2=-,=x1x2+(2x1)(-2x2)=-3x1x2,m2=3,即m=.【拓展提升】平面几何与平面向量的结合平面解析几何与平面向量在高考中是重要的交汇点,当这种题目出现时,要注意以下几点:(1)合理使用平面向量的坐标表示和坐标运算.(2)合理使用平面几何中的结论、
8、关系等.(3)把几何运算转化为代数运算,利用代数运算的结果解释平面几何问题.11.【解析】(1)双曲线C的渐近线方程为y=x,b2=3a2,双曲线的方程可设为3x2-y2=3a2.点M(,)在双曲线上,可解得a2=4,双曲线C的方程为-=1.(2)设直线PQ的方程为y=kx+m,点P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程代入双曲线C的方程,可化为(3-k2)x2-2kmx-m2-12=0,x1+x2=,x1x2=.由=0x1x2+y1y2=0即(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0,(1+k2)+km+m2=0化简得m2=6k2+6,|OP|2+|OQ|2=|PQ|2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=24+.当k=0时,|PQ|2=24+24成立,且满足,又因为当直线PQ垂直x轴时,|PQ|224,所以|OP|2+|OQ|2的最小值是24.