1、课时跟踪检测（一）空间向量及其线性运算 A 级 基础巩固 1下列命题中正确的是()A若 a 与 b 共线，b 与 c 共线，则 a 与 c 共线 B向量 a，b，c 共面，即它们所在的直线共面 C若两个非零空间向量 AB与 CD满足 AB CD0，则 AB CD D若 ab，则存在唯一的实数，使 ab 解析：选 C A 中，若 b0，则 a 与 c 不一定共线；B 中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C 中，AB CD0，AB CD，AB与 CD共线，故 AB CD正确；D 中，若 b0，a0，则不存在，使 ab.2满足下列条件，能说明空间不重
2、合的 A，B，C 三点共线的是()A AB BC AC B AB BC AC C AB BC D|AB|BC|解析：选 C 对于空间中的任意向量，都有 AB BC AC，选项 A 错误；若 AB BC AC，则 AC BC AB，而 AC CB AB，据此可知 BC CB，即 B，C 两点重合，选项 B 错误；AB BC，则 A，B，C 三点共线，选项 C 正确；|AB|BC|，则线段 AB的长度与线段 BC 的长度相等，不一定有 A，B，C 三点共线，选项 D 错误 3设有四边形 ABCD，O 为空间任意一点，且 AO OB DO OC，则四边形 ABCD是()A平行四边形 B空间四边形 C
3、等腰梯形 D矩形 解析：选 A AO OB DO OC，AB DC.AB DC且|AB|DC|.四边形 ABCD 为平行四边形 4.(多选)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，下列各式中运算的结果为向量 BD1的是()A(A1D1 A1A)AB B(BC BB1)D1C1 C(AD AB)DD1 D(B1D1 A1A)DD1 解析：选 ABC 对于选项 A，(A1D1 A1A)AB AD1 AB BD1；对于选项 B，(BC BB1)D1C1 BC1C1D1 BD1；对于选项 C，(AD AB)DD1 BD DD1 BD1；对于选项 D，(B1D1 A1A)DD1(B1D1 B1B)
4、DD1 BD1 D1D BD，故选 A、B、C.5已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，A1E14A1C1，若 AEx AA1y(AB AD)，则()Ax1，y12 Bx12，y1 Cx1，y13 Dx1，y14 解析：选 D 因为 AE AA1 A1E AA114A1C1 AA114(AB AD)，所以 x1，y14.6如图所示，在三棱柱 ABCABC中，AC与AC 是_向量，AB与BA是_向量(用相等、相反填空)解析：由相等向量与相反向量的定义知：AC与AC 是相等向量，AB与BA 是相反向量 答案：相等 相反 7设 e1，e2是空间两个不共线的向量，已知 AB2e1ke2，CBe13e
5、2，CD2e1e2，且 A，B，D 三点共线，则 k_.解析：由已知得 BD CD CB(2e1e2)(e13e2)e14e2，A，B，D 三点共线，AB与 BD共线，即存在 R，使得 AB BD.2e1ke2(e14e2)e14e2.e1，e2不共线，2，k4，解得 k8.答案：8 8在空间四边形 ABCD 中，连接 AC，BD.若BCD 是正三角形，且 E 为其中心，则 AB12 BC32 DE AD的化简结果为_ 解析：如图，取 BC 的中点 F，连接 DF，则 DF32 DE.AB12 BC32 DE AD AB BF DF DA AF FD DA0.答案：0 9如图所示，在三棱柱 A
6、BCA1B1C1中，M 是 BB1 的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)CB BA1；(2)AC CB12 AA1；(3)AA1 AC CB.解：(1)CB BA1 CA1.(2)因为 M 是 BB1的中点，所以 BM 12 BB1.又 AA1 BB1，所以 AC CB12 AA1 AB BM AM.(3)AA1 AC CB CA1 CB BA1.向量 CA1，AM，BA1如图所示 10.如图，在四面体 ABCD 中，M 是 AD 的中点，P 是 BM 的中点，点 Q在线段 AC 上，且 AQ3QC.证明：PQ平面 BCD.证明：法一：过 P，Q 分别作 PSAD 交 BD
