1、2015-2016学年广东省湛江一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，总分60分；每个小题仅有一个最恰当的选项）1复数i（2i）=（）A1+2iB12iC1+2iD12i2已知x0，函数y=+x的最小值是（）A5B4C8D63在ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）ABCD4已知数列an满足an+1=an1（nN+），且a2+a4+a6=18，则a5的值为（）A8B7C6D55下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”B命题“x0，x2+x10”的否定是“x00，x02+x010
2、”C命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题D若“pq”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题6“|x1|2成立”是x（3x）0“成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件247等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）RA12B10C8D2+log35b8下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（）cA =1和=1B =1和y2=11Cy2=1和x2=1D =1和=1J9设函数f （x）在定义域内可导，y=f （x）的图象如图所示，则导函数y=f（x）的图象可能
3、是（）wABCDJ10由不等式组确定的平面区域记为M，若直线3x2y+a=0与M有公共点，则a的最大值为（）wA3B1C2D4o11在平面上，若两个正三角形的边长之比1：2，则它们的面积之比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它的体积比为（）2A1：4B1：6C1：8D1：9C12函数f（x）=x+在（，1）上单调递增，则实数a的取值范围是（）fA1，+）B（，0）（0，1C（0，1D（，0）1，+）7二、填空题（每空5分，共20分）g13已知x与y之间的几组数据如表：则由表数据所得线性回归直线必过点mx3456y2.5344.514抛物线y=4x2的焦点坐标是W1
4、5将全体正整数排成一个三角形数阵；根据以上排列规律，数阵中第n（n3）行从左至右的第3个数是216如图所示，已知抛物线y2=2px（p0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为8三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤e17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bcA（1）求sinA；/（2）若a=，ABC的面积S=，且bc，求b，cA18在数列an中，a1=1，an+1=an+c（c为常数，nN*），且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列=（）求c的值；=（）设bn=，求证：若数列bn的前n项和为
5、Sn，则Sn19某学校的课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩如下表所示：若单科成绩在85分以上（含85分），则该科成绩为优秀序号1234567891011121314151617181920数学9575809492656784987167936478779057837283物理9063728791715882938177824885699161847886（1）根据上表完成下面的22列联表（单位：人）数学成绩优秀数学成绩不优秀总计物理成绩优秀物理成绩不优秀总计20（2）根据（1）中表格的数据计算，是否有99%的把握，认为学生的数学成绩与物理之
6、间有关系？参考公式：P（K2k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82820如图，椭圆C： +=1（ab0）经过点P（2，3），离心率e=，直线1的方程为y=4（）求椭圆C的方程；（）AB是经过（0，3）的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得十=？若存在，求的值21已知函数f（x）=lnx，g（x）=bx，设h（x）=f（x）g（x）（1）求函数F（x）=f（x）x的极值；（2）若g（2）=2，若a0，讨论函数h（x）的单调性；（3）若函数g（x）
7、是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点x1，x2，求b的取值范围请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点（）求ADF的度数；（）若AB=AC，求AC：BC选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的倾斜角为45以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2=2cos，直线l和曲线C的交点为点A、B（I）求直线l的参数方
8、程；（）求|PA|PB|的值选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24已知函数f（x）=|2x+1+|2x3（1）求不等式f（x）6 的解集；（2）若关于x的不等式|a1f（x）的解集为R，求实数a的取值范围2015-2016学年广东省湛江一中高二（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，总分60分；每个小题仅有一个最恰当的选项）1复数i（2i）=（）A1+2iB12iC1+2iD12i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则解答【解答】解：原式=2ii2=2i（1）=1+2i；故选：A2已知x0，函数y=+x的最小值是（）
