1、第九章平面解析几何第2课时直线的方程考情分析考点新知掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)的特点与适用范围；能根据问题的具体条件选择恰当的形式求直线的方程；了解直线方程的斜截式与一次函数的关系 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素. 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.1. 把直线方程AxByC0(ABC0)化成斜截式为_，化成截距式为_答案：yx1解析：因为ABC0，即A0，B0，C0，按斜截式、截距式的形式要求变形即可斜截式为yx，截距式为1.2. (必修2P88习题13改编
2、)过点(3，6)作直线l，使l在x轴，y轴上截距相等，则满足条件的直线方程为_答案：xy90，y2x解析：设该直线方程为1(a0)，则1，所以a 9，则该直线方程为xy90；又若过原点，则该直线方程为y2x.3. 下列四个命题： 过点P(1，2)的直线可设为y2k(x1)； 若直线在两轴上的截距相等，则其方程可设为1(a0)； 经过两点P(a，2)，Q(b，1)的直线的斜率k； 如果AC0，那么直线AxByC0不通过第二象限其中正确的是_(填序号)答案：4. (必修2P82第1题改编)已知直线l过点P(2，5)，且斜率为，则直线l的方程为_答案：3x4y140解析：由y5(x2)，得3x4y1
3、40.5. 经过两点(1，8)和(4，2)的直线的两点式方程是_，截距式方程是_，一般式方程是_答案：12xy601. 直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含直线xx0斜截式yy0k(xx0)不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0(A，B不同时为0)平面直角坐标系内的直线都适用2. 过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(1) 若x1x2，且y1y2时，直线垂直于x轴，方程为xx1(2) 若x1x2，且y1y2时，直线垂直于y轴，方程为yy1(3) 若x1x20，且y1y2时，直线即
4、为y轴，方程为x0(4) 若x1x2，且y1y20时，直线即为x轴，方程为y03. 线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则此公式为线段P1P2的中点坐标公式.题型1直线方程例1求经过点A(2，m)和B(n，3)的直线方程解：(解法1)利用直线的两点式方程直线过点A(2，m)和B(n，3) 当m3时，点A的坐标是A(2，3)，与点B(n，3)的纵坐标相等，则直线AB的方程是y3. 当n2时，点B的坐标是B(2，3)，与点A(2，m)的横坐标相等，则直线AB的方程是x2. 当m3，n2时，由直线的两点式方程得.(解法
5、2)利用直线的点斜式方程 当n2时，点A、B的横坐标相同，直线AB垂直于x轴，则直线AB的方程为x2. 当n2时，过点A，B的直线的斜率是k.又 过点A(2，m)， 由直线的点斜式方程yy1k(xx1)，得过点A，B的直线的方程是ym(x2)过点P(1，4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线的方程解：(解法1)设所求的直线方程为y4k(x1)显见，上述直线在x轴、y轴上的截距分别为1、4k.由于10且4k0可得，k0，b0)据题设有1，令Sab.，有S(ab)5549.当且仅当时，即2ab，且1，也即a3，b6时，取等号故所求的直线方程为1，即2xy60.例
6、2求过点A(5，2)，且在坐标轴上截距互为相反数的直线l的方程解：截距不为0时，设直线l的方程为1. l过A(5，2)， 1. a3. l的方程为xy30.截距为0时，l的方程为2x5y0.综上可得直线l的方程是xy30或2x5y0.直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程解：解法1：(借助点斜式求解)由于直线l在两轴上有截距，因此直线不与x、y轴垂直，斜率存在，且k0.设直线方程为y2k(x3)，令x0，则y3k2；令y0，则x3.由题设可得3k23，解得k1或k.故l的方程为y2(x3)或y2(x3)即直线l的方程为xy50或2x3y0.解法2：(利用截距式求解)由
7、题设，设直线l在x、y轴的截距均为a.若a0，则l过点(0，0)又过点(3，2)，l的方程为yx，即l：2x3y0.若a0，则设l为1.由l过点(3，2)，知1，故a5.l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为2x3y0或xy50.题型2直线方程的形式例3求经过点A(2，2)且在第二象限与两个坐标轴围成的三角形面积最小时的直线的方程解：(解法1)设所求直线方程为1(a0)， 1， a.又a2.Sab (b2)4248. 当且仅当b2，即b4时S最小此时a4，b4，故xy40为所求直线方程(解法2)设所求直线方程为y2k(x2)，显然k0，由题意，S|2k2| 42(k)8.当且仅当k1时取
8、等号，故xy40为所求直线方程直线l过点M(2，1)，且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B.点O是坐标原点(1) 当ABO的面积最小时，求直线l的方程；(2) 当最小时，求直线l的方程解：(1) 如图，设a，b，ABO的面积为S，则Sab，并且直线l的截距式方程是1，由直线通过点(2，1)，得1，所以.因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b10.由此得Sbbb1b12224.当且仅当b1，即b2时，面积S取最小值4，这时a4，直线的方程为1.即直线l的方程为x2y40.(2) 如上图，设BAO，则，所以，当45时，有最小值4，此时直线斜率为1，直线l的方程为xy30.题型3
