1、课时跟踪检测（二） 空间向量的数量积运算A级基础巩固1已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|b|1，ab，则两直线的夹角为()A30B60C120D150解析：选B设向量a，b的夹角为，则cos ，所以120，则两个方向向量对应的直线的夹角为18012060.2已知a，b是异面直线，且ab，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m2e13e2，nke14e2，mn，则实数k的值为()A6B6C3D3解析：选B由mn，得mn0，(2e13e2)(ke14e2)0.2k120.k6.3(多选)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，对角线AC1和BD1相交于点O，则有(
2、)Aa2Ba2Ca2Da2解析：选AC连接A1D，则|cos，aacos 60a2.A正确()2a2，故B错误()(2)2|2a2.C正确()a2.D错误4在四面体OABC中，OBOC，AOBAOC，则cos，()A.B.CD0解析：选D()|cos，|cos，因为，|，所以0，所以，所以cos，0.5已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1ABAD1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60，则AC1的长为()A6B.C3D.解析：选B设a，b，c，则|a|b|c|1，且a，bb，cc，a60，因此abbcca.由abc得|22a2b2c22ab2bc2ca6.|，故选B.6已知空间中四点
3、A，B，E，C，若，则 _.解析：，则()0.答案：7已知a，b是空间两个向量，若|a|2，|b|2，|ab|，则cosa，b_.解析：将|ab|两边平方，得(ab)27.因为|a|2，|b|2，所以ab.又ab|a|b|cosa，b，故cosa，b.答案：8.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，设ADAA11，AB2，P是C1D1的中点，则与所成角的大小为_；_.解析：法一：连接A1D，则PA1D就是与所成角连接PD，在PA1D中，易得PA1DA1PD，即PA1D为等边三角形，从而PA1D60，即与所成角的大小为60.因此cos 601.法二：根据向量的线性运算可得()21.由题意可得
4、PA1B1C，则cos，1，从而，60.答案：6019在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积：(1)；(2).解：如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)()b|b|24216.(2)()()(ac)|c|2|a|222220.10.如图，正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BDPC；(2)求|的值解：(1)证明：，()|cos 60|cos 120a2a20.BDPC.(2)，|2|2|2|2222a2a2a202a2cos 602a2cos 605a2，|a.B
5、级综合运用11设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD是()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D等腰三角形解析：选B，()()|2|20，cos CBDcos，0，CBD为锐角，同理，BCD与BDC均为锐角，BCD为锐角三角形12已知PA平面ABC，垂足为A，ABC120，PAABBC6，则PC等于_解析：如图所示，22222363636236cos 60144.|12.答案：1213在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题：()232；()0；与的夹角为60；正方体的体积为|.其中正确的命题是_(填序号)解析：如图所示，()2()2232；()0；与的夹角是与夹
6、角的补角，而与的夹角为60，故与的夹角为120；正方体的体积为|.综上可知，正确答案：14.如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为.(1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长解：(1)证明：，.BB1平面ABC，0，0.又ABC为正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)由(1)知|cos，221.又| |，cos，|2，即侧棱长为2.C级拓展探究15.如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CDBCD.(1)求证：CC1BD；(2)当的值为多少时，能使A1C平面C1BD？请给出证明解：(1)证明：设a，b，c.依题意有|a|b|，ab.设，的两两夹角均为，于是c(ab)cacb|c|a|cos |c|b|cos 0，CC1BD.(2)若A1C平面C1BD，则A1CBD，A1CDC1.由()()(abc)(ac)|a|2acabbcca|c|2|a|2|c|2|b|a|cos |b|c|cos (|a|c|)(|a|c|b|cos )0，得当|c|a|时，A1CDC1.同理可证，当|a|b|时，A1CBD.当1时，A1C平面C1BD.