9、A5B4C8D6【考点】基本不等式【分析】由于 x0，利用基本不等式求得函数的最小值【解答】解：x0，函数2=4，当且仅当x=，x=2时，等号成立，故函数的最小值是4，故选：B3在ABC中，sinA：sinB：sinC=3：2：4，则cosC的值为（）ABCD【考点】余弦定理【分析】根据正弦定理化简已知的比例式，得到a：b：c的比值，根据比例设出a，b及c，利用余弦定理表示出cosC，把表示出的a，b及c代入，化简即可求出值【解答】解：由正弦定理=化简已知的比例式得：a：b：c=3：2：4，设a=3k，b=2k，c=4k，根据余弦定理得cosC=故选D4已知数列an满足an+1=an1（nN+
10、），且a2+a4+a6=18，则a5的值为（）A8B7C6D5【考点】等差数列的通项公式【分析】由已知可得数列an是公差为1的等差数列，再由a2+a4+a6=18结合等差数列的性质求得a4，则a5的值可求【解答】解：由an+1=an1，得数列an是公差为1的等差数列，又a2+a4+a6=18，得3a4=18，a4=6，a5=a4+d=61=5故选：D5下列说法正确的是（）A命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x1”B命题“x0，x2+x10”的否定是“x00，x02+x010”C命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为假命题D若“pq”为真命题，则p，q中至少有
11、一个为真命题【考点】复合命题的真假；四种命题间的逆否关系；命题的否定【分析】通过复合命题的定义，四种命题的关系，命题的否定，逐项进行判断【解答】解：对于A：否命题为“若x21，则x1”，故A错误；对于B：否定是“x00，x02+x010”，故B错误；对于C：逆否命题为：若“sin xsin y，则xy”，是真命题，故C错误；A，B，C，都错误，故D正确，故选：D6“|x1|2成立”是x（3x）0“成立”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】解出对应的不等式，结合集合的包含关系求出答案即可【解答】解：|x1|2
12、1x3，由x（3x）0，解得：0x3，故“|x1|2成立”是x（3x）0“成立”的必要不充分条件，故选：B7等比数列an的各项均为正数，且a5a6+a4a7=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log35【考点】等比数列的性质；对数的运算性质【分析】先根据等比中项的性质可知a5a6=a4a7，进而根据a5a6+a4a7=18，求得a5a6的值，最后根据等比数列的性质求得log3a1+log3a2+log3a10=log3（a5a6）5答案可得【解答】解：a5a6=a4a7，a5a6+a4a7=2a5a6=18a5a6=9log3a1+log3a2+lo
13、g3a10=log3（a5a6）5=5log39=10故选B8下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（）A =1和=1B =1和y2=1Cy2=1和x2=1D =1和=1【考点】双曲线的应用；双曲线的简单性质【分析】求解各个选项的离心率以及渐近线方程，排除不符号条件的选项，然后推出结果【解答】解：对于A， =1的离心率e=，渐近线方程为：y=；=1的离心率e=，渐近线方程为：y=；不满足题意，A不正确对于B， =1的离心率e=，渐近线方程为：y=；y2=1的离心率e=2，渐近线方程为：y=；不满足题意，B不正确对于C，y2=1的离心率e=2，渐近线方程为：y=；x2=1的离心率e=
14、2，渐近线方程为：y=；不满足题意，C不正确对于D， =1的离心率e=，渐近线方程为：y=；=1的离心率e=，渐近线方程为：y=；满足题意，D正确故选：D9设函数f （x）在定义域内可导，y=f （x）的图象如图所示，则导函数y=f（x）的图象可能是（）ABCD【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】先根据函数f（x）的图象判断单调性，从而得到导函数的正负情况，最后可得答案【解答】解：原函数的单调性是：当x0时，增；当x0时，单调性变化依次为增、减、增故当x0时，f（x）0；当x0时，f（x）的符号变化依次为+、+故选：D10由不等式组确定的平面区域记为M，若直线3x2y+a=0与M有公共点，
15、则a的最大值为（）A3B1C2D4【考点】简单线性规划【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求a的最大值【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）由3x2y+a=0得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时a最大由得，即A（1，0），代入3x2y+a=0得3+a=0解得a=3，即a的最大值为3故选：A11在平面上，若两个正三角形的边长之比1：2，则它们的面积之比为1：4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1：2，则它的体积比为（）A1：4B1：6C1：8D1：9【考点】类比推理【分析】由平面
16、图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的底面积之比为1：4，对应高之比为1：2，所以体积比为 1：8故选C12函数f（x）=x+在（，1）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A1，+）B（，0）（0，1C（0，1D（，0）1，+）【考点】函数单调性的性质【分析】求出函数的导数，由题意可得f（x）0在（，1）上恒成立运用参数分离可得x2在（，1）上恒成立运用二次函数的最值，求出右边的范