9、待定系数法求直线方程例4过点M(0，1)作一条直线，使它被两条直线l1：x3y100，l2：2xy80所截得的线段恰好被M点平分求此直线方程解：(解法1)由于过点M(0，1)且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为ykx1，与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点，联立方程组xA，xB. 点M平分线段AB， xAxB2xM，即有0，解得k.故所求的直线方程为x4y40.(解法2)设所求的直线与已知两条直线l1、l2分别交于A、B两点， 点B在直线l2：2xy80上， 设B(t，82t)，由于M(0，1)是线段AB的中点， 根据中点坐标公式得A(t，2t6)，而A点在直线l1：x3
10、y100上， (t)3(2t6)100，解之得t4， B(4，0)故所求直线方程为x4y40.已知直线l：xy43m0.(1) 求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；(2) 过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程(1) 证明：m2xy40，由题意得直线l恒过定点M.(2) 解：设所求直线l1的方程为y2k(x1)，直线l1与x轴、y轴交于A、B两点，则A，B(0，k2)AB的中点为M，解得k2.所求直线l1的方程为2xy40.1. 已知直线的点斜式方程为y1(x2)，则该直线另外三种特殊形式的方程为_，_，_答案：yx1解析：将y1(x2)移项、展开括
11、号后合并，即得斜截式方程yx.因为点(2，1)、均满足方程y1(x2)，故它们为直线上的两点由两点式方程得，即.由yx知，直线在y轴上的截距b，又令y0，得x.故直线的截距式方程为1.2. 将直线y3x绕原点逆时针旋转90，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为_答案：yx解析：将直线y3x绕原点逆时针旋转90得到直线yx，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y(x1)，即yx.3. 直线l经过点P(5，4)，且与两坐标轴围成的三角形面积为5，则直线l的方程为_答案：8x5y200或2x5y100解析：设所求直线l的方程为1， 直线l过点P(5，4)， 1，即4a5bab.又由已知有|a|b
12、|5，即|ab|10，解方程组得或故所求直线l的方程为1或1.即8x5y200或2x5y100.4. 若点P(1，1)为圆(x3)2y29的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为_答案：2xy10解析：由题意得，kMN1，所以kMN2，故弦MN所在直线的方程为y12(x1)，即2xy10.5. 已知ABC中，A(1，4)，B(6，6)，C(2，0)求：(1) ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；(2) BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程解：(1) 平行于BC边的中位线就是AB、AC中点的连线因为线段AB、AC中点坐标分别为，所以这条直线的方程为，整理得
13、一般式方程为6x8y130，截距式方程为1.(2) 因为BC边上的中点为(2，3)，所以BC边上的中线所在直线的方程为，即一般式方程为7xy110，截距式方程为1.6. 设直线l的方程为(a1)xy2a0(aR)(1) 若l在两坐标轴上截距相等，求l的方程；(2) 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围解：(1) 当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为零， a2，即方程为3xy0符合题意当直线不过原点时，由截距存在且均不为0， a2，即a11， a0，即方程为xy20.(2) (解法1)将l的方程化为y(a1)xa2， 或 a1.综上可知a的取值范围是a1.(解法2)将l的方程化为(x
14、y2)a(x1)0(aR)它表示过l1：xy20与l2：x10交点(1，3)的直线系(不包括x1)由图象可知l的斜率(a1)0，即a1时，直线l不经过第二象限1. 直线xa2ya0(a0，a是常数)，当此直线在x、y轴上的截距和最小时，a_答案：1解析：方程可化为1，因为a0，所以截距之和ta2，当且仅当a，即a1时取等号2. 已知直线l1的方向向量为a(1，3)，直线l2的方向向量为b(1，k)，若直线l2经过点(0，5)且l1l2，则直线l2的方程为_答案：x3y150解析： kl13，kl2k，l1l2， k，l2的方程为yx5，即x3y150.3. 当过点P(1，2)的直线l被圆C：(
15、x2)2(y1)25截得的弦最短时，直线l的方程为_答案：xy10解析：易知圆心C的坐标为(2，1)，由圆的几何性质可知，当圆心C与点P的连线与直线l垂直时，直线l被圆C截得的弦最短由C(2，1)，P(1，2)可知直线PC的斜率为1，设直线l的斜率为k，则k(1)1，得k1，又直线l过点P，所以直线l的方程为xy10.4. 不论m取何值，直线(m1)xy2m10恒过定点_答案：(2，3)解析：把直线方程(m1)xy2m10，整理得(x2)m(xy1)0，则得5. 已知两点A(1，2)、B(m，3)(1) 求直线AB的方程；(2) 已知实数m，求直线AB的倾斜角的取值范围解：(1) 当m1时，直
16、线AB的方程为x1，当m1时，直线AB的方程为y2(x1)(2) 当m1时，；当m1时，m1(0，k(，.综合，直线AB的倾斜角.6. 已知直线l：kxy12k0.(1) 求证：直线l过定点；(2) 若直线l交x轴负半轴于点A，交y正半轴于点B，AOB的面积为S，试求S的最小值并求出此时直线l的方程(1) 证明：由已知得k(x2)(1y)0，无论k取何值，直线过定点(2，1)(2) 解：令y0得A点坐标为，令x0得B点坐标为(0，2k1)(k0)，SAOB|2k1|(2k1)(44)4.当且仅当4k，即k时取等号即AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为xy110，即x2y40.1. 求直线方程的方法主要有以下两种：(1) 直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2) 待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程2. 解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最值备课札记