1、第六章章末检测 (时间：120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知(3，0)，那么|等于()A2B3C(1，2)D5【答案】B2若(1，2)，(1，1)，则()A(2，3)B(0，1)C(1，2)D(2，3)【答案】D3已知向量a(3，k)，b(2，1)，ab，则实数k的值为()ABC6D2【答案】C4向量|a|，|b|2，向量a与b的夹角是120，则ab等于()A3B3C3D3【答案】B5在ABC中，若22，则ABC是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形【答案】A6在ABC中，角A，B，
2、C的对边分别为a，b，c，a15，b18，A30，则此三角形解的个数为()A0B1C2D不能确定【答案】C7在ABC中，H为垂心，230，则A()ABCD【答案】B【解析】根据垂心定理，得tan Atan Btan C0.所以tan Atan Btan C123，所以tan Atan(BC)1.故A.故选B8若M为ABC所在平面内一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A等腰三角形B直角三角形C正三角形D等腰直角三角形【答案】A【解析】设BC的中点为D，则2222.满足()(2)0，20.ABC的形状是等腰三角形故选A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有
3、多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9以下关于正弦定理或其变形正确的有()A在ABC中，abcsin Asin Bsin CB在ABC中，若sin 2Asin 2B，则abC在ABC中，“AB”是“sin Asin B”的充要条件D在ABC中，【答案】ACD【解析】对于A，由正弦定理，2R，可得abc2Rsin A2Rsin B2Rsin Csin Asin Bsin C，故正确；对于B，由sin 2Asin 2B，可得AB或2A2B，即AB或AB，ab或a2b2c2，故B错误；对于C，在ABC中，由正弦定理可得sin Asin BabAB，因此AB是sin As
4、in B的充要条件，正确；对于D，由正弦定理2R，可得右边2R左边，故正确故选ACD10在ABC中，下列说法正确的是()A若AB，则|cos B|cos A|B若a2b2c2，则ABC为锐角三角形C等式abcos Cccos B恒成立D若ABC114，则abc11【答案】ACD【解析】选项A中，因为ycos x在(0，180)上是递减函数，当90AB0时，0cos Acos B1，则|cos B|cos A|成立，当180A90B时，1cos A0cos B，则|cos B|cos A|成立，故A正确；选项B中，若a5，b4，c3，则a2b2c2，ABC为直角三角形，故B错误；选项C中，对任意
5、的ABC都有2R，则a2Rsin A2Rsin(BC)2Rsin Bcos C2Rsin Ccos Bbcos Cccos B，故C正确；选项D中，设At，则Bt，C4t，则tt4t6t180，t30，则AB30，C120，sin Asin Bsin C11，abcsin Asin Bsin C11，故D正确故选ACD11已知a(3，1)，b(1，2)，则下列说法正确的有()Aa在b方向上的投影为B与a同向的单位向量是Ca，bDa与b平行【答案】ABC【解析】向量a在b方向上的投影为，A正确；与向量a同向的单位向量为(3，1)，B正确；cosa，b，a，b0，a，b，C正确；3(2)11，a，
6、b不平行，D错误故选ABC12已知e1，e2是两个单位向量，R时，|e1e2|的最小值为，则下列结论正确的是()Ae1，e2的夹角是Be1，e2的夹角是或C|e1e2|1或D|e1e2|1或【答案】BC【解析】e1，e2是两个单位向量，且|e1e2|的最小值为，(e1e2)2的最小值为.设e1，e2的夹角为，(e1e2)222cos 1(cos )21cos2，1cos2，则e1与e2的夹角为或.|e1e2|21或3，则|e1e2|1或.故选BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13若三点A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab0)共线，则的值为_【答案】【解析】(a2，2)
7、，(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即ab2a2b0，所以.14已知两灯塔A、B与观测点C的距离都等于a km，灯塔A在观测点C的北偏东20，灯塔B在观测点C的南偏东40，则灯塔A与B的距离为_km.【答案】a【解析】由图可知ACB120，由余弦定理得cosACB，则ABa(km)15在ABC中，ABAC，23，2，则BC_，延长DF交AC于点E，点P在边BC上，则的最小值为_【答案】【解析】由23，可得3，由2，可得，(3)2233cos A，则cos A.BC.如图建立平面直角坐标系，可得B，C，A，设P(x，0)，x.2，CFAD，CFAD，C为AE中点，2，33，22，(3
8、)x2x.x，x时，最小，最小值为.16ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a2c)cos Bbcos A0，b3，ABC的周长为32，则ABC的面积是_【答案】【解析】已知(a2c)cos Bbcos A0，则(sin A2sin C)cos Bsin Bcos A0，整理得sin Acos Bcos Asin B2sin Ccos B0，解得cos B.由于0B，所以B.因为ABC的周长为32，则abc32，由于b3，则ac2.由于b2a2c22accos B(ac)22ac2accos B，解得ac3.故SABCacsin B.四、解答题：本题共6小题，17题10分，其余
9、小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17已知(1，3)，(3，m)，(1，n)，且.(1)求实数n的值；(2)若，求实数m的值解：因为(1，3)，(3，m)，(1，n)，所以(3，3mn)(1)因为，所以，即解得n3.(2)因为(2，3m)，(4，m3)，又，所以0，即8(3m)(m3)0，解得m1.18已知非零向量a，b满足|a|1，且(ab)(ab).(1)求|b|；(2)当ab时，求向量a与a2b的夹角的值解：(1)根据条件，(ab)(ab)a2b21b2，b2.|b|.(2)ab，a(a2b)a22ab1，|a2b|1.cos .0，.19在锐角ABC中
10、，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知bsin Aasin.(1)求角B的大小；(2)求的取值范围解：(1)bsin Aasin ，sin Bsin Asin A.又sin A0，化为sin Bcos B0，tan B.又B(0，)，解得B.(2)由(1)可得ACB，又ABC为锐角三角形，0CA，0A.A.的取值范围是.20如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线(1)解：延长AD到G，使，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(
11、1)可知，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线21如图，已知四边形ABCD中，BD180，AB1，BC3，ADCD2.(1)求AC长；(2)求四边形ABCD的面积解：(1)在ABC中，由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos B，在ACD中，由余弦定理，得AC2AD2CD22ADCDcos D又BD180，所以cos Bcos D，所以解得cos B，AC.(2)因为sin Dsin B，所以四边形ABCD的面积SABBCsin BADCDsin D13222.22在ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且ABC的外接圆半径为.再从m，n(ab，c)，mnb2；cos C；ABC的面积为S满足a2c2Sb2这三个条件中任选一个补充在问题中，并解答(1)求角B；(2)求ABC周长的最大值解：(1)选：m，n(ab，c)，mnb2，得a(ab)cb2，整理，得a2c2acb2，cos B，B.选：由cos C得，整理，得a2c2b2ac，即，cos B，B.选：a2c2b2acsin B，即cos Bsin B，tan B，B.(2)由2R，得b2，由余弦定理得：a2c2b2ac，即(ac)2223ac3，2ac4，当且仅当ac2时取等号，从而周长labc6，ABC周长的最大值为6.