1、北京师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题）1. 命题p：“x（-，0），3x4x”的否定p为（）A. ,B. ,C. D. 2. 在等比数列an中，a3=2，a5=8，则a4=（）A. 4B. 5C. D. 3. 若abc且a+b+c=0，则下列不等式中正确的是（）A. B. C. D. 4. 设0x1，则a=，b=1+x，c=中最大的一个是（）A. aB. bC. cD. 不能确定5. 在等比数列an中，a1=3，前n项和为Sn，若数列an+1也是等比数列，则Sn等于（）A. 2nB. 3nC. D. 6. 若互不相等的实数a，b，c成等
2、差数列，c，a，b成等比数列，且a+3b+c=10，则a=（）A. 4B. 2C. D. 7. 设an是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，），则An为等比数列的充要条件是（）A. 是等比数列B. ,或,是等比数列C. ,和,均是等比数列D. ,和,均是等比数列,且公比相同8. 设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数）公司决定从原有员工中分流x（0x100）人去进行新开发的产品B的生产分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是
3、（）A. 15B. 16C. 17D. 18二、填空题（本大题共6小题）9. 数列an中，已知a1=1，a2=2，an+1=an+an+2（nN*），则a7= _ 10. 若实数x，y满足xy=1，则x2+4y2的最小值为_11. 设a，b是两个实数，给出下列条件：a+b1；a+b=2；a+b2；a2+b22；ab1其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是_ （填序号，只有一个正确选项）12. 已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8_13. 等比数列an中，若前n项的和为Sn=2n-1，则a+a22+an2=_14. 珠海市板樟山森
4、林公园（又称澳门回归公园）的山顶平台上，有一座百子回归碑百子回归碑是一座百年澳门简史，记载着近年来澳门的重大历史事件以及有关史地，人文资料等，如中央四数连读为1999-12-20标示澳门回归日，中央靠下有23-50标示澳门面积约为23.50平方公里百子回归碑实为一个十阶幻方，是由1到100共100个整数填满100个空格，其横行数字之和与直列数字之和以及对角线数字之和都相等请问如图2中对角线上数字（从左上到右下）之和为_ 三、解答题（本大题共6小题）15. 记Sn为等差数列an的前n项和，已知S9=a5(1)若a3=4，求an的通项公式；(2)若a10，求使得Snan的n的取值范围16. 已知命
5、题：“xx|-1x1，使等式x2-x-m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x-a）（x+a-2）0的解集为N，若xN是xM的必要条件，求a的取值范围17. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x10），每小时可获得利润是元（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；（2）要使生产1200千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润18. 已知p：（x+1）（2-x）0，q：关于x的不等式x2+2mx-m+60恒成立（1）当xR时q成立，求实数m的取值范围；（2）若p是q的充分不必要条件，求实数
6、m的取值范围19. 已知数列an是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn为其前n项和，且满足，nN*数列bn满足，Tn为数列bn的前n项和（1）求a1、d和Tn；（2）若对任意的nN*，不等式恒成立，求实数的取值范围20. 已知无穷数列an（anZ）的前n项和为Sn，记S1，S2，Sn中奇数的个数为bn（）若an=n，请写出数列bn的前5项；（）求证：“a1为奇数，ai（i=2，3，4，）为偶数”是“数列bn是单调递增数列”的充分不必要条件；（）若ai=bi，i=1，2，3，求数列an的通项公式答案和解析1.【答案】C【解析】解：命题是全称命题，则p：，故选：C根据全称命题的否定是特称命题进行
7、判断本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础2.【答案】C【解析】解：根据题意，设等比数列an的公比为q，由已知得，所以q=2，都符合题意，所以a4=a3q=4，故选：C根据题意，设等比数列an的公比为q，由等比数列的通项公式可得，解可得q的值，代入通项公式计算可得答案本题考查等比数列的性质，注意等比数列的通项公式的应用3.【答案】A【解析】解：abc且a+b+c=0，a0c，bRabac，acbc，a|b|与c|b|大小关系不确定，a2、b2、c2大小关系不确定则上述不等式中正确的是A故选：Aabc且a+b+c=0，可得
8、a0c，bR利用不等式的基本性质即可判断出结论本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.【答案】C【解析】解：0x1，1+x2=只需比较1+x与的大小1+x-=-0，1+x故选：C先由基本不等式确定a，b的大小，再对b，c作差比较即可本题主要考查比较几个数的大小问题比较大小一般通过基本不等式、作差、运用函数的单调性等来完成5.【答案】B【解析】解：因数列an为等比，则an=3qn-1，因数列an+1也是等比数列，则（an+1+1）2=（an+1）（an+2+1）an+12+2an+1=anan+2+an+an+2 an+an+2=2an+1 an（1+q2-2q）=0