17、围即可得到【解答】解：函数f（x）=x+的导数为f（x）=1，由于f（x）在（，1）上单调递增，则f（x）0在（，1）上恒成立即为x2在（，1）上恒成立由于当x1时，x21，则有1，解得，a1或a0故选D二、填空题（每空5分，共20分）13已知x与y之间的几组数据如表：则由表数据所得线性回归直线必过点（4.5，3.5）x3456y2.5344.5【考点】线性回归方程【分析】根据线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论【解答】解：=4.5， =3.5，根据线性回归方程必过样本中心点，可得线性回归直线必过点（4.5，3.5），故答案为：（4.5，3.5）14抛物线y=4x2的焦点坐标是【考点】抛物
18、线的简单性质【分析】先化简为标准方程，进而可得到p的值，即可确定答案【解答】解：由题意可知p=焦点坐标为故答案为15将全体正整数排成一个三角形数阵；根据以上排列规律，数阵中第n（n3）行从左至右的第3个数是【考点】归纳推理【分析】先找到数的分布规律，求出第n行结束的时候一共出现的数的个数，再求第n+1行从左向右的第3个数即可【解答】解：由排列的规律可得，第n1行结束的时候排了1+2+3+（n1）=个数所以n行从左向右的第3个数+3=故答案为16如图所示，已知抛物线y2=2px（p0）的焦点恰好是椭圆的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为1【考点】抛物线的简单性质；椭圆的
19、简单性质【分析】设椭圆的左焦点为F，抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF，可得RtAFF中，AF=FF=p，从而AF=p，再根据椭圆的定义，可得AF+AF=2a=（1+）p，最后用椭圆的离心率的公式求出该椭圆的离心率【解答】解：设椭圆的左焦点为F，抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF，F（，0），F（，0），可得焦距FF=p=2c，（c=为椭圆的半焦距）对抛物线方程y2=2px令x=，得y2=p2，所以AF=|yA|=pRtAFF中，AF=FF=p，可得AF=p再根据椭圆的定义，可得AF+AF=2a=（1+）p，该椭圆的离心率为e=1故答案为：1三、解答题：解答应写出文字说明、证明
20、过程或演算步骤17在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3（b2+c2）=3a2+2bc（1）求sinA；（2）若a=，ABC的面积S=，且bc，求b，c【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）整理已知可得=，利用余弦定理可求cosA，结合A的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值（2）由已知利用三角形面积公式可求bc的值，由余弦定理可得： =b2+c21，结合bc0，联立即可解得b，c的值【解答】（本题满分为12分）解：（1）3（b2+c2）=3a2+2bc，整理可得： =，cosA=， 又A是三角形内角，A（0，），sinA=（2）S=bcsinA=，bc=，a=，
21、cosA=，由余弦定理可得： =b2+c22=b2+c21bc0，联立可得b=，c=118在数列an中，a1=1，an+1=an+c（c为常数，nN*），且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列（）求c的值；（）设bn=，求证：若数列bn的前n项和为Sn，则Sn【考点】数列的求和；等比数列的通项公式【分析】（）由题意可知：an=1+（n1）c，求得a2=1+c，a5=1+4c根据等比数列等比中项的性质，求得c=2；（）由（）可知，an=2n1，根据“裂项法”即可求得数列bn的前n项和为Sn，Sn=（1）=，根据数列的单调性，可知当n=1时，Sn有最小值，可证Sn【解答】解：（）an+1=an
22、+c，a=1，c为常数，an=1+（n1）ca2=1+c，a5=1+4c又a1，a2，a5成等比数列，（1+c）2=1+4c，解得c=0或c=2，当c=0时，an+1=an不合题意，舍去c=2 （）证明：由（）知，an=2n1，=，0，Sn=（1）=，由单调性可知，当n=1时，Sn有最小值，Sn19某学校的课题组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩如下表所示：若单科成绩在85分以上（含85分），则该科成绩为优秀序号1234567891011121314151617181920数学95758094926567849871679364787790578
23、37283物理9063728791715882938177824885699161847886（1）根据上表完成下面的22列联表（单位：人）数学成绩优秀数学成绩不优秀总计物理成绩优秀物理成绩不优秀总计20（2）根据（1）中表格的数据计算，是否有99%的把握，认为学生的数学成绩与物理之间有关系？参考公式：P（K2k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828【考点】独立性检验的应用【分析】（1）根据科成绩在85分以上（含85分），则该科成绩为优秀，结合表格中的数据，即可得22列联表；（2）利用列联表中的数据，利用公式：，再与提供的临界
24、值比较，即可得结论【解答】解：（1）数学成绩优秀数学成绩不优秀总计物理成绩优秀527物理成绩不优秀11213总计61420（2）根据列联表可以求得：，所以，我们有99%的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系20如图，椭圆C： +=1（ab0）经过点P（2，3），离心率e=，直线1的方程为y=4（）求椭圆C的方程；（）AB是经过（0，3）的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在常数，使得十=？若存在，求的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质【分析】（）通过将点P（2，3）代入椭圆方程，结合离心率计算即得
