1、江苏省南通市如东高级中学2019-2020学年高一数学下学期6月第二次阶段测试试题（含解析）一、选择题1.在空间直角坐标系中，点P(2，1，4)关于xOy平面的对称点的坐标是A. (2，1，4)B. (2，1，4)C. (2，1，4)D. (2，1，4)【答案】A【解析】过点P向xOy平面作垂线，垂足为N，则N就是点P与它关于xOy平面的对称点P连线的中点，又N(2，1，0)，所以对称点为P(2，1，4)，故选A.2.圆的点到直线距离的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】将圆的方程化为标准方程，利用点到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系，即可得答案；【详解】圆的方
2、程可化为，圆心，圆心到直线的距离为，故圆与直线相离，所以圆上的点到直线的距离的最小值是.故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.3.已知三棱柱的体积为，点分别在侧棱上，且，则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用与，与，与棱柱的体积的关系求解，得到答案.【详解】设三棱柱的体积为，则，如图所示， 由四边形的面积为面积的，则 又，又，得得，同理，故三棱锥的体积为即三棱锥的体积为.故选：C.【点睛】本题考查了三棱锥的体积，根据体积公式得到棱锥间的体积关系，棱锥的体积与
3、棱柱的体积的关系，还考查了学生的空间想象能力和计算能力，属于中档题.4.一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下：零件数（个）2345加工时间（分钟）304050根据上表可得回归方程，则实数的值为（ ）A. 34B. 35C. 36D. 37【答案】C【解析】【分析】求出，代入回归方程，即可得到实数的值【详解】根据题意可得：,，根据回归方程过中心点可得：，解得：；故选：C【点睛】本题主要考查线性回归方程中参数的求法，熟练掌握回归方程过中心点是关键，属于基础题5.已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）A. B. C. D
4、. 【答案】A【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，根据其表面积为，得到，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到，联立求得半径和高，利用体积公式求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，因为其表面积为，所以，即，又因为它的侧面展开图是一个半圆，所以，即，所以，所以此圆锥的体积为.故选：A【点睛】本题主要考查圆锥的表面积和体积的计算以及侧面展开图问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6.在四面体中，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取的中点，连接， 则为异面直线与所成的角（或补角），再利用余弦定理求
5、解可得.【详解】取的中点，连接，则，则为异面直线与所成的角（或补角），因为，所以，故异面直线与所成角的余弦值为.故选：D【点睛】本题考查异面直线所成角，考查运算求解能力与空间想象能力.用平移法求异面直线所成的角的步骤一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角二证：即证明作出的角是异面直线所成的角三求：解三角形，求出作出的角如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角7.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答
6、案】A【解析】【分析】由古典概型概率公式分别计算出事件A和事件B发生的概率，又通过列举可得事件A和事件B为互斥事件，进而得出事件A或事件B至少有一个发生的概率即为事件A和事件B的概率之和【详解】事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“不小于5的点数出现”，P(A)，P(B)，又小于5偶数点有2和4，不小于5的点数有5和6，所以事件A和事件B为互斥事件，则一次试验中，事件A或事件B至少有一个发生的概率为P（AB）P(A)+P(B)，故选：A【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题8.在平面直角坐标系中，已知圆，过点的直线交圆于两点，且，则满足上述条件
7、的所有直线斜率之和为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设弦的中点为，连，先根据及垂径定理推出，再由点斜式设出直线的方程：，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，列式得出，然后由韦达定理即可得出所有直线斜率之和【详解】解：设弦的中点为，连，如图所示：根据垂径定理得：，为的中点所以，在中，在中，由消去得：，设直线的方程为：，即，所以到直线的距离，整理得：，所以所有直线斜率之和为.故选：A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及圆的标准方程、直线方程、直线与圆的弦长、点到直线距离公式和垂径定理的应用，考查数形结合思想和运算能力.9.在ABC中，内角A、B、C所对边分别
8、为a、b、c，若，则B的大小是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理，可得，令，再结合公式，列出关于的方程，解出后，进而可得到的大小.【详解】解：，即，令，显然，解得，B故选：D.【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k表示，是本题关键10.如图所示，三棱锥中，与都是边长为的正三角形，若，四点都在球的表面上，则球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设中点为，连接，则可推出即为二面角的平面角，设分别为等边与的中心，在平面内，过点分别作直线垂直于，则两条垂线的交点即为球心，球的半径为，最后结合数据求出即可求出球的表面
9、积.【详解】如图所示，设中点为，连接，则，且,故即为二面角的平面角，又，由余弦定理可得.设分别为等边与的中心，则，在平面内，过点分别作直线垂直于，则两条垂线的交点即为球心，连接，则,在中，设球的半径为，则，所以球的表面积为.故选：A.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，考查学生的空间思维和想象能力，解题关键是作出外接球的球心.二、多选题11.如图，正方体棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论正确的是（ ）A. 平面B. 始终在同一个平面内C. 平面D. 三棱锥的体积为定值【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，依次分析：如图可知，连接交于点，则，通过线面垂直的判定定理可证出平面，即可证出平
