1、2.3.2等比数列的前n项和一、非标准1.等比数列an各项为正,a3,a5,-a4成等差数列,Sn为an的前n项和,则=()A.2B.C.D.解析:设等比数列an的公比为q,则有q0,又a3,a5,-a4成等差数列,a3-a4=2a5,a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q=,q=,=1+q3=1+.答案:C2.设等比数列an的前n项和为Sn,若=3,则等于()A.2B.C.D.3解析:设其公比为q,由已知可得=1+q3=3,q3=2.另解 可知S3,S6-S3,S9-S6成等比数列,则可设S6=3,S3=1,则(S6-S3)2=S3(S9-S6),解得S9
2、=7,.答案:B3.等比数列an中,公比q1,它的前n项和为M,数列的前n项和为N,则的值为()A.2qnB.a1qn-1C.qn-1D.2qn-1解析:an是公比为q的等比数列,数列是首项为,公比为的等比数列,代入等比数列的前n项和公式得qn-1.答案:C4.各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于()A.80B.30C.26D.16解析:若q=1,由Sn=na1=2,知S3n=3na1=614,故q1.则解得qn=2,=-2.所以S4n=(1-q4n)=(-2)(1-24)=30.答案:B5.数列an中,an0,a1=1,且3+2an+1an-=0
3、,则a1+a3+a5+a2n-1的值为()A.B.C.D.解析:由3+2an+1an-=0,得3+2-1=0,解得=-1,因为an0,所以=q=.数列an为等比数列,且首项为1,公比为,故a1+a3+a5+a2n-1是其中的奇数项前n项之和,a1+a3+a5+a2n-1=.答案:D6.(2014广东珠海质量监测)等比数列an共有奇数项,所有奇数项和S奇=255,所有偶数项和S偶=-126,末项是192,则首项a1=()A.1B.2C.3D.4解析:设等比数列an共有2k+1(kN+)项,则a2k+1=192,则S奇=a1+a3+a2k-1+a2k+1=(a2+a4+a2k)+a2k+1=S偶+
4、a2k+1=-+192=255,解得q=-2,而S奇=255,解得a1=3,故选C.答案:C7.等比数列an中,若前n项和Sn=2n-1,则+=.解析:当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1,当n=1时,a1=S1=21-1=1适合上式,an的通项公式an=2n-1.=4n-1,即数列构成以1为首项,4为公比的等比数列.前n项和Tn=+(4n-1).答案:(4n-1)8.某人从2008年1月1日起,且以后每年1月1日到银行存入a元(一年定期),若年利率r保持不变,且每年到期后存款均自动转存为新一年定期,到2014年1月1日将所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数为
5、.解析:2013年1月1日,2012年1月1日,2008年1月1日存入钱的本息分别为:a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)6,相加即可.答案:(1+r)7-(1+r)9.设等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列.类比以上结论有:设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4,成等比数列.解析:b1b2b3b4=T4,=b5b6b7b8=b1q4b2q4b3q4b4q4=T4q16,=T4q32,=T4q48,故T4,成等比数列.答案:10.已知数列an是首项为1的等差数列,且公差不为零.等比数列bn的前三项分别是a1,a2,a6.(1)求数列an
6、的通项公式an;(2)若b1+b2+bk=85,求正整数k的值.解:(1)设数列an的公差为d,a1,a2,a6成等比数列,=a1a6.(1+d)2=1(1+5d).d2=3d.d0,d=3.an=1+(n-1)3=3n-2.(2)数列bn的首项为1,公比为q=4.b1+b2+bk=,=85.4k=256.k=4.正整数k的值为4.11.一个球从100 m高处自由落下,每次着地后又跳回到原高度的一半再落下.(1)当它第10次着地时,经过的路程共是多少?(2)当它第几次着地时,经过的路程共是293.75 m?解:(1)球第1次着地时经过了100 m,从这时到球第2次着地时共经过了2 m,从这时到
7、球第3次着地时共过了2 m到球第10次着地时总共经过的距离为100+2+2+2=100+100=100+300(m).(2)设第n+1次着地时,经过的路程是293.75 m;由题意得100+=293.75.利用计算器计算得n=5.则第6次着地时经过的路程是293.75 m.12.(2014重庆高考)已知an是首项为1,公差为2的等差数列,Sn表示an的前n项和.(1)求an及Sn;(2)设bn是首项为2的等比数列,公比q满足q2-(a4+1)q+S4=0.求bn的通项公式及其前n项和Tn.解:(1)因为an是首项a1=1,公差d=2的等差数列,所以an=a1+(n-1)d=2n-1.故Sn=1+3+(2n-1)=n2.(2)由(1)得a4=7,S4=16.因为q2-(a4+1)q+S4=0,即q2-8q+16=0,所以(q-4)2=0,从而q=4.又因为b1=2,bn是公比q=4的等比数列,所以bn=b1qn-1=24n-1=22n-1.从而bn的前n项和Tn=(4n-1).