1、江苏省南京市秦淮区2020届高三数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1.本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题），解答题（第15题第20题）两部分，本试卷满分为160分，考试时间为120分钟.2.答题前，请务必将自己的姓名、学校，班级、学号写在答题卡的密封线内.试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内.考试结束后，交回答卷纸.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答卷纸相应位置上.1.已知集合，则_.【答案】【解析】【分析】根据交集的定义，即可求解.【详解】，.故答案为:.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2.函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析
2、】由对数的真数大于零，即可求解.【详解】函数有意义须，所以函数的定义域为.故答案为:.【点睛】本题考查函数的定义域，属于基础题.3.计算：_.【答案】2【解析】【分析】根据对数的运算性质，即可求解.【详解】.故答案为:2.【点睛】本题考查对数的运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题.4.不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】由指数函数的单调性，将不等式化为，求解即可.【详解】，化为，解得，所以不等式的解集是.故答案为:.【点睛】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性应用是解题的关键，属于基础题.5.在平面直角坐标系xOy中，点在直线上，则OP的最小值为_【答案】【解析】【分析】OP的最
3、小值为点O（0，0）到直线x+y40的距离【详解】在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）在直线x+y40上，OP的最小值为点O（0，0）到直线x+y40的距离：d2故答案为2【点睛】本题考查两点间的距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6.已知平面向量，则与的夹角为_.【答案】【解析】【分析】求出向量的坐标，然后利用向量夹角的余弦公式可计算出与的夹角的余弦值，进而可求出这两个向量的夹角.【详解】，.设与的夹角为，则，因此，与的夹角为.故答案为：.【点睛】考查向量坐标加法和数量积运算，以及向量夹角的余弦公式，考查计算能力，属于基础题.7.设函数，（其中
4、，）的部分图象如图，则函数的解析式为_.【答案】【解析】【分析】由过求的值，根据五点画法坐标求出，即可求出结论.【详解】过点，或，函数在轴右侧第一个最高点坐标为若时，若时，（舍去），.故答案为:.【点睛】本题考查函数图像求解析式以及五点画法点的坐标，属于中档题.8.设函数的导函数为，若的图象在点处的切线方程为，则的值为_.【答案】4【解析】【分析】切点在切线上求出，再由导数的几何意义和切线方程可得，即可求解.【详解】的图象在点处的切线方程为，.故答案为:4.【点睛】本题考查导数的几何意义，注意运用切点在切线上，属于基础题.9.已知函数，若对于任意的都有，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】【
5、详解】因为函数的图象开口向上的抛物线，所以要使对于任意的都有成立，解得，所以实数的取值范围为【考点】二次函数的性质10.在平面直角坐标系中，已知一动直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积比直线的纵截距、橫截距之和大1，则该三角形面积的最小值为_.【答案】【解析】【分析】设直线方程为，求出直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积，建立关系，结合基本不等式，求出的最小值，即可求出结论.【详解】设直线方程为，依题意得，当且仅当时，等号成立，或（舍去），所求的三角形面积的最小值为.故答案为:.【点睛】本题以直线方程为背景，考查应用基本不等式求最值，属于基础题.11.如图，已知四边形为平行四边形，是边
6、上一点，且，若，则_.【答案】【解析】【分析】以为基底，将用基底表示，由已知求出，再由向量数量积的运算律，即可求解.【详解】，.故答案为:.【点睛】本题考向量的线性运算、向量基本原理、向量的数量积，考查计算求解能力，属于基础题.12.设函数，若，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据已知可得为奇函数且在上单调递增，不等式化为，转化为关于自变量不等式，即可求解.【详解】的定义域为，是奇函数，设为增函数，在为增函数，在为增函数，在处连续的，所以在上单调递增，化为，等价于，即，所以实数的取值范围为.故答案: 【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式，熟练掌握函数的性质是解题的关键
