1、第二章圆锥曲线与方程测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于()A.10B.8C.6D.4解析:利用抛物线的定义,设焦点为F,则F(1,0),所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1) =x1+x2+2=8.答案:B2如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是()A.(1,+)B.(1,2)C.D.(0,1)答案:D3设F1,F2为双
2、曲线x2-4y2=4a(a0)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足=0,|=2,则a的值为()A.2B.C.1D.答案:C4已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.B.1C.D.解析:过A,B两点,分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为A,B,设线段AB的中点为P,点P到准线的距离为|PP|,如右图所示.由抛物线的定义:|AF|+|BF|=|AA|+|BB|=2|PP|=3,|PP|=.线段AB的中点到y轴的距离为d=|PP|-.故选C.答案:C5已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足=0的点M总在椭圆内部,则椭圆的离心率
3、的取值范围是()A.(0,1)B.C.D.解析:由题意知,点M的轨迹为以焦距为直径的圆,则cb,c2b2.又b2=a2-c2,e20,b0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.解析:抛物线y2=8x的准线为x=-2,则双曲线的一个焦点为(-2,0),即c=2,离心率e=2,故a=1,由a2+b2=c2得b2=3,所以双曲线的方程为x2-=1.答案:x2-=114以下命题:两直线平行的充要条件是它们的斜率相等;过点(x0,y0)与圆x2+y2=r2相切的直线方程是x0x+y0y=r2;平面内到两定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆;抛物线上任意一点M到焦点的距离等于点M到其准
4、线的距离.其中正确命题的序号是.解析:中斜率不一定存在;点(x0,y0)不一定在圆上;当2a=|F1F2|时,轨迹为线段.答案:15已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则的最小值为.解析:设P(x,y),由已知,得A1(-1,0),F2(2,0),=(-1-x,-y),=(2-x,-y).=-(1+x)(2-x)+y2.又y2=3(x2-1),=4x2-x-5.又x1,故当x=1时,取得最小值-2.答案:-2三、解答题(本大题共2个小题,共25分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(12分)如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2:=1
5、(ab0)的两个焦点.(1)求椭圆C2的离心率;(2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.解:(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),所以c2+b0=b2,即c2=b2.由a2=b2+c2=2c2,得椭圆C2的离心率e=.(2)由(1)可知a2=2b2,所以椭圆C2的方程为=1.联立抛物线C1的方程x2+by=b2得2y2-by-b2=0,解得y=-或y=b(舍去),所以x=b,即M,N.所以QMN的重心坐标为(1,0).因为重心在C1上,所以12+b0=b2,得b=1.所以a2=2.
6、所以抛物线C1的方程为x2+y=1,椭圆C2的方程为+y2=1.17(13分)已知F1,F2分别是椭圆C:=1(ab0)的左、右焦点,点P(-,1)在椭圆上,线段PF2与y轴的交点M满足=0.(1)求椭圆C的方程;(2)椭圆上任一动点N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为N1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范围.解:(1)已知点P(-,1)在椭圆上,=1.=0,M在y轴上,M为PF2的中点.PF1x轴.c=.而a2=b2+c2,于是b2=2(b2=-1舍去),a2=4.故所求的椭圆方程为=1.(2)N(x0,y0)关于直线y=2x的对称点为N1(x1,y1),解得3x1-4y1=-5x0.点N(x0,y0)在椭圆C:=1上,-2x02.-10-5x010.3x1-4y1的取值范围是-10,10.