10、面，可判断A正确；根据，不在一个平面进而断定B错误；由于，根据线面平行的判定，即可判断出C正确；可分别求得和，且平面，则求出三棱锥的体积，且为定值，即可判断D项正确.【详解】解：由题可知，正方体棱长为，则平面，而平面，连接交于点，则，而，平面，平面，由于是线段上的两个动点，则，平面，又，所以平面，故选项A正确；，同在平面上，而不在平面上，不在同一个平面内，故选项B错误；，面，面，平面，故选项C正确；由于，且，由于平面，则平面，由于底面积和高都不变，则体积为定值，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，线面平行的判定，以及空间中直线与平面的位置关系和棱锥的体积公式，考查
11、推理证明能力.12.在三角形中，下列命题正确的有（ ）A. 若，则三角形有两解B. 若，则一定钝角三角形C. 若，则一定是等边三角形D. 若，则的形状是等腰或直角三角形【答案】BCD【解析】【分析】利用正弦定理可得A错误，由可推出，然后可得B正确，由得，然后可推出C正确，由可得，然后可推出D正确.【详解】因为，所以由正弦定理得，所以角只有一个解，故A错误由，即 所以，即所以，所以，故一定是钝角三角形故B正确因为所以所以，故C正确因为所以所以因为所以，所以或所以或，所以的形状是等腰或直角三角形故选：BCD【点睛】本题考查的是正弦定理及三角形的和差公式在解三角形中的应用，属于中档题.三、填空题13
12、.若一组数据3，2，4，5的平均数为3，则该组数据的方差是_.【答案】2【解析】【分析】通过平均数求出x，再利用方差公式求出方差得解.【详解】由已知可得：，解得.则该组数据的方差是.故答案为：2【点睛】本题考查了平均数和方差的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14.过点作圆的切线，切点为，则_.【答案】【解析】【分析】先求出圆的圆心为，半径为，再利用勾股定理求解.【详解】由题得，所以圆的圆心为，半径为.所以，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查圆的一般方程，考查切线长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.在四面体中，、分别是、的中点，若记，则_.【答案】【解析
13、】【分析】利用三角形加法运算法则得出，再根据平行四边形运算法则和向量减法运算，即可化简求出结果.【详解】解：在四面体中，、分别是、的中点，则.故答案为：.【点睛】本题考查空间向量的加减法运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题16.从正方体上截下一个角，得三棱锥.如果该三棱锥的三个侧面面积分别为，则该三棱锥的底面的面积是_.【答案】【解析】【分析】根据棱锥的三个侧面面积分别为，可求出，从而求出，再根据三边边长，求出的面积.【详解】如图所示，三棱锥的三个侧面面积分别为，不妨设，的面积分别为，则，则，得，得，则故底面的面积.故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥侧面积的概念，解
14、直角三角形，由三角形三边长求三角形的面积，余弦定理，是立体几体与解三角形的综合题，属于中档题.三、解答题17.锐角中，角所对的边分别为，若且.（1）求的外接圆直径；（2）求的取值范围.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角函数化简题中等式可得，从而求出，然后再利用正弦定理求出外接圆直径即可；（2）由正弦定理将变形为，然后利用三角函数即可求出取值范围.【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，所以，因为，故，又，故，由正弦定理得，即的外接圆直径为；（2）由正弦定理可得，又由题意可得，解得，所以，.【点睛】本题综合考查了三角函数与解三角形的应用，属于中档题，综合性较强.在
15、解三角形题中，常利用基本不等式或者三角函数求最值，本题也可考虑用基本不等式结合三边关系求范围.18.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线相切(1)求圆O的方程(2)直线与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点M，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由【答案】（1）x2+y2=4.（2）直线l的斜率为2.【解析】试题分析：（1）先根据圆心到切线距离等于半径求，再根据标准式写圆方程（2）由题意得OM与AB互相垂直且平分,即得原点O到直线l的距离，再根据点到直线距离公式求直线斜率试题解析：（1）设圆O的半径长为r,因为直线x-y-4=0与圆O相切,所以
16、 r=2. 所以圆O的方程为 x2+y2=4.（2）假设存在点M,使得四边形OAMB为菱形,则OM与AB互相垂直且平分,所以原点O到直线l:y=kx+3的距离d=|OM|=1.所以=1,解得k2=8,即k=2,经验证满足条件.所以存在点M,使得四边形OAMB为菱形，此时直线l的斜率为2.19.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2019年连续六个月（5-10）月）的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示.（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润（单位：百万元）与月份代码之间的关系，求关于的线性回归方程，并据此预测该公司2020年5月份
17、的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表）.若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？使用寿命1个月2个月3个月4个月总计材料类型2035351010010304020100参考数据：，.参考公式：回归直线方程，其中，.【答案】（1），35百万元；（2）采购新型材料.【解析】【分析】（1）通过折线图得到统计数据，然后分别求得，写出回归方程，
18、然后将代入求预测值.（2）由频率估计概率，分别得到型，B型材料使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率，然后利用均值公式求解，再根据其大小下结论.【详解】（1）由折线图可知统计数据共有6组，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21）.计算可得，.月度利润与月份代码之间的线性回归方程为，当时，.故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元；（2）由频率估计概率，型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，型新材料对应产品的使用寿命的平均数为；型材料可使用1个月，2个月，3个月、4个月的概率分别为0.1，0.
