1、-1-3.1.5 空间向量运算的坐标表示-2-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 学习目标 思维脉络 1.掌握空间向量运算的坐标表示.2.会根据两空间向量的坐标,判断两个向量共线或垂直.3.掌握空间向量的长度,两向量夹角以及两点间的距离等公式,能运用这些公式解决问题.-3-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 2 1 3 1.空间向量的坐标运算
2、法则设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),R.则:(1)a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)a=(a1,a2,a3);(4)ab=a1b1+a2b2+a3b3.练一练 1已知向量 a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4),则有:a+b=,a-2b=,(3a)(-2b)=.解析:a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2,-2,2).a-2b=(2,-1,-2)-2(0,-1,4)=(2,-1,-2)-(0,-2,8)=(2,1,-10).(3a)(-2b)=(6,-3,-6)(0,2,-8)=
3、42.答案:(2,-2,2)(2,1,-10)42-4-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 2 1 3 2.空间向量平行与垂直条件的坐标表示若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则:(1)aba=ba1=b1,a2=b2,a3=b3(R);(2)abab=0a1b1+a2b2+a3b3=0.练一练 2若空间向量 a=(1,3),b=(,4,+4),若 ab,则=;若 ab,则=.解析:若 ab,则有1=4=3+4,解得=2;若 ab,则有 ab=8+
4、12=0,解得=-32.答案:2-32-5-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 1 2 3 3.空间向量模、夹角、两点间距离的坐标计算公式若 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)|a|=12+22+32;(2)cos=|=11+22+33 12+22+32 12+22+32;(3)若 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则 A,B 两点间的距离dAB=|=(1-2)2+(1-2)2+(1-2)2.-6-3.1.5 空间向量运算的 坐
5、标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 1 2 3 练一练 3若 a=(1,-3,2 2),b=(0,4,2),则|a|=;a 与 b夹角的余弦值等于 .解析:|a|=12+(-3)2+(2 2)2=18=3 2.cos=|=10-34+2 2 23 23 2=-49.答案:3 2-49-7-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一 探究四 空间向量的坐标运
6、算1.一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.2.空间向量进行坐标运算的规律是首先进行数乘运算,再进行加法或减法运算,最后进行数量积运算,先算括号里,后算括号外.3.空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算法则基本一样,应注意一些计算公式的应用,例如,(1)(a+b)2=a2+2ab+b2;(2)(a-b)2=a2-2ab+b2;(3)(a+b)(a-b)=a2-b2.-8-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一
7、 探究四 典例提升 1已知 O 为原点,A,B,C 三点的坐标分别是 A(4,-1,4),B(2,5,-2),C(-2,1,5).(1)求 +,-3 ,;(2)若 =12(),求点 P 坐标;(3)若 p=,q=,求(p+q)(p-q).思路分析:先根据点的坐标计算求得各向量的坐标,再按照坐标运算的法则计算求解.解:(1)因为 =(4,-1,4),=(-4,-4,7),所以 +=(4,-1,4)+(-4,-4,7)=(0,-5,11).因为 =(-2,6,-6),=(-6,2,1),所以 -3 =(-2,6,-6)-3(-6,2,1)=(16,0,-9).因为 =(6,-2,-1),=(4,4
8、,-7),所以 =(6,-2,-1)(4,4,-7)=24-8+7=23.-9-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一 探究四(2)设点 P 的坐标为(x,y,z),则 =(x-4,y+1,z-4).=12()=2,2,-72,-4=2,+1=2,-4=-72,解得 =6,=1,=12,即点 P 的坐标为 6,1,12.(3)由已知,得 p=(2,-6,6),q=(-4,-4,7).所以(p+q)(p-q)=p2-q2=|p|2-|q|2=76-8
9、1=-5.-10-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一 探究四 变式训练 1 已知 a=(2,-1,-2),b=(0,-1,4).求:(1)a+b;(2)a-b;(3)ab;(4)2a(-b);(5)(a+b)(a-b).解:(1)a+b=(2,-1,-2)+(0,-1,4)=(2+0,-1-1,-2+4)=(2,-2,2).(2)a-b=(2,-1,-2)-(0,-1,4)=(2-0,-1-(-1),-2-4)=(2,0,-6).(3)ab=(
10、2,-1,-2)(0,-1,4)=20+(-1)(-1)+(-2)4=-7.(4)2a(-b)=(4,-2,-4)(0,1,-4)=40-21-4(-4)=14.(5)(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=-8.-11-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一 探究四 空间向量的平行与垂直1.要熟练掌握两个向量平行和垂直的充分必要条件,借助空间向量可将立体几何中的平行、垂直问题转化为向量的坐标运算.2.在应用坐标形式下的平行条件时,一
11、定要注意结论成立的前提条件.在条件不明确时,要分类讨论.-12-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一 探究四 典例提升 2已知向量 a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),c=(2,x,-4).(1)判断 a,b的位置关系;(2)若 ac,求|c|;(3)若(a+2c)(b+c),求 x 的值.解:(1)因为 a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),所以 1-2=2-4=-24,即 b=-2a.故 ab.(2)因为 ac,所以12=2