9、 q=1 即an=3，所以sn=3n，故选：B根据数列an为等比可设出an的通项公式，因数列an+1也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出sn本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力6.【答案】D【解析】解：由互不相等的实数a，b，c成等差数列，可设a=b-d，c=b+d，由题设得，解方程组得，或，d0，b=2，d=6，a=b-d=-4，故选：D因为a，b，c成等差数列，且其和已知，故可设这三个数为b-d，b，b+d，再根据已知条件寻找关于b，d的两个方程，通过解方程组即可获解此类问题一般设成等差数列的数为未知数，然后利用等比数列的知识建立等式求
10、解，注意三个成等差数列的数的设法：x-d，x，x+d7.【答案】D【解析】解：依题意可知Ai=aiai+1，Ai+1=ai+1ai+2，若An为等比数列则=q（q为常数），则a1，a3，a2n-1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比均为q；反之要想An为等比数列则=需为常数，即需要a1，a3，a2n-1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相等；故An为等比数列的充要条件是a1，a3，a2n-1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相同故选D 根据题意可表示Ai，先看必要性，An为等比数列推断出为常数，可推断出a1，a3，a2n-1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公
11、比相同；再看充分性，要使题设成立，需要为常数，即a1，a3，a2n-1，和a2，a4，a2n，均是等比数列，且公比相等，答案可得本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定考查了学生分析问题和基本的推理能力8.【答案】B【解析】解：由题意，公司原有100人每年创造的产值为100t（万元），分流后剩余（100-x）人每年创造的产值为（100-x）（1+1.2x%）t，则由，解得：0xxN，x的最大值为16故选：B分流后从事产品A生产的人数为100-x，根据要保证分流后，该公司产品A的年产值不减少，可列不等式组求解本题考查数学建模思想方法，关键是考查学生理解题意的能力，是中
12、档题9.【答案】1【解析】解：由an+1=an+an+2，得an+2=an+1-an，所以a3=a2-a1=1，a4=a3-a2=1-2=-1，a5=a4-a3=-1-1=-2，a6=a5-a4=-2-（-1）=-1，a7=a6=a5=-1-（-2）=1故答案为：1根据递推公式an+1=an+an+2，得an+2=an+1-an，把a1=1，a2=2带入可依次求出前7项，从而得到答案本题考查数列的递推公式，数列的递推公式是给出数列的一种方法10.【答案】4【解析】解：若实数x，y满足xy=1，则x2+4y22x2y=4xy=4，当且仅当x=2y=时，上式取得最小值4故答案为：4运用不等式a2+
13、b22ab（当且仅当a=b取得等号），计算可得所求最小值本题考查基本不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于基础题11.【答案】【解析】解：关于，a+b1，可取，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；关于，a+b=2，可取a=1，b=1，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；关于，a2+b22，可取a=-2，b=-2，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”；关于，ab1，可取a=-2，b=-2，不能推出：“a，b中至少有一个大于1”关于，若a+b2，则a，b中至少有一个大于1，可用反证法证明，它是正确的证明如下：假设a1且b1，则a+b2与已知条件“a+b2”矛盾，故假设不成立即有a，b中
14、至少有一个大于1，故正确故选本题可以利用反证法，“假设a，b两数均小于或等于1，可得结论a+b小于等于2”，由些推理可得到正确结论本题考查的是不等式的基本性质和反证法，注意在判断其它命题错误时，可以举反例本题计算量不大，但有一定的思维量，属于中档题12.【答案】64【解析】解：an是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，=a1（a1+4d），又a1=1，d2-2d=0，公差d0，d=2其前8项和S8=8a1+d=8+56=64故答案为：64依题意，a1=1，=a1（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n项和公式即可求得答案本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题1
15、3.【答案】【解析】解：a1=S1=1，a2=S2-S1=3-1=2，公比q=2又数列也是等比数列，首项为=1，公比为q2=4，=故答案为：由已知可得等比数列an的首项和公比，进而可得数列也是等比数列，且首项为=1，公比为q2=4，代入等比数列的求和公式可得答案本题考查等比数列的前n项和公式，得出数列为等比数列是解决问题的关键，属基础题14.【答案】505【解析】解：由题意得：82+75+53+54+19+20+98+4+31+69=505，故答案为：505将图中对角线上数字从左上到右下相加即可本题考查了简单的合情推理问题，考查n阶幻方，是一道基础题15.【答案】解：（1）根据题意，等差数列a