7、，属于中档题.13.在平面直角坐标系中，过点向圆和圆各引一条切线，切点分别为.若，且平面上存在一定点，使得到的距离为定值，则点的坐标为_.【答案】【解析】【分析】设，根据切线性质，将转化为与半径关系，求出点轨迹，即可得出结论.【详解】设，整理得，点的轨迹为以为圆心半径为的圆，所以为所求.故答案为:.【点睛】本题考查求轨迹、直线与圆的位置关系，利用圆的切线性质是解题的关键，属于中档题.14.设为自然对数的底数，已知函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是_.【答案】或【解析】【分析】时，求出，分析单调性确定零点的个数，当，通过配方结合二次函数的图像，分析出零点的情况，综合二者，即可求出结论.【
8、详解】当时，当时，单调递减，且，没有零点，当时，单调递增，单调递减，取得极大值.当，当或时，在存在唯一零点，而在没有零点，只有一个零点，不合题意，当时，在有两个零点，而此时在没有零点，有两个零点，满足题意，当时，在不存在零点，则需在存在两个零点，而，设，恒成立，在单调递增，且，的解为，综上，或时，恰有两个零点.故答案为:或.【点睛】本题考查二次函数的零点、利用导数研究函数的零点，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角的对边分别为，已知，且，
9、.（1）求证：；（2）求的面积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由已知可得，可得，代入已知等式，即可证明结论；（2）根据（1）的结论结合余弦定理，求出的值，即可求解.【详解】（1），根据正弦定理得，；（2），解得或（舍去），的面积为.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查计算求解能力，属于基础题.16.在平面直角坐标系中，已知圆过点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据圆的性质，圆心为的垂直平分线和直线的交点，求解得圆心坐标，求出半径，即可得出结论；（2）设
10、直线方程为，求出圆心到直线的距离，根据相交弦长公式，建立的方程，即可求解.【详解】（1）的垂直平分线方程为，即，圆心为直线与直线的交点，联立，解得，圆心，半径，圆的标准方程为；（2）直线平行于，设直线方程为，圆心到直线的距离为，解得，或（舍去），直线方程为.【点睛】本题考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系，应用圆的性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.17.己知向量，其中，且.（1）求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由，得出，结合平方关系，即可求解；（2）利用，结合两角差的正弦公式，求出值，即可求出结论.【详解】（1），；（2），.【点睛】本
11、题以向量坐标及平行向量为背景，考查应用三角恒等变换、同角间的三角函数关系求值、求角；考查计算求解能力，属于中档题.18.设二次函数.（1）若，求的解析式；（2）当，时，对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数在两个不同零点，将关于的不等式的解集记为.已知函数的最小值为，且函数在上不存在最小值，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据，由根与系数关系，求解即可；（2）求出对称轴，分类讨论求出，求解不等式，即可求出结论；（3）由已知求出关系，进而求出集合，再由条件可得在上具有单调性，即可求出的取值范围.【详解】（1），得，解得，；（2）对任意的，恒成立，
12、只需，当，时，对称轴方程为，当，即时，即，解得或（舍去），当时，或，与矛盾，舍去，综上，实数的取值范围是；（3），的最小值为，关于的不等式的解集，对称轴方程为，函数在上不存在最小值，所以在上具有单调性，或解得或（舍去），所以的取值范围是.【点睛】本题考查二次函数的解析式、二次函数最值以及单调性、一元二次不等式的求解，掌握二次函数图象和性质是解题的关键，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.19.如图，一段南北两岸互相平行、宽度为的景观河.靠南岸水域有一半径为半圆形亲水平台，圆心在南岸边上，北岸边有一风雨亭（底座大小忽略不计），风雨亭距位于北岸边上的点（在的正北方，在的右侧）.为了方便市民休闲
13、，现决定修建折线型步行栈道（图中粗线所示），其中与圆相切，段的造价为4万元/，段和段分别在南北两岸边上（其中为半圆的一条直径的左端点），段和段的造价都为2万元/.记为，.（1）若，求栈道段的长；（2）设三段栈道总造价为，求的最小值.【答案】（1）；（2）万元.【解析】分析】（1）设直线与圆切于，过做，垂足为，在中分别求出，即可求解；（2）由（1）得，在中，求出，求出总造价，根据函数特征，利用导数法求出极小值，进而求出其最小值.【详解】（1）设直线与圆切于，过做，垂足为，在中，在中，当时，；（2）由（1）得，在中，令，当单调递减，当单调递增，所以当时，取得极小值，也是最小值，此时，最小值为万元.
