1、2基本不等式第一课时 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练 第一课时 学习目标 学习目标 1.理解并掌握基本不等式的结构和成立的条件，及它的几种变形形式和公式的逆运用；2利用基本不等式比较大小，证明不等式课前自主学案 1对于任意实数a都有a2_0；当且仅当a_时等号成立；2对于任意实数a，b都有a2b2_2ab，当且仅当_时等号成立；0ab3对于任意正实数a，b都有ab_2 ab，当且仅当_时等号成立；4对于任意正实数 a，b 都有 ab_ab24，当且仅当_时等号成立；abab5不等式 abab2 的几何解释：如图，AB 是O 的直径，C 是 AB 上任意一点，DE 是过 C 点垂直 A
2、B 的弦若 ACa，BCb，则 AB_，O 的半径 R_，RtACDRtDCB，CD2_ACBCab，CD_，CDR_，当且仅当 C 点与 O 点重合时，CDRAB2，即 abab2.abab2ababab2利用基本不等式比较大小 若 0a1,0b1，且 ab，则 ab，2 ab，2ab，a2b2 中最大的是()Aa2b2 B2 abC2abDab例1课堂互动讲练 考点突破【思路点拨】运用算术平均数与几何平均数定理来求【解析】0a1,0b1，ab，ab2 ab，a2b22ab，四个数中最大的一个应从 ab，a2b2中选择而 a2b2(ab)a(a1)b(b1)又0a1,0b1，a(a1)0，b
3、(b1)0，a2b2(ab)0，即a2b2ab，ab最大，选D.【答案】D【名师点评】为了得到几个数中的最大者，可将这几个数分成若干组(如 ab,2 ab与 a2b2,2ab 两组)，将每组中的最大数放在一起，其最大者即为所求，这样做可以简化解题过程变式训练 1 设 0ab，ab1，则12，b,2ab，a2b2 中最大的是()A.12BbC2abDa2b2解析：选 B.0a12，12b2ab.只需比较 a2b2 与 b 的大小，a2b2b(1b)2b2b2b23b1(b1)(2b1)0，a2b20，b0 时 ab2 ab，bca acb 2bca acb 2c.同理：bca abc 2bca
4、abc 2b.acb abc 2acb abc 2a.【名师点评】基本不等式具有将“和式”和“积式”相互转化的放缩功能，常常用于证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点将以上三个不等式相加得：2(bca acb abc)2(abc)，bca acb abc abc.变式训练2 已知：a、b、c、d都是正数，求证：(abcd)(acbd)4abcd.证明：由 a，b，c，d 都是正数得：abcd2 abcd0，acbd2 acbd0，14(abcd)(acbd)abcd.即(abcd)(acbd)4abcd.【思路点拨】利用均值不等式x2y22xy(x，
5、yR)进行证明若 a，b，c，d 都是正数，求证：abcd44 abcd.例3【证明】a，b，c，d 都是正数，abcd4ab2 cd22ab2 cd2ab cd 4 abcd(当且仅当 abcd 时取“”)【名师点评】为了达到证明的目的，经常把基本不等式先变形再应用变式训练 3 已知 a，b，c(0，)，且 abc1，求证：1a1b1c9.证明：1a1b1cabcaabcbabcc3baab caac cbbc32229.当且仅当 abc13时取等号已知a，b，c是不全相等的正数，试证明：(a2bb2a)(a2cc2a)(b2cc2b)8a3b3c3.例误区警示【错证】a，b，c 是不全相等
6、的正数，a2bb2a2 a3b3；a2cc2a2 a3c3；b2cc2b2 b3c3.三式相乘得(a2bb2a)(a2cc2a)(b2cc2b)8a3b3c3.【错因】审题出错，a，b，c不全相等与a，b，c各不相等混淆三式相乘的条件不充分【自我校正】a，b，c 是不全相等的三个正数，a2bb2a2 a3b30；a2cc2a2 a3c30；b2cc2b2 b3c30.在以上三个不等式中至少有一个不取等号将以上三个不等式相乘可得(a2bb2a)(a2cc2a)(b2cc2b)8a3b3c3.1创设应用基本不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立且使“和”或“积”为定值方法感悟 2对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆向运用等3求函数 yaxbx(a0，b0)的最值，主要依据基本不等式及函数的单调性