1、第一课时等差数列的概念与通项公式课标要求素养要求1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.体会等差数列与一元一次函数的关系.在根据实例抽象出等差数列的概念并归纳出等差数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象和逻辑推理素养.新知探究观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题.我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2 017，2 029，2 041，2 053，2 065，2 077，；我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，；2020年1月中，
2、每个星期日的日期为5，12，19，26.问题数列有什么共同的特点？提示从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数，都是等差数列.1.等差数列的概念等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”条件从第2项起每一项与它的前一项的差都等于同一个常数结论这个数列就叫做等差数列有关概念这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2.等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2Aab.3.等差数列的通项公式一般形式：anam(nm)d(1)通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列an的通项公式是ana1(
3、n1)d.(2)等差数列与一次函数的关系：公差d0的等差数列an的图象是点(n，an)组成的集合，这些点均匀分布在直线f(x)dx(a1d)上.任给一次函数f(x)kxb(k，b为常数)，则f(1)kb，f(2)2kb，f(n)nkb，构成一个等差数列nkb，其首项为(kb)，公差为k.拓展深化微判断1.常数列是等差数列.()2.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.()提示差都是同一个常数.3.数列an满足an1an1(n1)，则数列an是等差数列.()提示an不一定是等差数列，忽略了第1项.微训练1.已知实数m是1和5的等差中项，则m()A. B. C.3
4、D.3解析由题知：2m156，m3.答案C2.等差数列13n的公差d等于()A.1 B.3 C.3 D.n解析an13n，a12，a25，da2a13.答案C3.等差数列3，1，1，的通项公式为an_.解析由题知，a13，d2，an3(n1)22n5.答案2n5微思考1.如果数列an满足an1and(常数)或2an1anan2(nN*)，那么数列an是等差数列吗？提示是等差数列.2.等差数列an的单调性与其公差d有什么关系？提示当公差d0时，an是常数列；当公差d0时，an是递增数列；当公差d0时，an是递减数列.题型一等差数列的通项公式及相关计算【例1】在等差数列an中，(1)已知a12，d
5、3，n10，求an；(2)已知a13，an21，d2，求n；(3)已知a112，a627，求d；(4)已知d，a78，求a1和an.解(1)ana10a1(101)d29329.(2)由ana1(n1)d得32(n1)21，解得n10.(3)由a6a15d得125d27，解得d3.(4)由a7a16d得a128，解得a110，所以ana1(n1)d10(n1)n.规律方法等差数列通项公式中的四个参数及其关系等差数列的通项公式ana1(n1)d四个参数a1，d，n，an“知三求一”知a1，d，n求an知a1，d，an求n知a1，n，an求d知d，n，an求a1【训练1】(1)已知an为等差数列，
6、且a72a41，a30，则公差d()A.2 B. C. D.2(2)在数列an中，已知a13，当n2时，则a16()A. B. C. D.解析(1)由条件得解得(2)因为当n2时，所以是以为首项，以为公差的等差数列，故15，故a16.答案(1)B(2)B题型二等差中项及其应用【例2】在1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.解1，a，b，c，7成等差数列，b是1与7的等差中项，b3.又a是1与3的等差中项，a1.又c是3与7的等差中项，c5.该数列为1，1，3，5，7.规律方法(1)由等差数列的定义知an1ananan1(n2，nN*)，即2anan1an1，从而由
7、等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项.(2)在设等差数列的项时，可利用上述性质.【训练2】若a，b，则a，b的等差中项为()A. B. C. D.(2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是()A.2 B.3 C.6 D.9解析(1)由题知a，b的等差中项为().(2)由m和2n的等差中项为4，得m2n8.又由2m和n的等差中项为5，得2mn10.两式相加，得3m3n18，即mn6.所以m和n的等差中项为3.答案(1)A(2)B题型三等差数列的判定角度1等差数列的证明【例31】(1)已知数列an是等差数列，设bn2an3
8、，求证：数列bn也是等差数列.证明因为数列an是等差数列，可设其公差为d，则an1and.从而bn1bn(2an13)(2an3)2(an1an)2d，它是一个与n无关的常数，所以数列bn是等差数列.(2)已知a12，若an12an2n1，证明为等差数列，并求an的通项公式.证明由于an12an2n1，所以1，是以1为首项，1为公差的等差数列.1(n1)1n.ann2n.角度2等差数列的探究【例32】数列an满足a12，an1(3)an2n(nN*).(1)当a21时，求及a3的值；(2)是否存在，使数列an为等差数列？若存在，求其通项公式；若不存在，说明理由.解(1)an1(3)an2n(n
9、N*)及a12，a21，a2(3)a12，.a3a222，a3.(2)不存在.a12，an1(3)an2n，a2(3)a1224，a3(3)a24221016.若数列an为等差数列，则a1a32a2，即22210162(24)，27130.494130，a810，即f(2)f(3)f(4)，所以f(2)最小.又f(2)，所以，所以实数的取值范围为.创新猜想13.(多选题)已知数列an满足：a110，a25，anan22(nN*)，则下列说法正确的有()A.数列an是等差数列 B.a2k72k(kN*)C.a2k1122k(kN*) D.anan1183n解析由anan22得a3a128，由于2
10、a2a1a3，所以an不是等差数列，A不正确；由anan22，知an的偶数项，奇数项分别构成等差数列，公差都为2，当n2k(kN*)时，a2ka2(k1)(2)72k，当n2k1(kN*)时，a2k1a1(k1)(2)122k，故B，C都正确；当n2时，a2a35813不满足anan1183n，故D错误.答案BC14.(多选题)在数列an中，若aap(n2，nN*，p为常数)，则称an为等方差数列，下列对等方差数列的判断正确的有()A.若an是等方差数列，则a是等差数列B.数列(1)n是等方差数列C.若数列an既是等方差数列，又是等差数列，则数列an一定是常数列D.若数列an是等方差数列，则数列akn(kN*，k为常数)也是等方差数列解析根据等方差数列的定义易知A正确；因为(1)2n(1)2(n1)0，所以数列(1)n是等方差数列，B正确；若数列an既是等方差数列，又是等差数列，设公差为d，则aa(anan1)(anan1)d2a1(2n3)d2a1d(2n3)d2p.又p为常数，所以d0，C正确；若数列an是等方差数列，则aap，aa(aa)(aa)(aa)(aa)kp为常数，D正确.答案ABCD