1、江苏省南通市2020届高三数学下学期第三次全真冲刺模拟试题（含解析）一填空题1.设集合，若，则_ .【答案】4【解析】【分析】由，所以，即可求解，得到答案.【详解】由题意，集合，因为，所以，故.故答案为.【点睛】本题主要考查了利用集合的运算求解参数问题，其中解答中熟记集合交集的概念，得到是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于容易题.2.已知复数满足（为虚数单位），则复数的模为_【答案】【解析】【分析】推导出z1i，由此能求出复数z-i的模【详解】复数z满足zi1+i（i是虚数单位），z1i，复数z-i=12i, 故 的模为：故答案为【点睛】本题考查复数的模的求法，考查复数的运算
2、法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，样本容量为，如图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间的为一等品，在区间和的为二等品，其余均为三等品，则样本中三等品的件数为_.【答案】【解析】【分析】由频率分布直方图计算一等品和二等品的频率，求三等品的频率，根据频数=样本容量频率，计算样本中三等品的件数.【详解】由频率分布直方图可知一等品的频率是，二等品的频率是，所以样品中三等品的频率是，所以样品中三等品的件数是.故答案为：50【点睛】本题考查频率分布直方图中频率，频数的计算，属于基础题型.4.幂函数的单调增区间为_.【答案】【解
3、析】【分析】由幂函数的性质可知函数在在是减函数，并且根据偶函数的性质可知单调递减区间.【详解】因为幂函数在是减函数，又因为函数是偶函数，所以函数在是增函数.故答案为：【点睛】本题考查幂函数的性质，偶函数与单调性的关系，属于基础题型.5.根据图中所示的伪代码，可知输出的结果S为_【答案】【解析】【分析】模拟程序语言的运行过程知该程序运行后输出S3+4+5【详解】模拟程序的运行过程如下，S0，I2，满足条件；I3时，S0+33，满足条件；I4时，S3+47，满足条件；I5时，S7+512，不满足条件；该程序运行后输出S12故答案为12【点睛】本题考查了程序语言的应用问题，是基础题6.设实数满足则的
4、最大值为_【答案】3【解析】【详解】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，则直线过点C时取最大值3 考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.7.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为_【答案】【解析】分析】根据渐近线与直线的平行关系确定出的关系，再根据焦点在上确定出的值，结合计算出即可得到双曲线的方程.【详
5、解】因为一条渐近线与平行，所以，又因为双曲线的焦点为，且直线过点，所以，所以，所以，所以双曲线的方程为：.故答案为：.【点睛】本题考查根据直线的平行关系求解参数、根据的值求解双曲线的方程，难度一般.当直线过标准形式椭圆或者双曲线的焦点时，此时焦点一定为直线与坐标轴的交点.8.已知双曲线的左右顶点为，焦点在轴上的椭圆以为顶点，且离心率为，过作斜率为的直线交双曲线于另一点，交椭圆于另一点，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】首先由已知求得椭圆方程，设，利用中点坐标公式表示，将两点坐标分别代入椭圆和双曲线方程，求得的值，并表示斜率.【详解】对于椭圆，显然，所以椭圆方程为，设，则由得.因为点在双曲
6、线上，点在椭圆上，所以，解得，所以 , 故直线的斜率.故答案为：【点睛】本题考查椭圆，双曲线方程，直线与椭圆和双曲线的位置关系，点与椭圆和双曲线的位置关系，属于基础题型.9.已知函数，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】方法一：首先化简，由条件求出的值，然后利用诱导公式求值.方法二：首先化简函数，再根据条件求出，再将展开，计算求值.【详解】方法一 ，因为，所以，所以.方法二， 因为，所以，所以.故答案为：【点睛】本题考查三角函数恒等变形，重点考查转化与化归，变形，计算，属于基础题型.10.已知函数，则的解集是_.【答案】【解析】【分析】首先去掉绝对值，写成分段函数，并判断分段函数的单调性，
7、根据函数的单调性，解抽象不等式.【详解】，所以在上单调递增，在上为常数函数，则，解得.【点睛】本题考查函数绝对值函数，解抽象不等式，重点考查判断函数的单调性，属于中档题型.本题的关键是将函数写成分段函数，并判断函数的单调性.11.定义在上的函数的值恒非负，则的最大值为_.【答案】【解析】【分析】由题意可知恒成立，即，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值.【详解】由题意可知，所以是减函数，所以函数的最小值是 因为恒成立，所以，即 ，即，所以的最大值是.故答案为：【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性，最值，恒成立问题，属于中档题型，本题的关键是将恒成立问题转化为.12.在中，若，则的值为
8、_.【答案】【解析】【分析】首先设，利用向量数量积和余弦定理求得，再代入余弦定理求值.【详解】设，所以所以即 所以 所以.故答案为：【点睛】本题考查向量数量积和余弦定理的综合应用，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是将已知条件设为.13.若中，45，为所在平面内一点且满足 ，则长度的最小值为_【答案】【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，设，则，求得，令，解得，进而利用二次函数的性质，求得取得最小值.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意，设，所以， 所以，即，令，则，所以，所以 ，当且仅当时，取得最小值.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的应用问题，其