12、=-2-4,所以 x=4.此时 c=(2,4,-4),故|c|=22+42+(-4)2=6.(3)由已知得 a+2c=(5,2+2x,-10),b+c=(0,x-4,0).因为(a+2c)(b+c),所以(a+2c)(b+c)=0,即(2+2x)(x-4)=0,解得 x=-1 或 x=4.-13-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一 探究四 变式训练 2(1)已知 a=(+1,1,2),b=(6,4-1,2),若 ab,则 与 的值可以分别是()
13、A.2,34B.-13,-12C.-3,2D.2,2解析:依题意,得+16=14-1=22,解得=2,=34,或=-3,=-12.答案:A(2)若 m=(2,-1,1),n=(,5,1),且 m(m-n),则=.解析:由已知得 m-n=(2-,-6,0).由 m(m-n)=0 得,2(2-)+6+0=0,所以=5.答案:5-14-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一 探究四 空间向量夹角与模的计算1.空间两点间的距离(线段长度)的求法.空间两点可
14、以确定一个向量,通过求向量的模或根据两点间的距离公式求出两点间的距离.2.利用空间向量求角的方法.熟记夹角公式并能灵活运用.若 a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则cos=12+12+12 12+12+12 22+22+22.-15-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一 探究四 典例提升 3如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面ABC 中,CA=CB=1,BCA=90,棱AA1=2,M,N 分别是 AA1,CB1 的中点.(
15、1)求 BM,BN 的长.(2)求BMN 的面积.思路分析:建立空间直角坐标系,写出 B,M,N 等点的坐标,从而得出 ,的坐标.然后利用模的公式求得 BM,BN 的长度.对于(2),可利用夹角公式求得 cosMBN,再求出 sinMBN 的值,然后套用面积公式计算.-16-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一 探究四 解:以 C 为原点,以 CA,CB,CC1所在直线分别为 x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系(如图).则 B(0,1,0),
16、M(1,0,1),N 0,12,1.(1)=(1,-1,1),=0,-12,1,|=12+(-1)2+12=3,|=02+-12 2+12=52.故 BM 的长为 3,BN 的长为 52.-17-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一 探究四(2)SBMN=12BMBNsinMBN.cosMBN=cos=|=32 3 52=155,sinMBN=1-155 2=105,故 SBMN=12 3 52 105=64.即BMN 的面积为 64.-18-3
17、.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一 探究四 变式训练 3 棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点 E,F,G 分别是DD1,BD,BB1 的中点.(1)求 与 所成角的余弦值;(2)求 的长度.-19-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究三 探究一 探究四 解:建立如图所示的空间直角坐标系,则
18、 D(0,0,0),E 0,0,12,C(0,1,0),F 12,12,0,G 1,1,12,故 =12,12,-12,=1,0,12,=0,-1,12.(1)|=12 2+12 2+-12 2=32,|=12+02+12 2=52,cos=|=14 32 52=1515.与 所成角的余弦值为 1515.(2)|=02+(-1)2+12 2=52.-20-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCEI当堂检测 探究二 探究一 探究三 探究四 易错辨析易错点:对空间共线向量理解不深致误典例
19、提升 4已知 A(2,1,-3),B(1,-2,4),则与向量 共线的单位向量为 .错解:=(-1,-3,7),|=12+32+72=59,与 共线的单位向量为-1 59,-3 59,7 59,即-5959,-3 5959,7 5959 .错因分析:向量共线有同向和反向两种情况,故答案应有两种情况.正解:接错解.与 共线的单位向量为-5959,-3 5959,7 5959 或 5959,3 5959,-7 5959 .-21-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1 2
20、3 4 51.已知 a=(-3,2,5),b=(1,x,-1),且 ab=2,则 x 的值为()A.3B.4C.5D.6解析:由已知得-3+2x-5=2,解得 x=5.答案:C-22-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1 2 3 4 52.与向量 m=(0,2,-4)共线的向量是()A.(2,0,-4)B.(3,6,-12)C.(1,1,-2)D.0,12,-1 答案:D-23-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHON
21、GNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1 2 3 4 53.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂直,则k 的值是()A.1B.15C.35D.75解析:依题意(ka+b)(2a-b)=0,所以 2k|a|2-kab+2ab-|b|2=0.因为|a|2=2,|b|2=5,ab=-1,所以 4k+k-2-5=0,解得 k=75.答案:D-24-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1 2 3 4 54.
22、已知 A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量 与 的夹角等于 .解析:因为 =(0,3,3),=(-1,1,0),所以 cos=|=33 2 2=12,故 与 的夹角为 60.答案:60-25-3.1.5 空间向量运算的 坐标表示 首 页 XINZHI DAOXUE新知导学 ZHONGNAN TANJIU重难探究 DANGTANG JIANCE当堂检测 1 2 3 4 55.已知向量 a=(2,4,x),b=(2,y,2),若|a|=6,且 ab,则 x+y 的值为 .解析:由 a=(2,4,x),得|a|=22+42+2=6,x=4.ab,ab=22+4y+2x=0,由,得 =4,=-3或 =-4,=1,x+y=1 或 x+y=-3.答案:1 或-3