1、双曲线及其标准方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013安阳高二检测)双曲线-=1的焦距为()A.3B.4C.2D.42.焦点在坐标轴上,中心在原点,且经过点P(2,3)和Q(-7,-6)的双曲线方程是()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=13.设是三角形的一个内角,且sin+cos=,则方程+=1所表示的曲线为()A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线D.焦点在y轴上的双曲线4.已知ABP的顶点A,B分别为双曲线C:-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线C上,则的值等于()A.B.C.D.5.(2013深圳高二检测)已知F1,F2
2、为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cosF1PF2=()A.B.C.D.二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013宜春高二检测)双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为.7.已知双曲线的两个焦点为F1(-,0),F2(,0),P是此双曲线上的一点,且PF1PF2,|PF1|PF2|=2,则该双曲线的方程是.8.与圆A:(x+5)2+y2=49和圆B:(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知与双曲线-=1共焦点的双曲线过点P(-,-),求该双曲线的标准方程.
3、10.双曲线-=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上.若PF1PF2,求点P到x轴的距离.11.(能力挑战题)某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路AP,BP运到P处(如图),|AP|=100m,|BP|=150m,APB=60,试说明怎样运土才能最省工.答案解析1.【解析】选D.在方程-=1中,a2=10,b2=2,c2=a2+b2=12,即c=2,焦距2c=4.2.【解析】选A.设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn0),把P,Q两点的坐标代入,得解得所以双曲线的标准方程是-=1.3.【解析】选C.由sin+cos=得sincos0,cos0,方程表示的是焦点在
4、x轴上的双曲线,故选C.4.【解题指南】使用ABP中的正弦定理.【解析】选D.在ABP中,根据正弦定理得=.由条件可知,c2=16+9=25,|AB|=2c=10,且|PB|-|PA|=2a=8,=.5.【解题指南】利用双曲线的定义求出|PF1|,|PF2|和|F1F2|的大小,再由余弦定理求得cosF1PF2.【解析】选C.双曲线x2-y2=2化为标准形式为-=1.这里a=,c2=4即c=2.由定义|PF1|-|PF2|=2a=2.|PF2|=2,|PF1|=4.又|F1F2|=2c=4,cosF1PF2=.【变式备选】设F1,F2为曲线C1:+=1的左、右两个焦点,P是曲线C2:-y2=1
5、与C1的一个交点,则PF1F2的面积为()A.2B.C.1D.【解析】选B.由椭圆C1与双曲线C2的标准方程可知,两曲线的焦点相同.不妨设P点在双曲线C2的右支上.由椭圆和双曲线的定义可得解得又|F1F2|=2=4,由余弦定理得:cosF1PF2=,sinF1PF2=,=|PF1|PF2|sinF1PF2=.6.【解析】双曲线的一个焦点为(0,3),双曲线焦点在y轴上且c=3.双曲线方程可化为-=1,-=32,解得k=-1.答案:-1【变式备选】(2013唐山高二检测)双曲线-=1的一个焦点是(0,2),则实数m的值是.【解析】由条件可知,双曲线焦点在y轴上且c=2,方程可化为-=1,则-3m
6、-m=4,解得m=-1.答案:-17.【解析】|F1F2|=2c=2,PF1PF2,|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20,(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|PF2|=20.|PF1|PF2|=2,|PF1|-|PF2|=4=2a,即a2=4.又c2=5,b2=c2-a2=1.故方程为-y2=1.答案:-y2=1【拓展提升】焦点三角形问题若点P是双曲线上的点,该点往往要与F1,F2连接构成焦点三角形,这里一般要首先具备定义,即|PF1|-|PF2|=2a,其中“”应根据P离F1,F2的“远”或“近”来确定.另外常用到余弦定理、勾股定理和面积公式等.8.【解题指南】结合圆与圆的位置
7、关系及双曲线的定义求P的轨迹方程.【解析】设动圆P的半径为R,且P(x,y),则|PA|=R+7,|PB|=R+1,|PA|-|PB|=60,b0).依题意,c=5,b2=c2-a2=25-a2,故双曲线方程可写为-=1,点P(-,-)在双曲线上,-=1.化简得,4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=.又当a2=时,b2=25-a2=25-=-0,不合题意,舍去,故a2=1,b2=24.所求双曲线的标准方程为x2-=1.10.【解题指南】这是一道典型的与焦点三角形有关的问题.可设点P(x0,y0),则|y0|就是点P到x轴的距离,故只需求出点P的纵坐标即可.【解析】设P点为(x0
8、,y0),而F1(-5,0),F2(5,0),则=(-5-x0,-y0),=(5-x0,-y0).PF1PF2,=0,即(-5-x0)(5-x0)+(-y0)(-y0)=0,整理,得+=25.又P(x0,y0)在双曲线上,-=1.联立,得=,即|y0|=.因此点P到x轴的距离为.11.【解析】如图,以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,设M是分界线上的点,则|MA|+|PA|=|MB|+|PB|,于是有|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50,这说明分界线是以A,B为焦点的双曲线的右支.在APB中,|AB|2=|AP|2+|PB|2-2|AP|PB|cos60=17 500,从而a=25,c2=()2=4 375,b2=3 750,故所求分界线的方程为-=1(x25),即在运土时,将此分界线左侧的土沿道路AP运到P处,右侧的土沿道路BP运到P处最省工.