25、结论；（）分AB斜率存在、不存在两种情况讨论，结合韦达定理计算即得结论【解答】解：（）椭圆C经过点P（2，3），+=1，又e=，a2=b2+c2，a2=16，b2=12，椭圆C的方程为：；（）结论：存在常数=2，使得十=理由如下：当AB斜率存在时，不妨设为y=kx+3，联立直线AB与椭圆方程，消去y整理得：（3+4k2）x2+24kx12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，十=+=+= （1）+（1）=（1）=（1）=4，令y=4，则kx+3=4，从而M（，4），则=2，十=，对比可知=2；当AB斜率不存在时，不妨设A（0，2），B（0，2），M（0，4），
26、则十=+=4，=2，当=2时也成立；综上所述，存在常数=2，使得十=21已知函数f（x）=lnx，g（x）=bx，设h（x）=f（x）g（x）（1）求函数F（x）=f（x）x的极值；（2）若g（2）=2，若a0，讨论函数h（x）的单调性；（3）若函数g（x）是关于x的一次函数，且函数h（x）有两个不同的零点x1，x2，求b的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）求出F（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数h（x）的单调区间即可；（3）求出h
27、（x）的表达式，求出h（x）的导数，求出h（x）的单调性得到h（x）的最大值，从而求出b的范围即可【解答】解：（1）F（x）=1，令F（x）=0，即x=1，令F（x）0，解得：0x1，令F（x）0，解得：x1，F（x）在（0，1）在（0，1）递增，在（1，+）递减，F（x）极大值=F（1）=1；（2）h（x）=f（x）g（x）=lnxax2+bx，其定义域为（0，+x）.，又a0，令h（x）=0，得1.当a1时，则，所以函数h（x）在区间（ 0，）和（1，+）上单调递增；在区间（，1）上单调递减2当a=1时，h（x）0，数h（x）在区间（0，+）单调递增3当1a0时，则，所以函数h（x）在区间
28、（0，1）和（，+）上单调递增；在区间（1，）上单调递减 （3）函数g（x）是关于x的一次函数，故a=0，h（x）=lnx+bx，其定义域为（0，+），h（x） 有两个不同的零点x1，x2，b0，h（x）=，令h（x）0，解得：0x，令h（x）0，解得：x，h（x）在（0，）递增，在（，+）递减，x=是极大值点，h（）是最大值，h（）0，b的取值范围是（，0）请在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22如图，C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，ACB平分线DC交AE于点F，交AB于D点（）求ADF的度数；
29、（）若AB=AC，求AC：BC【考点】相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明【分析】（I）根据AC为圆O的切线，结合弦切角定理，我们易得B=EAC，结合DC是ACB的平分线，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，我们易得ADF=AFD，进而结合直径所对的圆周角为直角，求出ADF的度数；（II）若AB=AC，结合（1）的结论，我们易得ACB=30，根据顶角为120的等腰三角形三边之比为：1：1：，易得答案【解答】解：（I）AC为圆O的切线，B=EAC又知DC是ACB的平分线，ACD=DCBB+DCB=EAC+ACD即ADF=AFD又因为BE为圆O的直径，DAE=90（II）
30、B=EAC，ACB=ACB，ACEABC又AB=AC，B=ACB=30，在RTABE中，选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的倾斜角为45以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2=2cos，直线l和曲线C的交点为点A、B（I）求直线l的参数方程；（）求|PA|PB|的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）求出直线的普通方程，令x=t，从而求出直线的参数方程；（2）求出曲线C的普通方程，联立方程组，求出A、B的坐标，根据两点间的距离公式求出|PA|PB|的值即可【解答
31、】解：（1）在直角坐标系xOy中，过点P（1，2）的直线l的倾斜角为45kl=1，直线方程是：y+2=x1，y=x3，令x=t，则y=t3，直线l的参数方程是；（2）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin2=2cos，即为2sin2=2cos，化为普通方程为：y2=2x，由，解得：或，|PA|PB|=4选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24已知函数f（x）=|2x+1+|2x3（1）求不等式f（x）6 的解集；（2）若关于x的不等式|a1f（x）的解集为R，求实数a的取值范围【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（1）讨论2x3和2x+1的正负化简绝对值代入到f（x）6中，求出并集即可；（2）|2x+1+|2x3|2x+12x+3=4，关于x的不等式|a1f（x）的解集为R，所以|a14，即可求出a的取值范围【解答】解：（1）当x时，解得x2，所以x2；x时，解得x1，所以1；当时，解得xR，所以；综上：不等式的解集为x|1x2；（2）因为|2x+1+|2x3|2x+12x+3=4，关于x的不等式|a1f（x）的解集为R，所以，|a14，解得3a5 2016年10月21日