9、中建立适当的直角坐标系，利用向量的数量积的运算，得到，利用表示出关于的二次函数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，试题有一定的综合性，属于中档试题.14.已知偶函数满足，且在时，若存在满足，且，则最小值为_.【答案】【解析】【分析】首先由条件可知函数的最小正周期为4的偶函数，并且函数的值域是，对任意都有，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，然后得到的最小值.【详解】因为偶函数满足，所以，所以函数是最小正周期为的偶函数，且在时，所以函数的值域为，对任意都有，要使取得最小值，尽可能多让取得最值点，且，因为，且，根据，相应的的最小值为.故答案为：1009【点睛】本题考查二次函数的图形
10、和性质，考查函数的周期性，有界性，考查了分析问题和解决问题的能力，考查转化与化归的思想，属于中档题型.二解答题15.已知函数的最小值是2，其图象经过点（1）求的解析式；（2）已知，且，求的值【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）求三角函数解析式，一般是根据待定系数法求解：根据最小值是2，确定A2根据图象经过点，可得，解得（2）由已知得，求，利用同角三角函数关系得，代入化简得的值试题解析：（1）因为的最小值是2，所以A2又由的图象经过点，可得，所以或，又，所以，故，即（2）由（1）知，又，故，即，又因为，所以，所以考点：三角函数解析式，给值求值16.如图，在四棱锥中，.（1）求证：平面平面
11、；（2）若为的中点，求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由，得平面，由此能证明平面平面；（2）取中点，连结，推导出平面，平面,从而平面平面，由此能证明平面【详解】（1），且平面,平面，平面，平面平面（2）取中点，连结，为的中点，四边形是平行四边形，平面，平面,所以平面，同理平面，平面 平面平面，平面，平面【点睛】本题考查面面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力17.有一块以点为圆心，半径为百米的圆形草坪，草坪内距离点百米的点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点修一条笔直小路交草坪圆周于两点，为了方便居民散
12、步，同时修建小路，其中小路的宽度忽略不计.（1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积.(结果保留根号和)【答案】（1）(百米).（2）.【解析】【分析】（1）要使最短，只需要最小即可，根据弦长公式可知当时，弦最小；（2）当广场所在的圆与内切时，面积最大，由弦长公式可得，再由三角形面积公式表示半径，再通过构造函数，利用导数求函数的最值.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则.（1）小路的长度为，因为长为定值，故只需要最小即可.作于，记，则，又，故，此时点为中点.故小路的最短长度为(百米).
13、（2）显然，当广场所在的圆与内切时，面积最大，设的内切圆的半径为，则的面积为，由弦长公式可得，所以，设，则，所以，又因为，即，所以，所以，所以，即的内切圆的面积最大值为.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，函数的应用，重点考查数形结合分析问题的能力，抽象概括能力，以及计算能力，属于重点题型，第二问是本题的难点，需要表示三角形面积和弦长公式，转化求半径.18.如图，点分别为椭圆的左右顶点和右焦点，过点的直线交椭圆于点.（1）若，点与椭圆左准线的距离为，求椭圆的方程；（2）已知直线的斜率是直线斜率的倍.求椭圆的离心率；若椭圆的焦距为，求面积的最大值.【答案】（1）.（2）；【解析】【分析】由所给条
14、件列出关于的式子，求出椭圆方程；（2）方法一，首先利用点在椭圆上，求得，再利用直线方程与椭圆方程联立，求得，再利用的关系，求得椭圆离心率；方法二，利用的关系，分别设直线的方程为，直线的方程为，与椭圆方程联立，解出点的坐标，利用点三点共线，求得离心率.首先求得椭圆方程，并表示面积，由方法一，代入根与系数的关系，求面积的最大值.【详解】（1），点与椭圆左准线的距离为，解得椭圆的方程为.（2）法一：显然，设，则点在椭圆上，(i)，设直线，与椭圆联立方程组消去得：，其两根为，(*)，将(*)代入上式化简得：(ii)又（iii）由（i）（ii）（iii）得：，即，解得或，又，即椭圆的离心率为.法二：显然
15、，设直线的方程为，直线的方程为.由得，注意到其一根为，另一根为，即，同理由得.由三点共线得，化简得：，即椭圆的离心率为.由，又椭圆的焦距为，由方法一得面积，令，则，在为减函数，即时，即面积的最大值为.【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系的综合应用，重点考查转化，变形，计算能力，属于中档题型，本题的关键是直线与椭圆方程联立，利用根与系数的关系转化坐标表示的几何关系，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.19.已知数列的首项，其前项和为，设.（1）若，且数列是公差为的等差数列，求；（2）设数列的前项和为，满足.