16、n中，设其公差为d，若S9=-a5，则S9=9a5=-a5，变形可得a5=0，即a1+4d=0，若a3=4，则d=-2，则an=a3+（n-3）d=-2n+10；（2）若Snan，则na1+da1+（n-1）d，当n=1时，不等式成立，当n2时，有d-a1，变形可得（n-2）d-2a1，又由S9=-a5，即S9=9a5=-a5，则有a5=0，即a1+4d=0，则有（n-2）-2a1，又由a10，则有n10，则有2n10，综合可得：1n10nN【解析】本题考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式，涉及数列与不等式的综合应用，属于中档题（1）根据题意，等差数列an中，设其公差为d，由S9=-a
17、5，即可得S9=9a5=-a5，变形可得a5=0，结合a3=4，计算可得d的值，结合等差数列的通项公式计算可得答案；（2）若Snan，则na1+da1+（n-1）d，分n=1与n2两种情况讨论，求出n的取值范围，综合即可得答案16.【答案】解：（1）由x2-x-m=0可得m=x2-x=-1x1M=m|（2）若xN是xM的必要条件，则MN当a2-a即a1时，N=x|2-axa，则即当a2-a即a1时，N=x|ax2-a，则即当a=2-a即a=1时，N=，此时不满足条件综上可得【解析】（1）利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M；（2）若xN是xM的必要条件
18、，则MN分类讨论当a2-a即a1时，N=x|2-axa，当a2-a即a1时，N=x|ax2-a，当a=2-a即a=1时，N=三种情况进行求解本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用17.【答案】解：（1）由题意可得：200（5x+1-）3000，即5x-14，解得x3，又1x10，3x10（2）设生产1200千克产品的利润为y，则y=100（5x+1-）=120000（-+5）=120000-3（-）2+，当=即x=6时，y取得最大值610000故甲厂以6千克/小时的速度生产可使利润最大，最大利润为610000元【解析】（1）根据题意列不等
19、式求出x的范围即可；（2）设总利润为y，得出y关于x的函数解析式，配方得出最大值即可本题考查了函数解析式，函数最值的计算，属于中档题18.【答案】解：（1）4m2+4m-240，m2+m-60，-3m2，实数m的取值范围为：（-3，2）（2）p：-1x2，设A=x|-1x2，B=x|x2+2mx-m+60，p是q的充分不必要条件，AB由（1）知，-3m2时，B=R，满足题意；m=-3时，B=x|x2-6x+90=x|x3，满足题意；m=2时，B=x|x2+4x+40=x|x-2，满足题意；m-3，或m2时，设f（x）=x2+2mx-m+6，f（x）对称轴为x=-m，由AB得或，或，或，或综上可
20、知：【解析】（1）由0得含m的不等式，解之得m的取值范围；（2）把p是q的充分不必要条件转化为由AB，在各种情况下找出充要条件不等式组，进而求出实数m的取值范围本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.【答案】解：（1），a10，a1=1（1分），（1+d）2=3+3d，d=-1，2，当d=-1时，a2=0不满足条件，舍去因此d=2（4分）an=2n-1，Tn=（6分）（2）当n为偶数时，当n=2时等号成立，最小值为，因此（9分）当n为奇数时，在n1时单调递增，n=1时的最小值为，（12分）综上，（14分）【解析】（1）利用，n取1或2，可求数列的首项
21、与公差，从人体可得数列的通项，进而可求数列的和；（2）分类讨论，分离参数，求出对应函数的最值，即可求得结论本题考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，解题的关键是分类讨论，分离参数，属于中档题20.【答案】解：（I）an=n，Sn=S1=1，S2=3，S3=6，S4=10，S5=15b1=1，b2=2，b3=2，b4=2，b5=3证明：（II）（充分性）a1是奇数，ai（i=2，3，4）为偶数，对于任意iN*，Si都是奇数，bn=n，数列bn是单调递增数列（不必要性）当数列an中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，Si（i=2，3，4）均为奇数，bn=n-1，数列bn是单调递增数列，“
22、a1为奇数，ai（i=2，3，4，）为偶数”是“数列bn是单调递增数列”的不必要条件综上，：“a1为奇数，ai（i=2，3，4，）为偶数”是“数列bn是单调递增数列”的充分不必要条件（）（1）当ak为奇数时，若Sk为偶数，若ak+1是奇数，则Sk+1为奇数，bk+1=bk+1=ak+1为偶数，与ak+1=bk+1矛盾；若ak+1为偶数，则Sk+1为偶数，bk+1=bk=ak为奇数，与ak+1=bk+1矛盾当ak为奇数时，Sk不能为偶数；（2）当ak为偶数，若Sk为奇数，若ak+1为奇数，则Sk+1为偶数，bk+1=bk=ak为偶数，与ak+1=bk+1矛盾，若ak+1为偶数，则Sk+1为奇数，
23、bk+1=bk+1=ak+1为奇数，与ak+1=bk+1矛盾，当ak为偶数时，Sk不能是奇数综上，ak与Sk同奇偶，a1=b1=S1为偶数，且0b11，b1=a1=0，a2=b2b1+1=1，且b20，b2=a2=0，以此类推，得到an=0【解析】（I）推导出an=n，Sn=由此能写出数列bn的前5项（II）先证充分性，推导出bn=n，从而数列bn是单调递增数列；再证不必要性，当数列an中只有a2是奇数，其余项都是偶数时，S1为偶数，Si（i=2，3，4）均为奇数，bn=n-1，数列bn是单调递增数列，由此能证明：“a1为奇数，ai（i=2，3，4，）为偶数”是“数列bn是单调递增数列”的充分不必要条件（）当ak为奇数时，推导出Sk不能为偶数；当ak为偶数，推导出Sk不能是奇数，从而ak与Sk同奇偶，由此得到an=0本题考查数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查推理能力与计算能力，属于中档题