7、 于点 S，QTAD 交 CD 于点 T，连接 ST(图略)，则 PS12 MD，QT14 AD.因为 MD12 AD，所以 PS QT，所以四边形 PQTS 是平行四边形，则 PQ ST.又 PQ平面 BCD，ST 平面 BCD，所以 PQ平面 BCD.法二：由图形易得 PQ PB BC CQ 12 MB BC14 CA 12(MA AB)BC12 CA14 AC 12(AB BC CA)12 MA12 BC14 AC 14(DA AC)12 BC 14 DC12 BC.根据空间向量共面的定义，PQ，DC，BC共面，又因为 PQ平面 BCD，所以 PQ平面 BCD.B 级 综合运用 11若空
8、间中任意四点 O，A，B，P 满足 OPm OAn OB，其中 mn1，则()APAB BPAB C点 P 可能在直线 AB 上 D以上都不对 解析：选 A 因为 mn1，所以 m1n，所以 OP(1n)OAn OB，即 OP OAn(OB OA)，即 APn AB，所以 AP与 AB共线 又 AP，AB有公共起点 A，所以 P，A，B 三点在同一直线上，即 PAB.12在下列条件中，使 M 与 A，B，C 一定共面的是()A OM3 OA2 OB OC B OM OA OB OC0 C MA MB MC0 D OM14 OB OA12 OC 解析：选 C MA MB MC0，MA MB MC
9、，M 与 A，B，C 必共面 13已知空间四边形 ABCD 中，ABb，ACc，ADd，若 MD2 CM，且 BM xbyczd(x，y，zR)，则 y_.解析：如图所示，BM BC CM AC AB13 CD AC AB13(AD AC)AB23 AC13 AD b23c13d.BM xbyczd，y23.答案：23 14已知 A，B，M 三点不共线，对于平面 ABM 外的任意一点 O，判断在下列各条件下的点 P 与点 A，B，M 是否共面(1)OB OM3 OP OA；(2)OP4 OA OB OM.解：法一：(1)原式可变形为 OP OM(OA OP)(OB OP)OM PAPB.由共面
10、向量定理的推论知，点 P 与点 A，B，M 共面(2)原式可变形为 OP2 OA(OA OB)(OA OM)2 OA BA MA.由共面向量定理的推论，可知点 P 位于平面 ABM 内的充要条件是 OP OAx BAy MA.而 OP2 OA BA MA，点 P 与点 A，B，M 不共面 法二：(1)原式可变形为 OB3 OP OA OM.3(1)(1)1，点 B 与点 P，A，M 共面，即点 P 与点 A，B，M 共面(2)由 OP4 OA OB OM，得 4(1)(1)21，点 P 与点 A，B，M 不共面 C 级 拓展探究 15对于空间任一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若有 OPx
11、 OAy OBz OC，则“xyz1”是“P，A，B，C 四点共面”的()A必要不充分条件 B充分不必要条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 B 若 xyz1，则 OP(1yz)OAy OBz OC，即 APy ABz AC，由共面向量定理可知向量 AP，AB，AC共面，所以 P，A，B，C 四点共面；反之，若 P，A，B，C 四点共面，当点 O 与点 A 重合时，OA0，x 可取任意值，不一定有 xyz1，故“xyz1”是“P，A，B，C 四点共面”的充分不必要条件 16有下列命题：若 AB CD，则 A，B，C，D 四点共线；若 AB AC，则 A，B，C 三点共线；若 e1，e2为不共线的非零向量，a4e125e2，be1 110e2，则 ab；若向量 e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式 k1e1k2e2k3e30，则 k1k2k30.其中是真命题的序号是_(把所有真命题的序号都填上)解析：根据共线向量的定义，若 AB CD，则 ABCD 或 A，B，C，D 四点共线，故错；AB AC且 AB，AC有公共点 A，所以正确；由于 a4e125e24e1 110e2 4b，所以 ab，故正确；易知正确 答案：