16、求数列通项公式；若对，且，不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）.（2）；【解析】【分析】（1）由条件知，即，从而判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为，利用公式，求和；（2）首先求得数列的通项公式，再利用构造可得，求得数列为等比数列，且公比为，从而求得数列的通项公式；不等式等价为，利用的结果，讨论为奇数和为偶数两种情况，讨论求的取值范围.【详解】（1）由条件知，即，所以数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，且公差均为.由，所以，即，所以，.所以.（2）由，得，由于符合上式，所以，所以.所以，即，所以数列为等比数列，且公比为，因为，所以.不等式即为，由于，所以不等式即为.当是奇数
17、时，所以，即对，且恒成立，所以，解得.当为偶数时，由，得对，且恒成立，所以，解得，因为，所以的取值范围是.【点睛】本题考查递推公式求通项公式，数列的函数关系，重点考查转化与化归，分类讨论的思想，函数与不等式的关系，属于难题.20.已知函数，（1）当时，若曲线与直线相切，求c的值；若曲线与直线有公共点，求c的取值范围（2）当时，不等式对于任意正实数x恒成立，当c取得最大值时，求a，b的值【答案】（1）,（2），【解析】【分析】（1）当时，所以，设切点为，列出方程组，即可求得，得到答案； 由题意，得方程有正实数根，即方程有正实数根，记，利用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解的取值范围；（2）由
18、题意得，当时，对于任意正实数恒成立，即当时，对于任意正实数恒成立， 由（1）可得，进而得到， ，得到时，进而得到 对于任意正实数恒成立，再利用二次函数的性质，即可得到结论.【详解】（1）解：当时，所以 设切点为，则 由得，由得代入得， 所以 由题意，得方程有正实数根，即方程有正实数根， 记，令， 当时，；当时，； 所以在上为减函数，在上为增函数； 所以 若，则，不合； 若，由知适合； 若，则，又，所以，由零点存在性定理知在上必有零点 综上，c的取值范围为 （2）由题意得，当时，对于任意正实数x恒成立， 所以当时，对于任意正实数x恒成立， 由（1）知， 两边同时乘以x得， 两边同时加上得， 所以
19、（*），当且仅当时取等号 对（*）式重复以上步骤可得， 进而可得，所以当，时，当且仅当时取等号所以 当取最大值1时，对于任意正实数x恒成立，令上式中得， ，所以，所以对于任意正实数x恒成立，即对于任意正实数x恒成立，所以，所以函数的对称轴，所以，即，所以， 又由，两边同乘以x2得，所以当，时，也恒成立，综上，得，【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3
20、)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.21.已知，点在变换:作用后，再绕原点逆时针旋转，得到点若点的坐标为，求点的坐标【答案】【解析】分析】先根据伸缩变换以及旋转变换得，再根据对应点关系求结果.【详解】 设，则由，得所以，即【点睛】本题考查伸缩变换以及旋转变换，考查基本求解能力.22.在极坐标系中，设为曲线：上任意一点，求点到直线：的最大距离.【答案】【解析】【分析】将圆和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，转化为求圆上的点到直线距离的最大值，求出圆心到直线距离，即可求出结论.【详解】曲线：化直角坐标方程为表示圆，化为直角坐标方程为，圆上点到直线
21、距离的最大值为.【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程互化、圆上点到直线距离的最值，考查数形结合思想，属于基础题.23.已知正数满足，求的最小值【答案】27【解析】【分析】由得，待求式可化，根据柯西不等式即可求解.【详解】由于，所以当且仅当，即时，等号成立. 所以最小值为27.【点睛】本题主要考查了柯西不等式，属于中档题.24.如图，在直三棱柱中，已知，.是线段的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的大小的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空间向量研究线面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值
22、的绝对值，也是线面角的正弦值（2）利用空间向量研究二面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求两个平面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值，根据图形确定二面角的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系.【详解】因为在直三棱柱中，所以分别以、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则,因为是的中点，所以，（1）因为，设平面的法向量，则，即，取，所以平面的法向量，而，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；（2），设平面的法向量，则，即，取，平面的法向量，所以，二面角的大小的余弦值考点：利用空间向量研究线面角、二面角25.（1）求证：；（2）求证：.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）方法一，利用组合数公式计算，方法二，利用组合数阶乘公式计算；（2）首先按照公式化简求和和组合数公式，再根据（1）变形为，构造数列，令，得到数列是周期为6的数列，最后计算求值.【详解】由 所以.法二：证明也可直接用组合数定义证明，如下：（2）由（1）得，依次取，则有，所以，原式构造数列，令则所以所以，即，即，所以，即数列是周期为的数列.又因为，所以.【点睛】本题考查组合数证明，构造数列，数列的函数性质，重点考查公式的灵活应用，转化与化归的能力，逻辑推理能力，属于难题.