14、【点睛】本题考查三角函数实际应用问题，应用导数求最值，意在考查数学建模、数学抽象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20.已知函数.（1）若，并且函数在实数集上是单调增函数，求实数的取值范围；（2）若，求函数在区间上的值域；（3）若，都不为0，记函数的图象为曲线，设点，是曲线上的不同两点，点为线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点.试问：曲线在点处的切线是否平行于直线？并说明理由.【答案】（1）；（2）当的值域是，当的值域是，当的值域是；（3）曲线在点处的切线不平行于直线，理由详见解析.【解析】【分析】（1）只需在上恒成立，根据二次函数根的判别式，即可求解；（2）求导，对分类讨论，求出在单调性
15、，进而求出极值最值，即可得出结论；（3）由已知得到点坐标，由两点式求出的斜率，再由导数得到曲线在处的斜率，由斜率相等，设，得到，令，后构造函数，判断是否存在零点，即可得出结论.【详解】（1），当时，函数在实数集上是单调增函数，在上恒成立，实数的取值范围；（2）当，时，当，单调递增，单调递减，当，当，当，综上，当的值域是，当的值域是，当的值域是；（3），都不为0时，点横坐标为函数，曲线在处的切线斜率为，直线的斜率为，则，假设曲线在点处的切线平行于直线，则，即，不妨设，则，令，时恒成立，所以在上是增函数，又，即在上不成立，曲线在点处的切线不平行直线.【点睛】本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调
16、性、极值最值值域、证明等式问题，构造函数是解题的关键，体现了分类讨论思想方法，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.高三数学附加题部分说明：本试卷共4小题、满分40分，考试时间30分钟.请将答案填写在答题纸上.21.已知矩阵的一个特征值所对应的一个特征向量.（1）求矩阵；（2）求矩阵的另外一个特征值及其对应的一个特征向量.【答案】（1）；（2）矩阵的另一个特征值为，对应的一个特征向量是.【解析】【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得，即可求出矩阵；（2）根据特征行列式求出另一个特征值，根据特征值求出特征向量即可.【详解】（1）矩阵的一个
17、特征值所对应的一个特征向量，；（2），令，解得的另一个特征值为，当时，令，则，于是矩阵的一个特征向量是，所以矩阵的另一个特征值为，对应的一个特征向量是.【点睛】本题考查矩阵特征值和特征向量，考查计算求解能力，属于基础题.22.在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数，为常数）.在以原点为极点、以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.若直线与圆有两个公共点，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】将圆方程化为普通方程，直线极坐标方程方程展开，利用，化为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离小于半径，建立的不等量关系，求解即可.【详解】（为参数，为常数），消去参数，得，圆心，半径为，
18、得，由，直线的直角坐标方程为，直线与圆有两个公共点，圆心到直线的距离为，实数的取值范围是.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化、极坐标方程和直角坐标方程互化、直线与圆的位置关系，考查计算求解能力，属于中档题.23.已知实数满足，求证：【答案】证明见解析【解析】【分析】对进行转化，转化为含有形式，然后通过不等关系得证.【详解】解：因为，所以,得证.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题，解决问题的关键是要将要证的形式转化为已知的条件，考查了学生转化与化归的能力.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.请在答卷纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24.盒中共有1
19、0个球，其中有5个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.（1）从盒中一次随机取出3个球，求取出的3个球颜色相同的概率；（2）从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为，随机变量表示中的最大数，求的概率分布和数学期望.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出取3个球的所有情况，再求出颜色相同的所有可能，最后利用古典概型概率公式计算即可；（2）先判断的所有可能值，再分别求出所有可能值的概率，列出分布列，根据数学期望公式计算即可.【详解】（1）一次取3个球共有种可能，3个 球颜色相同共有种可能情况，取出的3个球颜色相同的概率；（2）的所有可能值为，则，随机变
20、量的分布列为234.【点睛】本题考查了排列组合、古典概型的概率、随机变量的分布列和期望，属于基础题.25.如图，已知长方体中，是棱上异于端点的点，且.（1）若异面直线与所成角的余弦值为，求实数的值.（2）若，记二面角的的大小为，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）以为坐标原点建立如下图坐标系，求出坐标，设点坐标，根据异面直线所成角与向量夹角关系，即可求解；（2）求出平面的法向量坐标，而平面法向量为，根据空间向量的二面角公式，即可求出结论.【详解】（1）以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，解得或（舍去），；（2）当， 设平面的法向量为，即，令，则，平面法向量为，【点睛】本题考查空间向量法求异面直线所成的角、二面角的正弦值，考查计算求解能力，属于中档题.