19、3，0.4，0.2，型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为.，应该采购新型材料.【点睛】本题主要考查线性回归直线方程的求法及应用以及均值的求法及应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.如图，在直三棱柱中，点是线段上的动点.（1）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请写出值，并证明此时，平面；若不存在，请说明理由；（2）已知平面平面，求证：.【答案】（1）存在，证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）在线段上存在点，当时，平面，连接，交于点，连接，则点是的中点，证明即可；（2）过作并交于点，由平面平面可得平面，从而得到，然后再证明，然后可得平面，可得.【详解】（1）在线段上存
20、在点，当时，平面.证明如下：连接，交于点，连接，则点是的中点，又当，即点是的中点，由中位线定理得，平面，平面，平面.（2）证明：过作并交于点，又平面平面，平面，平面平面，平面，又平面，.在直三棱柱中，平面，平面，又平面，平面，平面.又平面，【点睛】本题主要考查的是立体几何中的平行和垂直关系，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.21.为了贯彻落实中央省市关于新型冠状病毒肺炎疫情防控工作要求，积极应对新型冠状病毒疫情，切实做好2020年春季开学工作，保障校园安全稳定，普及防控知识，确保师生生命安全和身体健康.某校开学前，组织高三年级800名学生参加了“疫情防控”网络知识竞赛(满分150分).已知
21、这800名学生的成绩均不低于90分，将这800名学生的成绩分组如下：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，第六组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求的值并估计这800名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；（2）该校“群防群控”督查组为更好地督促高三学生的“个人防控”，准备从这800名学生中取2名学生参与督查工作，其取办法是：先在第二组第五组第六组中用分层抽样的方法抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取2名学生.记这2名学生的竞赛成绩分别为.求事件的概率.【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可知值，从而可由公式求出这800名学生的平均成绩；（2
22、）由分层抽样得出这三组抽取的人数分别为2，3，1，然后用列举法求出从这6名学生中随机抽取2名学生的所有可能情况，利用古典概率公式求出事件的概率.【详解】（1）由频率分布直方图可知，解得，这800名学生数学成绩的平均数为：；（2）由题意可知：第二组抽取2名学生，其成绩记为，则，；第五组抽取3名学生，其成绩记为，则；第六组抽取1名学生，其成绩记为，则；现从这6名学生中抽取2名学生的成绩的基本事件为：，共15个.其中事件包含的基本事件为：，共7个；记“这2名学生的竞赛成绩分别为，其中”为事件，则.【点睛】本题主要考查了分层抽样方法，古典概型及其概率公式的计算，频率分布直方图中平均数的估计等知识.22
23、.平行四边形中，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为（1）当为何值时，三棱锥体积最大？最大值为多少？（2）当时，求的大小【答案】(1) 当时，三棱锥的体积最大，最大值为;(2).【解析】【分析】（1）由题意可得BDOD，可得，OC平面ABDO，利用三棱锥的体积计算公式和正弦函数的单调性即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，由，即可得出【详解】（1）由题知OD为CD在平面ABD上的射影，CO平面ABD，平面，BDOD，二面角的平面角，则当且仅当，即时取等号，当时，三棱锥的体积最大，最大值为 （2）过O作OEAB于E，则OEBD为矩形，以O为原点，OE，OD，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则由，得，得，又为锐角，【点睛】本题考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做.